信号与系统王明泉第八章习题解答

第8章 系统分析的状态变量法8.1 学习要求（1）了解状态变量、状态、初始状态、状态空间、状态方程、输出方程、系统方程等概念及内涵；（2）能根据系统结构图、微分方程、差分方程、转移函数、系统框图，正确的选择状态变量，列出系统的状态方程和输出方程，并写成标准矩阵形式；（3）能采用时域方程和变换域方法求解系统状态方程和输出方程；（4）能根据状态方程和输出方程画出系统的框图。8.2 本章重点（1）连续系统状态方程和输出方程的建立与求解；（2）离散系统状态方程和输出方程的建立与求解。8.3 本章的知识结构8.4 本章的内容摘要8.4.1状态方程的建立状态方程是描述系统的状态变量之间及其与激励之间关系的一阶微分方程，而输出方程是用状态变量和激励(有时还可能有激励的某些导数)表示的函数关系式。（1）连续时间系统状态方程的建立通常，标准形式的状态方程为 系统输出方程的标准形式为 式中表示状态变量的一阶导数，是与外加信号有关的项，、和为常数矩阵。直接法：利用系统实际结构及系统所遵循的物理规律直接列出方程的方法。间接法：根据已知的输入输出方程、系统框图或系统函数列写状态方程的方法。（2）离散时间系统状态方程的建立对于一个有个输入和个输出的离散系统，如有个状态变量，其状态方程的一般形式为 输出方程的一般形式为 可简写为 式中和是常数矩阵。8.4.2状态方程的求解（1）连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解方法有两种，即时域解法和复频域解法。1时域解法式中，=表示状态转移矩阵函数（ 矩阵指数函数）系统的输出由两部分组成，即第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。2复频域解法 式中是系统的零输入响应，是系统的零状态响应。在零状态条件下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比定义为系统传递函数，故矩阵称为系统的传输函数矩阵。因此，系统零输入响应也可以用来求解。对式(8-13)、(8-15)取拉普拉斯逆变换得 比较式(8-16)和(8-7)得 式中是的伴随矩阵，是的特征多项式。（2）离散系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解方法有两种，即时域解法和域解法。 1时域解法 式中，是状态向量的零输入解，是状态向量的零状态解。 式中是系统的零输入响应，是系统的零状态响应。的求解可以利用成分矩阵来求。 2 域解法 式中是系统的零输入响应，是系统的零状态响应。8.5典型题型解析题1、已知某系统的状态方程为则下列选项中不可能是该系统的零输入响应的是（ ）(a) (b) 0 (c) (d) 答案：(d)分析：系统特征多项式为，得 ，计算可得特征值为 ,，所以是不可能为零输入响应题2、写出下图所示电路的状态方程。解：选为状态变量，则有即题3、如下图所示系统，以、和为状态变量，以为响应，写出系统的状态方程和输出方程。解：根据系统框图，可得整理得做拉氏反变换得所以得系统的状态方程系统输出方程题4、已知系统的状态方程和输出方程分别为初始状态和输入信号分别为和求系统的输出响应。解：故得状态向量的s域零输入解状态向量的s域零状态解所以可得状态向量时域零输入解状态向量时域零状态解所以状态变量所以题5、试计算下列矩阵的矩阵函数（1） （2）解： （1）得 则有解得系数为于是（2）得 则有解得系数为于是8.6本章习题全解8.1 如题图8.1所示电路图，输出量取，状态变量取、的电压和，。要求写出系统的状态方程和输出方程。题图8.1解：设回路电流为，则 （式1）列出回路电压方程， （式2）由（式1、2）得将状态变量及个参数代入，可得输出量所以系统的状态方程为输出方程为82已知系统框图如下所示题图8.2试写出其状态方程和输出方程。解：根据图中的积分器列出状态方程：输出方程：8.3已知一系统连续时间系统函数为用流图的串联结构形式建立状态方程和输出方程。解：系统函数因式分解得：所以流图为：郑君理，信号与系统 图12-13选择积分器输出为状态变量的状态方程：整理得输出方程为：8.4 已知系统在零输入条件下的状态方程为当时，；当时，求和。解：（1）在零输入条件下，代入已知条件得，所以有解得：（2）求矩阵8.5 设一连续系统如题图8.5所示。(1) 试求该系统的状态方程；(2) 根据状态方程求系统的微分方程；(3) 系统在作用下，输出响应为，求系统的初始状态。题图8.5解：（1）以积分器输出端作为状态变量，得状态方程输出方程为：（2）由状态方程得，；所以系统函数所以微分方程为：（3）对系统微分方程两边求拉式变换得：整理得由已知条件对比上两式可得：即根据输出方程和可得，即8.6已知系统的状态方程与输出方程为其中，输入激励为单位阶跃函数，求系统的零输入响应、零状态响应和全输出响应。解：采用复频域法求解系统的零输入响应为所以系统的零状态响应为所以系统的完全响应为8.7 已知某连续系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为，起始状态和输入信号分别为和求系统的输出响应。解：采用时域法求解系统的特征多项式为 得 特征值是 ,所以有：解得系数为得 将和代入系统的状态方程得 系统的输出方程为代入得， 8.8已知系统的微分方程为，求系统函数和输出响应。解：输入输出方程是三阶微分方程，该系统必须有三个状态变量。可选择输出变量和其一阶、二阶导数作为状态变量，即将状态变量代入系统的输出方程，并与、两式联立，可得状态方程矩阵形式为 输出方程可以写成所以得，8.9 描述二阶连续系统的动态方程为求描述该系统输入输出的微分方程。解：根据已知条件，所以微分方程为：8.10已知某离散系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为， 初始状态和输入信号分别为和求系统状态方程和输出方程的解。解：采用z域法求解所以所以8.11已知某离散系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为，初始状态和输入信号分别为和求系统状态方程的解、零输入响应和零状态响应。解：采用z域法求解（1）系统状态方程的解所以系统状态方程的解为（2）系统零输入响应所以系统零输入响应为（4）系统零状态响应所以系统零状态响应为8.12已知一离散系统的状态方程和输出方程分别为当时，输入，输出。求 （1）系数和的值； （2）状态方程解。解：（1）根据条件， （式1）根据得， （式2）结合式1、2得，（2）状态方程的解所以状态方程的解：8.13 已知某离散系统的状态方程与输出方程为初始状态 ，激励。试求其状态转移矩阵、状态方程和输出方程解。解：（1）根据特征矩阵，得所以状态转移矩阵（2）求解状态方程的解（3）求解输出方程的解8.14 已知连续系统的状态方程为输出方程为根据定义判断系统