椭圆焦点三角形面积公式推导及应用

椭圆焦点三角形面积公式推导及应用 内蒙古赤峰市宁城高级中学024200郭晓辉 摘要: 椭圆上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫焦点三角形 在椭圆中， 焦点三角形是一个引人注目的三角 形， 它的面积是一个非常重要的几何量 在解决有关焦点三角形问题中， 如果能灵活地应用焦点三角形的面积公式， 往 往可以使复杂问题简单化， 减少运算量， 使问题迎刃而解 关键词: 三角形面积公式; 椭圆焦点; 性质; 几何量; 教学研究 作者简介: 郭晓辉( 1981 ) ， 男 ， 内蒙古赤峰市宁城县， 本科 ， 中学一级教师 在高中数学解析几何椭圆部分题中经常会出现 椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题， 那么如何快 速的找准切入点解决这类问题呢?下面介绍一种利 用椭圆焦点三角形面积公式解决这类问题的方法 一、 公式推导 已知椭圆x 2 a2 + y2 b2 =1( a b 0) 中， F1， F2为椭圆 的左右 焦 点， 焦 距 为 2c， P 为 椭 圆 上 任 意 一 点， F1PF2 = 则有 证明设 PF1= m， PF2= n则有 m + n =2a， 在 椭圆中有 b2= a2 c2， 4b2=4a2 ( 2c) 2， 4b2 = ( m + n) 2 ( 2c) 2 = m2 + n2+2mn ( 2c) 2 4b2 2mn = m2+ n2 ( 2c) 2 +2mn 2mn = cos +1， 4b2 2mn =2cos2 2 ， b2= mncos2 2 SF1PF2= 1 2 mnsin， b2= mncos2 2 sin sin = 1 2 mnsincos2 2 sin 2 cos 2 ， SF1PF2= b2tan 2 二、 公式应用 例 1( 1993 全国高考题) 在面积为 1 的PMN 中， tanM = 1 2 ， tanN = 2， 建立适当的坐标系， 求出以 M， N 为焦点且过点 P 的椭圆方程 分析此题为典型的椭圆焦点三角形面积问题， 只需找到对应的相等关系即可解决 解以 MN 所在直线为 x 轴， 线段 MN 的中垂线 为 y 轴建立直角坐标系 一方面， tanP = tan( M + N)+ tanM + tanN 1 tanMtanN = 3 4 另一方面， tanP = 2tan P 2 1 tan2 P 2 从而 tanP = 2tan P 2 1 tan2 P 2 = 3 4 ， 解得tan P 2 = 1 3 或 tan P 2 = 3( 舍去) 由刚 得到的结论可得 b2= SMPN cos P 2 sin P 2 = 3作 PQMN， 垂足为 Q， 设| PQ| = h， | NQ| = m， 由 tanM = h 2c + m = 1 2 = tanPNQ = h m =2， 易得 h = 4c 3 ， 又 SPMN= 1 2 2c 4c 3 =1， 得 c2= 3 4 ， 所以 a2= 15 4 ， 故所求的椭圆的方 程为4x 2 15 + y2 3 =1 例 2 ( 2004 湖北) 已知椭圆x 2 16 + y2 9 =1 的左、 右 焦点分别是 F1、 F2， 点 P 在椭圆上 若 P、 F1、 F2是一 个直角三角形的三个顶点， 则点 P 到 x 轴的距离为 ( ) A 9 5 B 槡 9 7 7 C 9 4 D 9 4 或 槡 9 7 7 分析求 b 到 x 轴的距离， 底为 2c 可知底不变， 所以利用椭圆焦点三角形面积公式较易解决 解若 F1或 F2是直角顶点， 则点 P 到 x 轴的距 离为半通径的长b 2 a = 9 4 ; 若 P 是直角顶点， 设点 P 到 x 轴的距离为 h， 则 SF1PF2= b2tan 2 = 9tan45 = 9， 又 522017 年 1 月 1 日理科考试研究数学版 SF1PF2= 1 2 ( 2c) h 槡 = 7h， 槡 7h =9， h = 槡 9 7 7 故答 案选 D 例 3已知椭圆x 2 a2 + y2=1( a 1) 的两个焦点为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， 且F1PF2=60， 则|PF1| |PF2|的值为( ) A 1B 1 3 C 4 3 D 2 3 分析此题符合椭圆焦点三角形问题， 所以首选 椭圆焦点三角形面积公式 解F1PF2= =60， b =1， SF1PF2= b2tan 2 = tan30 =槡 3 3 ， 又 SF1PF2= 1 2 |PF1| | PF2| sin =槡 3 4 | PF1| |PF2|， 槡 3 4 |PF1| PF2| =槡 3 3 ， 从而| PF1| | PF2| = 4 3 故答案选 C 例4已知 P 是椭圆x 2 25 + y2 9 =1 上的点， F1、 F2分 别是椭圆的左、 右焦点， 若 PF 1PF 2 |PF 1|PF 2| = 1 2 ， 则 F1PF2的面积为( ) 槡槡槡 A 3 3B 2 3C 3D槡 3 3 分析此题符合椭圆焦点三角形问题， 所以首选 椭圆焦点三角形面积公式 解设F1PF2= ， 则 cos = PF 1PF 2 |PF 1|PF 2| = 1 2 ， =60 SF1PF2= b2tan 2 =9tan30 槡 =3 3故选答案 A 点评利用椭圆焦点三角形面积公式解题， 既是 对椭圆的知识及方法的综合考查， 又考查了学生的能 力及学生解决问题的方法的灵活性 有些题目看似与 椭圆的焦点三角形面积无关， 但又是焦点三角形问 题， 只要对症用公式即可解决 通过以上例题的解决我们发现在利用椭圆焦点 三角形的面积公式时， 不一定是求面积问题而是呈现 题型的变化多样性， 但只要我们抓住它们是椭圆焦点 三角形这一关键点切入问题即可迎刃而解 借用张景 中院士 绕来绕去的向量法 一书的书名我们可以称 之为绕来绕去的焦点三角形 参考文献: 1 周贞雄 高中数学学考必备用书 M 湖南: 湖南大学 出版社 2013 2 秦庆雄， 范花妹 从椭圆焦点三角形的面积公式谈起 J 河北理科教学研究 2013( 01) : 24 27 一个重要不等式及其应用 甘肃省临泽县第一中学734200史咏梅 摘要: 新课改的教材中增加了一个非常重要的不等式 柯西不等式， 它在不等式的教学中占有重要地位， 它 的表现形式多样， 证明思维方式灵活 这里对柯西不等式的一般形式作了介绍， 举例说明了它在解答最大值、 最小值、 不 等式的证明等问题中的应用， 还有一些其他的证明问题用柯西不等式解会更加简明， 体现了柯西不等式应用的广泛性 关键词: 柯西不等式; 最大值; 最小值; 证明 作者简介: 史咏梅( 1970 ) ， 女， 甘肃临泽人， 大学本科， 中学高级教师， 主要从事高中数学教育研究 一、 柯西不等式 设 a1， a2， ， an及 b1， b2， ， b n是任意实数， 则 ( a1b1+ a2b2+ + anbn) 2 ( a2 1 + a2 2 + + a2 n) ( b2 1+ b 2 2+ + b 2 n) ， 等号当且仅当b 1 a1 = b2 a2 = = bn an时成立( 约定 ai =