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文档简介

1、 计算或证明下面各题1、设是如下一点集： ， ，试确定的上极限和下极限。2、 证明：与。3、 证明：单调集列是收敛的，若增加，则；若减少， 则。4、 设是一列集合，作，。证明：是一 列互不相交的集，而且，。5、 设、是中两个互不相交的闭集。证明：存在两个互不相交的开集、 ,使、。6、 证明：设、都可测，则也可则，并且当时，对于任意 集合T总有。7、 证明：设是一列互不相交的可测集，则也是可测集，且 。8、 证明：设是任一可测集，则一定存在型集，使，且。9、 设，是一些互不相交的可测集合，。求证： 。10、 设A,B且，若A是可测集，证明： 。11、 证明：若可测，则对于任意，恒有开集几闭集，使,而 ，。12、 证明：设，存在两侧两列可测集，,使得 且 ，则可测。13、 设是中可测集，若，证明：对任意可测集， 。14、 证明：设是上一列收敛于一个有限的函数的 可测函数,则对,存在子集, 使在上一致收敛,且 。15、 设是上一列有限的可测函数，则对,存在闭子集, 使在上一致收敛,且。16、写出并证明上述定理的逆定理。17、设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于，证 明：收敛于。18、设函数列在上依测度收敛于，且与，。试证：在上几乎处处成立。19、 设在上，且几乎处处成立，则几乎 处处有收敛于。20、 设在上，且成立，则有 。21、 设，几乎处处有限的函数列和，分别依测度 收敛于和，证明：。22、设在上依测度收敛于，则存在子列在上收敛于。23、证明：设，是上有限的可测函数列，在上收 敛于有限的函数，则。24、设，则在上几乎处处成立。25、设,是上有限的可测函数。证明：存在定义在上的一列连续函数，使得。26、设在上可积，则。27、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。28、若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集。2、 用集合表示下面的结论： ： ： ： ： 3、 写出下列定义或定理：上极限： 下极限： 的领域： 紧集： 自密集： 完备集： 外侧度： 外侧度的三条基本性质: 的测度： 代数： 由代数： 型集： 型集： 可测函数： 简单函数： 可测函数与简单函数的关系： 叶果洛夫定理： 鲁津定理： 函数列依测度收敛于： 非负简单函数的勒贝格积分： 非负可测函数的勒贝格积分： 列维定理： 逐项积分定
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