线性方程组的解空间

第六章 向量空间6.1 定义和例子6.2 子空间6.3 向量的线性相关性6.4 基和维数6.5 坐标6.6 向量空间的同构6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。2、注意：齐次线性方程组（含个未知量）的解的集合构成的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。二、内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设，的每一行看作的一个元素，叫做的行向量，用表示；由生成的的子空间叫做矩阵的行空间。类似地，的每一列看作的一个元素，叫做的列向量；由的个列向量生成的的子空间叫做矩阵的列空间。注：的行空间与列空间一般不同，分别是与的子空间；下证其维数相同。引理6.7.1设，1）若，是一个阶可逆矩阵，则与有相同的行空间；2）若，是一个阶可逆矩阵，则与有相同的列空间。分析：设，是的行向量，是的行向量；只需证这两组向量等价。由题述关系得： =即的每个行向量都可以由的行向量线性表示；因为可逆，有，同上得每个行向量都可以由的行向量线性表示，这样这两组向量等价。定理6.7.2矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。证法：设，分别证行、列空间的维数为。由维数的定义及行空间的概念，只需证行（列）空间的生成元的极大无关组含个向量；为此不直接讨论，由引理讨论讨论与有相同行空间的一个矩阵，可结合有关矩阵的结论：存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得。证明：设，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得 （1），两边右乘得，上式右端中后行全为0，而前行即为的前行；由于可逆，所以它的行向量线性无关，因而它的前行也线性无关，由此得上式右端乘积矩阵的行空间的维数为，由引理的行空间的维数为。由（1）类似得，可得的列空间的维数也为。定义：矩阵的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数，叫做矩阵的秩。2、线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同。”证明：设线性方程组 （1）令表示（1）的系数矩阵的列向量，则（1）可写为： （2）必要性）若（1）有解，即存在使（2）成立，即可由线性表示，从而与等价，进而（）=（），即与的列空间相同，由定理。 充分性）若，由定理2即与的列空间维数相同，又因的极大无关组一定是的线性无关组，所以，即，因而可由线性表示，所以（1）有解。2）齐次线性方程组的解空间设 （3）是数域上一个齐次线性方程组，令为其系数矩阵，则（3）可写为 （4）或；（3）的每一个解都可以看作的一个向量，叫做（3）的一个解向量。令表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因，所以；其次：，有，即。因此作成的一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间。注：当仅有零解时，；当有非零解时，上述讨论反映了齐次线性方程组的解的两个重要性质：1）两解之和为解；2）一解之倍数仍为解。从而有无穷多解，那么这些解是否可用有限个解表出，上知（3）的解集是的一个子空间，从而说明这是可以的，只需求出的一个基即可。下面就来解决这个问题，即求（3）的解空间的一个基。重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵的秩为，则可经过一系列（行）初等变换化为，与此相应的齐次线性方程组为：（5），这里是的重新编号。（5）有个自由未知量，依次让它们取，可得（5）的个解向量：。下面证其是（5）的解空间的一个基。首先：线性无关。事实上设，由下面个分量易得。其次：设是（5）的任一解，代入（5）得：又有恒等式：此个等式即为，即（5）的每个解向量都可以由线性表示，故为（5）的解空间的一个基。注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解，所以重新编排的次序可得（4）的解空间的一个基，从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题。并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组，在等价组中自由未知量是清楚的，给其一组线性无关值，便得等价组的一组解向量，其构成等价组的解空间的一个基，再调整解向量的次序便得。上述讨论得：定理6.7.3数域上一个元齐次线性方程组的一切解作成的一个子空间，称之为这个线性方程组的解空间。若所给方程组的系数矩阵的秩为，则解空间的维数为。定义：一个齐次线性方程组的解空间的一个基，叫做这个方程组的一个基础解系。注：上述讨论给出了齐次线性方程组的基础解系的存在性及求法；其中自由未知量取值时，只需保证线性无关即可。（例略）3）非齐次线性方程组的解的结构设 （6）是数域上一个元线性方程组。问题当（6）有无穷解时，解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0，便得一个齐次线性方程组 （7），齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组。注：任一线性方程组都有唯一的导出齐次线性方程组。为讨论上述问题，先讨论（6）与其导出齐次线性方程组（7）的解之间的关系。1）（6）的两个解的差是（7）似的解；事实上，设是（6）的两个解，有，所以。2）（6）的一个解与（7）的一个解的和是（6）的一个解。（同上）（6）的解的构造：定理6.7.4若（6）有解，则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和。证明：设是（6）的一个固定解，是（