2020欣迈高数密押卷7

浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 1 2020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（七）套密押预测卷（七） 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分选择题部分 注意事项注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 规定的位置上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 已知函数 2|sin | ( ) x f xx e，则函数)(xf是（） A. 有界函数B. 单调函数C. 偶函数D. 周期函数 2. 函数( )=ln1f xx 的导数为（） A. 1 1x B. 1 1x C. 1 1x D. 1 ,1 1- 1 ,1 -1 x x x x 3.若( )( )df xdg x ，则下列结论不正确的是（） A.( )( )df xdg xB.( )g ( )fxx C.( )=g( )f xxD.( )g ( )dfx dxdx dx 4. 微分方程 2 2cos x yyyex 的特解应设为（） A.( sincos ) x yeaxbx B.( sincos ) x yxeaxbx C. 2 ( sincos ) x yx eaxbx D. 2 ()sin()cos x yx eaxbxcxdx 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 2 5. 设级数 1 1 ( 1) ln(1) n n n U n ，则级数是（） A. 级数 1 n n U 和级数 2 1 n n U 都收敛 B. 级数 1 n n U 和级数 2 1 n n U 都发散 C. 级数 1 n n U 收敛，级数 2 1 n n U 发散 D. 级数 1 n n U 发散，级数 2 1 n n U 收敛 非选择题部分非选择题部分 注意事项注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 6. 极限 21 lim( sinsin ) x xx xx _. 7. 若lim 5 n n x ，则 11 237 lim 4 nnn n xxx =_. 8. 设函数 y yxe，则 dy dx _. 9. 设参数方程 2 3 ln 23 xtt ytt ，则 2 1 2 t d y dx _. 10. 设函数 2 2ln 1yx，则其凹区间是_. 11. 1 2 1 cos1xxx dx _. 12. 设 2 1 ( )cos x f xuudu，则 ( )df x dx _. 13.两个平面4538xyz 与227xyz的夹角为_. 14. 将 1 ( ) 3 f x x 展开成(2)x的幂级数_. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 3 15.以 2 12 (cossin ) x yecxcx为通解的二阶常系数线性微分方程为_. 三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60 分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. 16. 求极限 22 3 0 ln(1)ln(1 sin) lim sin x xx xx . 17. 设 2 22 1 1 1 xx y xx ，试求该函数的间断点并说明其所属类型. 18. 函数( )yy x是由方程(1)2 xxyx yexee所决定， 求该函数的导数， 并求出当0 x 时的导数值. 19. 计算不定积分 1 11dxx . 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 4 20. 计算定积分 50 -50 1-sin2xdx . 21.求曲线 1 y x ，直线y x 和2x 所围成图像的面积，以及此平面图形绕x轴旋转一周 形成的旋转体体积. 22. 求过点 B(1,1,1)，且与直线 2 23 35 xt yt zt 垂直，又与平面25xz平行的直线方程. 23.判断级数 1 2! n n n n n 的敛散性. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 5 四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 24. 证明：当0 x ， 1 arctan 2 x x 恒成立. 25设函数( )f x二阶可导，且 0 ( ) lim0 x f x x ，(0)0f，(1)0f，试证明：至少存在一 点，使得(0f . 26.设函数( ),f x函数满足 0 ( )() ( ) x x f xetx f t dt ，求( )f x. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 6 2020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（套密押预测卷（七七） 参考答案与解析参考答案与解析 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 【答案答案】（C） 【知识点知识点】函数的性质。 【解析解析】A.判断有界性:由题易得 f x在 R 上连续，判断有界性只需要判断 lim x f x ， sin lim x x e 有界且大于 0， sin limlim x xx f xe 无界，故 A 错误。 B. 判 断 单 调 性 ： 单 调 性 利 用 一 阶 导 数 来 判 断 ， 当0 x ， 2sin x f xx e， sin2sin 2cos xx fxxex ex。当2x ， 0fx，不单调，故 B 错误。 C.判断奇偶性:直接代入奇偶性的定义 2 sinsin2xx fxxex ef x ，故为偶函 数，C 正确。 D.判断周期性：由函数表达式易得该函数不具备 f xf xT的性质。故 D 错误。 2. 【答案答案】（A） 【知识点知识点】分段函数求导 【解析解析】 ln1, 1 ln1 ,1ln 1 x x f xx xx ， 1 ,1 1 1 ,1 1 x x fx x x 1 ,1 1 1 ,1 1 x x x x 1 1 1 x x 故选 A. 3. 【答案答案】（C） 【知识点知识点】不定积分与微分。 【解析解析】已知 df xdg x ，那么 12 f xCg xC。 A：对等式两边同时求微分可推得 df xdg x，故 A 正确； 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 7 B：对等式两边同时求导可得 fxgx ，故 B 正确； C： 12 f xCg xC无法推出 f xg x，故 C 错误； D：( )g ( )dfx dxdx dx 12 df xCd g xC df xdg x，故 D 正确。 4. 【答案答案】（B） 【知识点知识点】二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 【解析解析】 cos x f xex 是 cossin x ln f xeP xxPxx 型 设 12* cossin kx mm yx eRxxRxx 1 ，1特征方程为 2 220rr ，特征根为 12 ,1r ri ，i是特征根，故 1k 。 1 l P x ， 0 n Px ，0ln，max,0ml n， 设 1 m Rxa， 2 m Rxb， * cossin x yxe axbx ，故选 B。 5. 【答案答案】（C） 【知识点知识点】数项级数敛散性的判断。 【解析解析】 11 ln 1ln 1 1nn ， 1 limln 10 n n ，故由莱布尼茨定理可得， 级数 11 1 1ln 1 n n nn u n 收敛.由比较审敛法的极限形式可得： 1 ln 1 lim1 1 n n n 2 1 ln 1 lim 1 n n n = 2 1 ln1 lim 1 n n n =1. 故 2 1 n n u 敛散性与 1 1 n n 相同，故 2 1 n n u 发散，选择 C。 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 6. 【答案答案】2 【知识点知识点】求极限。 【解析解析】 21 lim( sinsin ) x xx xx = 21 lim sinlimsin xx xx xx = 2 lim0 x x x =2 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 8 注：第二步拆成两项需要满足两项极限都存在才可拆。 7. 【答案答案】15 【知识点知识点】数列极限的定义。 【 解 析解 析 】11 lim5,lim5,lim5 nnn nnn xxx （n 三 个 量 均 可 理 解 为） ， 11 237 lim 4 nnn n xxx 10 1535 lim 4 n 15 8. 【答案答案】 1 y y e y xe 【知识点知识点】隐函数求导。 【解析解析】隐函数求导先对等式两边求导，再提取 y 。 yy yexy e1 yy xeye； 1 y y e y xe 。 9. 【答案答案】1 【知识点知识点】参数方程求导。 【解析解析】 ： 2 63 dy t dt ， 1 2 dx t dtt ， 23 2 6363 1 12 2 dyttt dxt t t ， 242 222 2 1 1 12123 1 12 12 t t d yttt dxt t 10. 【答案答案】1,1 【知识点知识点】求凹凸区间。 【解析解析】 2 4 1 x y x ， 22 2 22 22 4 18 44 11 xx x y xx ，当1,1x ，0y 故函数的凹区间为1,1x 。 11. 【答案答案】 2 【知识点知识点】求定积分（利用奇偶性） 。 【解析解析】 1 2 1 cos1xxxdx 11 2 11 cos1xxdxx dx = 11 2 11 cos1xxdxx dx 1 2 0 021x dx 1 2 0 11 2arcsin1 22 xxx 2 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 9 12. 【答案答案】 2 cosxx 【知识点知识点】积分上限函数求导。 【解析解析】 ( )df x dx 2 1 cos x uudu 2 cosxx 13. 【答案答案】 7 2 arccos 10 【知识点知识点】两平面的夹角即为两平面法向量的夹角（小于 90） 。 【解析解析】cos 12 12 n n nn 8 103 1625944 1 7 2 10 ， 7 2 arccos 10 。 14. 【答案答案 f x 0 213 n n xx 【知识点知识点】将函数展开成幂级数。 【解析解析】将 f x在2x 处展开，先凑2x， 1 12 f x x ； 再根据形势代入公式， f x 0 213 n n xx 15. 【答案答案】450yyy 【知识点知识点】二阶常系数齐次线性微分方程求解。 【解析解析】逆向思维可推得特征根为共轭复根 1,2 2ri ，特征方程为 2 450rr ， 齐次方程为450yyy 三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60 分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. 16. 【答案答案】 1 3 【知识点知识点】求极限。 【解析解析】 2 2 3 0 1 () 1 sin lim sin x x ln x xx 22 2 3 0 sin (1) 1 sin lim sin x xx ln x xx .（1 分） 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 10 22 2 4 0 sin 1 sin lim x xx x x 22 24 0 sin lim (1 sin) x xx x x 3 0 22sin cos lim 4 x xxx x .（2 分） 3 0 2sin2 lim 4 x xx x 2 0 22cos2 lim 12 x x x .（5 分） 2 0 1 cos2 lim 6 x x x 1 3 .（7 分） 17.【知识点知识点】判断间断点类型。 【解析解析】 当0 x 时， 2 22 0 0 1 lim( )lim11 1 x x xx f x xx ， 2 22 0 0 1 lim( )lim11 1 x x xx f x xx 。 左极限与右极限不相等，所以该点为跳跃间断点。 当1x 时， 2 10 12 lim( )lim1+ +12 xx x f x xx ， 但是该点无定义， 所以该点为可去间断点。 当1x ， 2 10 1 lim( )lim1+ +1 xx x f x xx ，该点为无穷间断点。.（7 分） 18. 【答案答案】(0)1y 【知识点知识点】隐函数求导。 【解析解析】将0 x 代回原式可推出3y ，.（1 分） 再对原函数等式两边同时求导， (1)()2 xxxyxyx y eyeexeyxye，.（3 分） y 2 31 xxy xxy y exye ex e .（5 分） 将0 x ，3y 代入表达式 (0)1y .（7 分） 19. 【答案答案】 212ln 11xxC 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 11 【知识点知识点】定积分第二类换元法使用。 【解析解析】令 1xt ， 2 1xt ，2dxtdt.（1 分） 11 2 111dx tdt tx .（2 分） 2 2 1 dt t 22ln 1ttC.（5 分） 212ln 11xxC .（7 分） 20.【答案答案】200 2 【知识点知识点】利用周期函数的性质计算定积分。 【解析解析】 50 -50 1-sin2xdx 50 22 -50 sincos2sin cosxxxxdx 50 |sincos|xx dx （周期函数定积分的性质）.（2 分） 50 2|sin( )| 4 xdx .（4 分） 3 44 3 44 50 2sinsinsin 444 xdxxdxxdx .（6 分） 200 2 .（8 分） 21. 【答案答案】 11 6 【知识点知识点】定积分的应用，结合图形，代入公式。 【解析解析】 根据图像，可得出上半支函数表达式 2 1 yxx，下半支函数表达式为 2 1 yx x .（1 分） 图像面积 2 2 2 1 1 113 ()2 22 Sxdxxlnxln x .（5 分） 体积 22 232 1 2 11 11111 ()| 36 x Vx dxdxx xx .（8 分） 22. 【答案答案】 111 274 xyz 【知识点知识点】 求直线方程。 【解析解析】 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 12 由题可知，直线的方向向量 1 (1,2,3)S ，平面的法向量为(2,0, 1)n 所以所求直线的方向向量为 1 ( 2,7, 4)SSn .（4 分） 且该支线经过点（1，1，1）.（5 分） 故直线方程为 111 274 xyz .（8 分） 23. 【答案答案】级数收敛 【知识点知识点】判断级数的敛散性。 【解析解析】根据级数类型判断应用比值审敛法。 1 lim n n n u u 1 1 2(1)! lim (1)2! nn nn n nn nn 2lim() 1 n n n n 1 2lim(1) 1 n n n (1) (1) 1 2lim(1) 1 n n n n n 2 1 e ，故级数收敛。.（8 分） 四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 24. 【知识点知识点】利用函数单调性求不等式。 【解析解析】 （证明： 由题可知， 要证 1 arctan 2 x x ， 即证 1 arctan 2 x x 大于 0 在(0,） 恒成立 令 1 ( )arctan,(0, 2 f xxx x ）. （2 分） 则 22 11 ( )0 1 fx xx ，即函数在定义域内单调递减.（4 分） 即 1 0,( )lim( ), lim( )lim(arctan)0 2 xxx xf xf xf xx x .（8 分） 故 1 arctan