数量积及答案

向量答案1已知为的外心，其外接圆半径为1，且.若，则的最大值为_【答案】【解析】以O为原点建立平面直角坐标系，如图设则，解得 B在圆上，代入即，解得或（舍去）故最大值为，故填.2在中,已知, , 为线段上的点,且,则的最大值为_.【答案】3【解析】由得 所以由得 由,得 ，即的最大值为3.3如图，扇形AOB的圆心角为90，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OPOQ的取值范围为_【答案】2-1，1.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出OPOQ 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P(cos,sin) (02)，Q(x0,y0)，所以PQ的中点(x0+cos2,y0+sin2)，由题得kPQ=sin-y0cos-x0=1x0+cos2+y0+sin2-1=0,x0=1-siny0=1-cos所以OPOQ=cos(1-sin)+sin(1-cos)=sin+cos-2sincos设t=sin+cos=2sin(+4),t1,2，所以sincos=t2-12，所以OPOQ=1-t2+t，t1,2所以当t=1时函数取最大值1，当t=2时函数取最小值2-1.故答案为：2-1，1点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数OPOQ的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.4在边长为1的正三角形ABC中，AD=xAB，AE=yAC，x0,y0且3x+4y=1，则CDBE的最小值等于_【答案】112+26【解析】分析：通过建立直角坐标系，利用数量积运算性质，在利用不等式的性质，即可求解.详解：如图所示，则A(0,32),B(-12,0),C(12,0)，故AC=(12,-32),AB=(-12,-32)，则ACAB=12,ABAB=ACAC=1，所以CDBE=(AD-AC)(AE-AB)=(xAB-AC)(yAC-AB)=xyABAC-xABAB-yACAC+ABAC=12xy-x-y+1=12xy(3x+4y)-x-y+1 =12(3y+4x)-x-y+1=x+12y+12=(x+12y)(3x+4y)+12=2+3+4xy+3y2x+12112+24xy3y2x=112+26，当且仅当x=3+6,y=26+4时取等号，所以CDBE的最小值为112+26.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决5已知直角梯形ABCD中，AD/BC，BAD=90，ADC=45，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则3PA+BP的最小值为_【答案】522【解析】分析：以DA为x轴，D为原点,过D与DA垂直的直线为y轴，建立坐标系，可设Pt,t，可得3PA+BP=4-2t,-2t-1，3PA+BP=4-2t2+-2t-12，利用二次函数配方法可得结果.详解：以DA为x轴，D为原点,过D与DA垂直的直线为y轴，建立坐标系，由AD/BC，BAD=90，ADC=45，AD=2，BC=1，可得D0,0,C2,0,B2,1,C1,1，P在CD上，可设Pt,t，则PA=2-t,-t,BP=t-2,t-1，3PA+BP=4-2t,-2t-1，3PA+BP=4-2t2+-2t-12=8t-342+252252=522，即3PA+BP的最小值为522，故答案为522.点睛：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的坐标表设计以及利用配方法求最值，属于难题. 若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的最值，其关键在于正确化简为完全平方式，并且一定要先确定其定义域.6在平行四边形中， ， ， ， 为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：设，用表示出题中所涉及的向量，得出关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设，则 ，结合二次函数的性质，可知当时取得最小值，当时取得最大值，故答案是.点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.7如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，且OR=xOP+yOQ (x,yR)，则代数式x2+y2-x-y+12的最小值为_【答案】24【解析】因为点R、M、N共线，所以由OR=OM+ON，有+=1， 又因为M、N分别是边OP、OQ的中点，所以OR=OM+ON=12OP+12OQ x+y=12+1212 原题转化为：当x+y12 时，求x2+y2-x-y+12的最小值问题，y=12-x x2+y2-x-y+12=x2+12-x2-x-12-x+12=2x2-x+14结合二次函数的性质可知，当x=14 时，取得最小值为24故答案为24.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点R、M、N共线，由OR=OM+ON，有+=1”的应用8如图，在等腰梯形中， 为的中点，点在以为圆心， 为半径的圆弧上变动， 为圆弧与交点若，其中，则的取值范围是_【答案】【解析】以为原点，以为轴，建立坐标系， 可得， ，点在以为圆心， 为半径的圆弧上变动,所以可设， ，可得， ， ， 的取值范围为，故答案为 .9在平面四边形ABCD中，已知AB1，BC4，CD2，DA3，则的值为_【答案】10【解析】因为，所以将四边形放入椭圆内， 为左右两个焦点，不妨令椭圆方程为，设， ，则，由焦半径公式得， ，两式相减得而点睛：本题考查了四边形内两对角线向量的数量积，本题在解答时依据题目条件将其转化为椭圆内的四边形，其中两个点作为焦点，然后由焦半径公式计算出另外两个点的关系式，最后求出向量的结果，有一定难度。10已知菱形的边长为2, ,点、分别在边上, ， ,若, 则的最小值_【答案】【解析】 =代入，得，当时， ，填。【点睛】平面向量基本定理是向量运算的根本，所以选择合适的基底，用基底去表示其它向量及向量运算。本题就是选择了做基底，把数量积转化为基底运算，转化为的函数。11在等腰梯形ABCD中，已知AB/CD，AB=3，BC=2，ABC=60，动点E,F分别在线段BC和CD上，且BE=2BC，DF=1-3DC，则DEAF的取值范围为_.【答案】13,1【解析】在等腰梯形ABCD中，已知AB/CD，AB=3，BC=2，ABC=60，动点E,F分别在线段BC和CD上，且BE=2BC，DF=1-3DC，则DEAF的取值范围为以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系，过点C作CKAB，垂足为K,KBC=60，BC=2,BK=1,CK=3，DC=AK=3-1=2，A0,0,B3,0 C2,3,D1,3，BE=2BC, DF=1-3DC 013 AF=AD+1-3DC=2-3,3， AE=AB+2BC=32,3， DE=AD+DE=2-2,32-1，DEAF =2-3,3.2-2,32-1=62-4+1=f，函数f 在0，13 上递减，所f最大值为f0=1，f最小值为f13=13，即DEAF的取值范围为13,1，故答案为13,1.12在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线与圆的内接正三角形交边于点，交边于点，且，则的值为_【答案】【解析】因为圆心为三角形的中心，所以边长为由于直线与圆的内接正三角形交边于点，交边于点，且，因此由三角形重心的性质可得， ， ，故答案为.13已知的周长为6，且成等比数列，则的取值范围是_【答案】【解析】因为成等比数列，所以，从而，所以，又，即，解得，故.14在面积为2的平行四边形中，点为直线上的动点，则的最小值是_【答案】【解析】取的中点，连接，因为平行四边形，面积为，所以 ， ， ，此时，且，故答案为.15在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， _【答案】-9【解析】，即以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设，所以所以当时有最小值，此时答案： 点睛：数量积的计算有两种不同的方式，一是根据定义计算，二是用向量的坐标计算，其中用坐标进行运算可使得数量积的计算变得简单易行在本题的解法中通过建立坐标系将数量积的最小值问题转化为函数的最值问题处理，体现了转化方法在数学解题中的应用16已知圆的方程为， 是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为、，则的取值范围为_【答案】【解析】设PA与PB的夹角为2，则|PA|=PB|=，y=|PA|PB|cos2=cos2=4 cos2记cos2=u，则y= =3+（1u）+*4 (23)*4，P在椭圆的左顶点时，sin=，cos2=，的最大值为. 的范围为故答案为： 点睛：本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。17如图， 是直线上的三点， 是直线外一点，已知， ， 则=_【答案】【解析】设 ， ，则由可得 且 解得 则 即答案为18已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且OA-2aOB-b