应用高斯定理求静电场的场强

应用高斯定理求静电场的场强摘要：静电场的场强可以应用库仑定律及叠加原理、高斯定理、电势与场强间关系三种方法求得。应用高斯定理求静电场场强具有简单易算的特点，但高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强。带电体电荷的对称性的正确分析和高斯面的恰当选取是应用高斯定理求静电场场强的关键。其中带电体电荷分布的对称性一般可以分为轴对称、面对称和中心对称三类。根据电荷分布的对称性通常选取可划分为几部分曲面的高斯面，且划分的曲面面矢量的方向和场强的方向垂直或平行，可化矢量积分为标量积分以达到便于计算的目的。关键词：场强；高斯定理；对称性；高斯面。1引言已知静电场的高斯定理：静电场中任一闭合曲面的通量等于该曲面内电荷的代数和除以，即 . (1)应用高斯定理可以计算闭合曲面的通量和求静电场的场强。本文首先分析为什么高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强，然后对应用高斯定理求静电场场强求解步骤中关于带电体电荷的对称性分析和高斯面选取两个问题加以分析和讨论。3应用高斯定理求场强的适用范围高斯定理是关于闭合曲面通量的定理，反映的是闭合曲面通量与电荷的关系，而不是场强与电荷的关系。只有带电体的电荷分布具有对称性，即静电场的分布具有对称性时，才可以通过选取合适的高斯面，化矢量积分为标量积分 (2)将场强的大小从积分号中提出。所以高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体的静电场场强的大小，场强的方向需要根据对称性来判断。4应用高斯定理求场强的求解步骤应用高斯定理求电场强度可以分为以下四个步骤。第一，分析带电体电荷分布的对称性；第二，根据带电体电荷分布的对称性选取适当的高斯面；第三，计算高斯面内的通量和高斯面内电荷的代数和；第四，化矢量积分为标量积分，求出场强的大小，并根据对称性分析场强的方向。在应用高斯定理求场强时分析带电体电荷分布的对称性及选取适当的高斯面是最为关键的，下面做具体分析。4.1带电体电荷分布的对称性分析带电体电荷分布的对称性一般可以分为三类，即轴对称、面对称和中心对称。带电体电荷分布呈轴对称的一般有均匀带电的无限长圆柱面或圆柱体，对称轴为圆柱面或圆柱体的轴线，电场线垂直其轴线呈轴对称分布，如图1所示。带电体电荷分布呈面对称的一般有均匀带电的无限大平板，对称面为平面本身，电场线垂直其平面呈面对称分布，如图2所示。带电体电荷分布呈中心对称的一般有均匀带电的球体或球壳，对称中心为球体或球壳的球心，电场线沿其半径方向呈中心对称分布，如图3所示。4.2高斯面的选取方法高斯面的选取应遵循两条原则：首先，静电场中的高斯面必须为一个闭合曲面；其次，高斯面的选取使通过该曲面的电通量易于计算。为了达到便于计算的目的，通常将高斯面划分为几部分曲面，闭合曲面积分转化为曲面积分的代数和 . (3)在选取和划分曲面时要么使场强的方向和面矢量的方向垂直，此时 . (4)要么使场强的方向和面矢量的方向平行，此时 . (5)化矢量积分为标量积分。根据以上分析，当带电体为电荷呈轴对称分布的均匀带电的无限长圆柱或圆柱体时，做一与无限长圆柱面或圆柱体同轴的高度为h半径为r的圆柱面，如图1所示。则场强的方向和上下底面面矢量的方向垂直，满足(4)式，和侧表面面矢量的方向平行，满足(5)式。圆柱体 圆柱面高斯面高斯面图1当带电体为电荷呈面对称分布的均匀带电的无限大平板时，做一轴线垂直于无限大板面高度为h半径为r的圆柱面，如图2所示。则场强的方向和侧表面面矢量的方向垂直，满足(4)式，和上下底面面矢量的方向平行，满足(5)式。高斯面图2当带电体为电荷呈中心对称分布的均匀带电的球体或球壳时，做一与球体或球壳同心的半径为r的球面，如图3所示。则场强的方向和球面面矢量的方向平行，满足(5)式。高斯面高斯面球体 球壳图35小结通过以上分析可知，在求带电体静电场场强时一定要先判断其电荷分布是否具有对称性，只有在其电荷分布具有对称性时才可以应用高斯定理求其场强。否则应选用其他两种方法。在应用高斯定理求场强时应遵循求解步骤逐步进行。先看带电体电荷分布为轴对称、面对称和中心对称中的哪一种；然后在根据带电体电荷分布的对称性选取适当的高斯面，选取的高斯面一定可划分为几部分曲面，划分曲面的面矢量的方向和场强的方向垂直或平行。最后计算高斯面内的通量和高斯面内电荷的代数和，化矢量积分为标量积分求出