2020年考研数学三真题及解析

Born to winBorn to win 第 1 页 2020 全国硕士研究生入学统一考试数学三全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解试题详解 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. （1）设 ( )( ) lim xa f xf a b xa ，则 sin( )sin lim xa f xa xa （ ） （A）sinba （B）cosba （C）sin( )bf a （D）cos( )bf a 【答案】（B） 【解析】由 ( ) lim, xa f xa b xa 得( ),( )f aa fab ，则 （2）函数 1 1ln 1 ( ) (1)(2) x x ex f x ex 的第二类间断点的个数为 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】（C） 【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x ，由此 1 1 1 2 1 111 ln 1 lim( )limlim ln 1 (1)(2)3(1) x x xxx exe f xx exe ； 1 11 000 ln 1ln(1)1 lim( )limlim (1)(2)22 x x xxx exex f x exxe ； 1 1 1 1 111 1 1 1 1 11 ln 1ln2 lim( )limlim0; (1)(2)1 ln 1ln2 limlim; (1)(2)1 x x x xxx x x x xx ex f xe exe ex e exe ； 1 1 2 222 ln 1ln31 lim( )limlim (1)(2)(1)2 x x xxx exe f x exex 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。 sin( )sinsin( )sin( ) limlimsin( )cos( )( )cos x a xaxa f xaf xf a f xf a faba xaxa Born to winBorn to win 第 2 页 （3）设奇函数( )f x在(,) 上具有连续导数，则 （A） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是奇函数 （B） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是偶函数 （C） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是奇函数 （D） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是偶函数 【答案】（A） 【解析】由于 0 ( )cos( )( )cos( )( ) x F xf tf tdtf xfx ()cos()()cos( )( )Fxfxfxf xfx，故( )F x为偶函数。 则 0 ( )cos( )( ) x F xf tft dt 为奇函数 （偶函数的原函数为奇函数）。 故选项（A） 正确。 （4） 设幂级数 1 (2)n n n nax 的收敛区间为( 2,6)， 则 2 1 (1) n n n nax 的收敛区间为 （ ） （A）( 2,6) （B）( 3,1) （C）( 5,3) （D）( 17,15) 【答案】（B） 【解析】 由题设 1 (2)n n n nax 收敛区间为2,6， 则收敛半径4R 。 故 2 1 (1) n n n ax 的 收敛半径为 2，因此其收敛区间为（3,1），即（B）为正确选项。 （5） 设 4 阶矩阵 ij Aa不可逆， 12 a的代数余子式 12 0A , 1234 , 为矩阵A的列向 量组， * A为A的伴随矩阵，则 * 0A x 的通解为（ ） （A） 112233 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （B） 112234 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （C） 112334 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （D） 122334 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 【答案】（C） Born to winBorn to win 第 3 页 【解析】A由于不可逆， 4r A 故，0A .由由 * 12 014 13Ar Ar A ， 则 3r A ， * 1r A，故，故 * 0A x 的基础解系中有413 个无关解向量。 此外， * 0A AA E，则A的列向量为 * 0A x 的解。则由 12 0A ，可知，可知 134 , 线性 无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 * 0A x 的通解为 112334 xkkk，即选 项（C）正确。 （6）设A为 3 阶矩阵， 12 , 为A的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3 为A的属 于特征值1的特征向量，则 1 100 010 001 P AP 的可逆矩阵P为（ ） （A） 1323 , （B） 1223 , （C） 1332 , （D） 1232 , 【答案】（D） 【解析】设 123 (,)P ，若 1 100 010 001 P AP ，则 13 , 应为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 2 应为 A 的属于特征值1的线性无关的特征向量。 这里根据题设， 12 , 为A的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则 12 也为 A的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。 又因 3 为A的属于1的特征向量， 则 3 也 为A的属于特征值1的特征向量。且 1232123 12321231232 100100 (,)(,) 101101 010010 (,)(,)3, , rr 由于可逆， 故即线性无关 综上，若 1231232 ()(,),P ，则 1 100 010 001 P AP . 因此选项（D）正确。 Born to winBorn to win 第 4 页 （7）设, ,A B C为三个随机事件，且 1 , 4 P AP BP C0,P AB 1 12 P ACP BC,则, ,A B C中恰有一个事件发生的概率为（ ） （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 2 （D） 5 12 【答案】（D） 【解析】设, ,A B C中恰有一个事件发生的概率为p，则 ()()()pP ABCP ABCP ABC，,()0()0ABCAB P ABP ABC， ()()( )( () 111 ( )()()()= 4126 P ABCP ABCP AP A BC P AP ABP ACP ABC ； ()()( )( () 111 ( )()()()= 4126 P ABCP BACP BP B AC P BP ABP BCP ABC ； ()()( )( () 121 ( )()()()= 41212 P ABCP CABP CP C AB P CP ACP BCP ABC ； 代入，可得 1115 661212 p . （8）设随机变量,X Y服从二维正态分布 1 0,0;1,4; 2 N ，随机变量中服从标准正态分 布且为X独立的是（ ） （A） 5 5 XY （B） 5 5 XY （C） 3 3 XY （D） 3 3 XY 【答案】C 【解析】由题意可知： 1 0,1 ,0,4 , 2 XY XNYN ， cov,1 XY X YD XD X (A) 5 0 5 EXY , 513 2cov, 555 DXYD XD YX Y Born to winBorn to win 第 5 页 (B) 5 0 5 EXY ， 517 2cov, 555 DXYD XD YX Y (C) 3 0 3 EXY ， 31 2cov,1 33 DXYD XD YX Y （D） 3 0 3 EXY , 317 2cov, 333 DXYD XD YX Y 又 333 cov,cov,cov,10 333 XXYX XX YD X X则与 3 3 ZXY不相关， 又因 10 , 33 33 XX ZY 其中 10 33 33 可逆， 且 ,X Y服从二维正态分布，则,ZX也服从二维正态分布。对于二维正态分布，不相关与 独立等价，故选项（C）符合题意。 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. （9）设arctansinzxyxy ，则0, dz 【答案】1 dxdy 【解析】 22 coscos , 1sin1sin yxyxxyzz xy xyxyxyxy 将0,带入得1,1 zz xy 因此 0, dz 1 dxdy (10)曲线 2 0 xy xye在点0, 1处的切线方程为 【答案】1yx. 【解析】 方程 2 0 xy xye两边对x求导即可得 2 1(22)0 xy yeyxy， 代入0, 1 可得(0)1 y ，则切线方程为10yx ，即1yx. Born to winBorn to win 第 6 页 (11)Q表示产量，成本 10013C QQ,单价p，需求量 800 2 3 q p p ，则工厂取得 利润最大时的产量为 【答案】8. 【解析】由 800800 23 32 qp pq 构造利润函数： 800 3100 13 2 q RCpqCqq q 求一阶导： 2 800(2)800 3 130 2 dqq dq q ， 得： 2 4960qq，12(,8qq 舍） 所以当8q 时，利润最大。 (12)设平面区域 2 1 ,01 21 x Dx yyx x ，则D绕y轴旋转所成旋转体体积 为 【答案】 1 ln2 3 【解析】 11 2 00 1 22 12 x Vxdxx dx x = 11 22 2 00 1 1 dxx dx x 1 ln2 3 （13）行列式 011 011 110 110 a a a a = 【答案】 42 4aa 【解析】 2 42 1000 01 11124 112 1011 aa aa aaaaaaaa aa aa 原式 （14）随机变量X的概率分布 1 ,1,2,3. 2k P Xkk，Y表示X被 3 整除的余数， 则 E Y Born to winBorn to win 第 7 页 【答案】 8 7 【解析】由题设，Y的取值为0,1,2，则 3 111 31 000 32 000 111 (0)(3 ) 287 1114 (1)(31) 2287 1112 (2)(32) 2487 k k kkk k k kkk k k kkk P YP Xk P YP Xk P YP Xk 即 012 142 777 Y ，故 8 ( ) 7 E Y . 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 已知, a b为常数，若 1 1 n e n 与 a b n 在n 时是等价无穷小，求, a b. 【答案】 1 1, 2 abe 【解析】由 1 1 lim1 n n a e n b n 可得 1 ln 11 1 0 ln(1) 1 1 1 lim1lim n n t n a nt a t e t e b bte n ，故 2 11 1 ln(1) 2 limlim aa nn t ttbb tete ，则 1 12 2 b a e ，即1, 2 e ab . （16）（本题满分 10 分） 求 33 ,8f x yxyxy极值 【答案】 111 ( ,) 6 12216 f 极小 【解析】令 2 2 ( , )30 ( , )240 x y fx yxy fx yyx 得 1 0 6 01 12 x x y y 或. Born to winBorn to win 第 8 页 当驻点为(0,0)时， (0,0)0 (0,0)1 (0,0)0 xx xy yy Af Bf Cf ，则 2 0ACB，故(0,0)不是极值点. 当驻点为 11 ( ,) 6 12 时， 11 ( ,)1 6 12 11 ( ,)1 6 12 11 ( ,)4 6 12 xx xy yy Af Bf Cf ，则 2 0,10ACBA ，故 11 ( ,) 6 12 为极 小值点. 111 ( ,) 6 12216 f 为极小值. （17）（本题满分 10 分） 250yyy， 01,01f f （1）求 f x；（2） n n afx dx ，求 1 n n i a 【答案】（1） cos2 x f xex ；（2） 1 51e 【解析】（1）250yyy，特征方程： 2 250rr，可得 1,2 12ri ，则方 程的通解 12 cos2sin2 x yeCxCx ，又因 01,01f f ，故 12 1,0CC. 因此 cos2 x f xex . （2） 11 cos2 5 x n n n aexdx e ，设 1 cos2sin2 2 1 sin2sin2 2 11 cos22cos2 44 xx nn xx n n xxx n nn Iexdxe dx exxde e dxe cos xxe dx 则 11 cos2 44 x x n IexI ,故 51 cos2 44 x x n Iex ，即 1 5 n I e Born to winBorn to win 第 9 页 111 111 5551 n n n n inn aee e （18）设 22 ( , )1,0Dx y xyy，连续函数( , )f x y满足 2 ,1, D fx yyxxfx y dxdy ，求, D xfx y d 【答案】 2 3 128 【解析】设, D fx y dxdyA ,则有 2 ,1fx yyxAx，进而有 2 11 22 00 3 ,121 16 x DDD Af x y dyx dxdyAxddxyx dy 从而 2 3 ,1 16 fx yyxx ，故 2 1 2232 2 00 333 ,12cos 1616128 DDD xf x y dxdyxyx dxdyx dxdydrdr . （19）（本题满分 10 分） f x在0,2上具有连续导数，(0)(2)0ff， max,0,2Mf xx，证明 （1）0,2 ，使得 fM； （2）若0,2x ，( )fxM，则0M . 【证明】（I）由题设， f x在0,2上连续，且 0,2 max x Mf x .若0M ，则结论必成 立。若0M ，则 00 (0,2),()xf xM使. 若 0 01,x由拉格朗日中值定理，可得 0 0 0 000 ()()(0) ( ),(0,)(0,2) 0 f xf xfM fMx xxx . 若 0 12,x由拉格朗日中值定理，可得 0 0 0 000 ()(2)() ( ),(,2)(0,2) 222 f xff xM fMx xxx . Born to winBorn to win 第 10 页 (II)根据第一问， 00 (0,2),()xf xM使，则 000 000 000 000 222 000 ()()(0)( )( ),(1) ()(2)()( )( )(2),(2) xxx xxx Mf xf xffx dxfx dxMdxMx Mf xff xfx dxfx dxMdxMx 由式（1）则 0 (1)0M x ，由式（2）则 0 (1)0M x 。显然若 0 1x ，则0M 。 若 0 1x ，且( )fxM，则 11 00 22 11 (1)(1)(0)( )( ) (1)(2)(1)( )( ) Mffffx dxfx dxM Mffffx dxfx dxM 故( ),(0,1)(1,2)fxM x，即( )fxM 。若0,M 则( )fx不连续，这与题设矛 盾，故0M . （20）（本题满分 11 分） 设二次型 22 121122 ,44f x xxx xx经正交变换 11 22 xy Q xy 化为二次型 22 121122 ,4g y yayy yby，其中ab. （1）求, a b值； （2）求正交矩阵Q。 【答案】 【解析】（1） 12 12 , 24 TT fx xxxx Ax ， 12 24 A 12 2 , 2 TT a fy yyyy By b ， 2 2 a B b 1212 , ,xQyf x xg y y，即 T Q AQB,其中Q为正交矩阵，故AB、合同且相似， 则= AB .又因 A 的特征值为 5 和 0，则由 =040 54,1 Bab tr Atr Babab ab ， Born to winBorn to win 第 11 页 （2）当=5 A 时，其线性无关的特征向量为 1 2 ，当=0 A 时，其线性无关的特征向量为 2 1 ，令 11 12 12 55 2121 55 PQ 单位化 ，则 11 5 0 T Q AQ . 当=5 B 时，其线性无关的特征向量为 2 1 ，=0 B 时，其线性无关的特征向量为 1 2 ， 令 22 21 21 55 1212 55 PQ 单位化 ， 则 1122211212 43 5 55 034 55 TTTTT Q AQQ BQQ Q AQQBQQQ （21）（本题满分 11 分） 设A为 2 阶矩阵，,PA，其中是非零向量且不是A的特征向量 （1）证明P为可逆矩阵； （2）若 2 60AA，求 1 P AP ，并判断A是否相似于对角矩阵。 【答案】（2） 1 06 11 P AP ，A可以相似对角化 【解析】 （1） 证明： 设 12 0kk A， 2 k肯定为 0， 反证法， 若 2 0k ， 则 1 2 k A k ， 即为A的特征向量，与题意矛盾。因此 2 0k ，代入得 1 0k，由非零得 1 0k . 由 12 0kk得,A线性无关，向量组秩为 2， 2r P ，所以,PA可逆。 （2）由 2 60AA得 2 6AA， 2 06 ,6, 11 AAAAAAA Born to winBorn to win 第 12 页 由P可逆得 1 06 11 P AP ，令 06 11 B 由0BE得 12 2,3 有两个不同的特征值，所以B可相似于对角矩阵，由 1 P APB ，AB 因为B可对角化，A相似于B，所以A可对角化，即A相似于对角矩阵. （22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量(, )X Y在区域 2 ( , ) 01Dx yyx上服从均匀分布，令 12 1010 , 0000 XYXY ZZ XYXY （1）求二维随机变量 12 ,Z Z联合分布；（2）求 1 Z与 2 Z的相关系数。 【答案】（1） 1 Z 2 Z 0 1 0 1 4 0 1 1 2 1 4 z（2） 1 3 【解析】（1）由题意可知，随机变量 12 ,Z Z的取值为 0 和 1，则 12 1 0,00,0 4 P ZZP XYXY， 12 1 0,10,0 2 P ZZP XYXY， 12 1,00,00P ZZP XYXY， 12 1