最全的立体几何知识点和例题.ppt

1,立体几何序言,2,问题(1)是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出实际例子。,C,A,D,B,两直线没有公共点，则它们平行；,(2)请判断下列命题是否正确：,垂直于同一条直线的两条直线平行。,3,1、平面图形与立体图形的联系与区别：,联系：从集合论的角度看，两者都是点的集合；,区别：,平面图形由点、线构成，而立体图形是由点、线、面构成。,平面图形的点都在一个平面内，而立体图形的点不全在一个平面内；,4,2、立体图形的研究方法,考虑问题时，要着眼于整个空间，而不是局限于某一个平面；,立体图形的问题常常转化为平面图形问题来解决。,5,3、学习要点,搞清平面图形和立体图形的联系与区别；发展空间想像能力；提高推理论证能力。,6,4、立体几何的主要思想方法,类比法：,要善于与平面几何做比较，认识其相同点，发现其不同点，这种思想方法称之为类比思想。,转化法：,把空间图形的问题转化为平面图形问题去解决，这是学习立体几何的很重要的数学思想方法。,展开法：,将可展的空间图形展开为平面图形，来处理问题的思想方法称为展开思想。,7,14.1(1)平面的基本性质,8,一、平面,一个平面把空间分成两部分。一条直线把平面分成两部分。,2、平面的特征：,无厚度、无边界、无长度、无宽度(不能度量)；,无限延展的；,1、平面的概念：,不定义的原始概念,9,3、平面的画法：,通常用平行四边形来表示平面。,4、平面的表示方法：,垂直放置,水平放置,平面M,平面ABCD,M,平面,倾斜放置,10,5、相交平面的画法：,注意：必须画出其交线，被遮部分的线段画成虚线或者不画。,11,12,二、点与线、点与面的位置关系（集合语言表示法）,点P在(不在)直线l上，,点A在(不在)平面上，,13,三、线与面的位置关系（集合语言表示法）,(1)直线l在平面上(或平面经过直线l)：,直线l上的所有点都在平面上。,14,(2)直线l在平面外,直线l与在平面相交:,直线l与平面只有一个公共点。,15,直线l与在平面平行:,直线l与平面没有公共点。,16,直线与平面的位置关系（集合语言表示法）,(1)直线l在平面上(或平面经过直线l)：,(2)直线l在平面外,直线l与在平面相交P:,直线l与在平面平行:,17,四、面与面的位置关系（集合语言表示法）,(1)平面与平面相交：,空间不同的两个平面有公共点P。,18,(2)平面与平面平行：,两个平面没有公共点。,19,平面与平面的位置关系（集合语言表示法）,(1)平面与平面相交于直线l：,(2)平面与平面平行：,20,公理1如果直线l上有两个点在一个平面上，那么直线l在平面上。,集合语言表述,21,例1、判断题,如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那么这个面一定是平面；,一个平面一定可以把空间分成两部分。,直线l与平面的公共点的个数为0、1、2；,？两个平面可以把空间分成几部分，三个平面呢？,22,公理2如果不同的两个平面有一个公共点P，那么的交集是过点P的直线l。,23,例2、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：,点A在平面上，但不在平面上；,直线l经过不属于平面的点A；,平面与平面相交于直线l且经过点P。,24,P,Q,25,Q,26,A,B,C,D,E,P,例5、已知D、E分别是ABC的边AC、BC上的点，平面经过D、E两点（如图所示）求作：直线AB与平面的交点P,27,例1、判断题,如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那么这个面一定是平面；,如果一条直线在一个面上无论怎样放置，都与这个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；,一个平面一定可以把空间分成两部分。,直线l与平面的公共点的个数为0、1、2；,14.2(2)平面的基本性质,公理3不在同一直线上的三点确定一个平面。,“有且只有”、“存在且唯一”、“确定一个”表示同一个意思；,说明：,平面与平面有三个不共线的公共点，那么与重合。,推论1、一条直线和直线外的一点确定一个平面。,B,C,推论2、两条相交直线确定一个平面。,A,B,推论3、两条平行直线确定一个平面。,A,例1、回答下列问题三条直线相交于一点，可以确定多少个平面？,两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？,三点可以确定多少个平面？,四点可以确定多少个平面？,1或3,1或3,1或不确定,1或4或不确定,三个平面将空间分成的部分可能有几种？,4或6或7或8,例2、判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”(1)空间三点可以确定一个平面(2)两条直线可以确定一个平面(3)两条相交直线可以确定一个平面(4)一条直线和一个点可以确定一个平面(5)三条平行直线可以确定三个平面(6)两两相交的三条直线确定一个平面(7)两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合(8)若四点不共面，那么每三个点一定不共线,例3、已知不共点的三条直线两两相交，求证：这三条直线共面。,例4、已知：一条直线和两条平行线都相交，求证：这三条直线共面。,证明直线共面的常用方法：,1、先由这些直线中的某些直线确定一个平面；然后证明其他直线都在这个平面上。,2、先证明这些直线分别在两个（或几个）平面上；然后证明这两个（或几个）平面重合。,14.2(1)空间直线与直线的位置关系,公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性。,观察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,之间有何关系？,abcde,例1、已知在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,菱形,空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC、BD叫空间四边形的对角线。,例2、已知在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且EFGH是平面四边形，EH不平行FG。求证：直线EH、FG、BD共点。,证明若干条直线共点的常用方法：,先确定两条直线的交点；然后证明其他直线也经过此点。,在平面内,我们知道“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。空间中这一结论是否仍然成立呢？,定理1(等角定理)：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。,特征：方向相同,O1,a1,b1,等角定理从平面几何推广到立体几何,14.2(2)空间直线与直线的位置关系,问题：空间中的两条直线有几种位置关系？,1、空间两条直线的位置关系(不重合）,相交直线,平行直线,异面直线,-有且仅有一个公共点,-在同一平面内,没有公共点,不存在任何一个平面；没有公共点,-不能置于同一个平面内,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内：,异面直线,有一个公共点：,相交直线,无公共点,平行直线,异面直线,按平面基本性质分,按公共点个数分,2、异面直线的画法,说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.,例1、已知：直线l与平面相交于点A，直线m在平面上，且不经过点A，求证：直线l与直线m是异面直线,3、证明异面直线的方法,-反证法和定义法,例2、已知A、B、C、D是不在同一平面内的空间四点，求证：AB与CD、BD与AC、AD与BC是异面直线。,练习1、选择题两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是()A、一定是异面直线B、一定是相交直线C、可能是平行直线D、可能是异面直线，也可能是相交直线,一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A、平行B、相交C、异面D、相交或异面,练习2、已知长方体中,平行,相交,异面,BD和FH是直线,EC和BH是直线,BH和DC是直线,(2)与棱AB所在直线异面的棱共有条?,4,分别是：CG、HD、GF、HE,思考题：这个长方体的棱中共有多少对异面直线?,(1)说出以下各对线段的位置关系?,24,14.2(3)空间直线与直线的位置关系,1、异面直线所成的角：,对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a和b，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。,异面直线所成角的取值范围：,当两条直线所成角为直角时，则a与b垂直。记作：ab,说明：,当两条直线所成角为零角时，则a与b平行或重合。,例1(1)直线AA与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？,与CD，CD，BC，BC是互相垂直的异面直线。,(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直呢？,(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,垂直,平行、异面、相交,2、求异面直线所成角的一般方法,找出异面直线所成的角,简单说明理由,解含的三角形,作、证、算,平移法（常用方法）,补形法,3、定角一般方法,正弦定理,余弦定理,预备知识,例2、在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是线段A1B1，BB1的中点，出下列各对线段所成的角。,(1)AB与CC1,(2)A1B1与AC,(3)A1B与D1B1,=90,=45,=60,(4)EF与D1B1,E,F,=60,(5)AD1与B1C,=90,A1B和B1C所成角为60,在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？,M,N,在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？,例3、在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分别是线段A1B1、BB1的中点，求出下列各对线段所成角的大小。,(1)EF与AD1,(2)EF与B1C,(3)EF与A1C,(4)EF与AC1,A,B,D,C,A1,B1,D1,C1,在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？,例4、已知在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD上的中点，且EF=，求直线AD、BC所成角的大小。,60,思考题：已知正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，求(1)直线EF、AC所成角的大小；(2)直线AE、CF所成角的大小。,E,F,M,P,A,B,C,M,N,空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？,68,14.3(1)空间直线与平面的位置关系,69,(1)直线在平面内（有无数个公共点）；,线面位置关系：,(2)直线在平面外,（仅有一个公共点）,（无公共点）,70,日常生活中的直线与平面垂直的例子,71,1、线面垂直定义：,一般地，如果一条直线l与平面上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l与平面垂直，记作：l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，l与的交点P叫做垂足.,画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。,72,线面垂直直观图的画法：,73,2、线面垂直的性质（公理）,(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；,(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。,74,例1、下列命题是否正确？为什么？(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。(2)如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的无数条直线。,75,跨栏的支架,76,3、线面垂直的判断定理-定理2,如果直线l与平面上的两条相交直线a、b都垂直，那么直线l与平面垂直。,77,A,B,C,78,例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。,在上作两条相交直线,79,例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确？,AC面CDD1C1AA1面A1B1C1D1AC面BDD1B1EF面BDD1B1ACBD1BDA1F,80,例4、已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。求证：PO平面ABCD,81,求证：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面上的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。,逆命题是：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面上的射影垂直。,82,小结1、线面垂直的定义2、线面垂直的判断定理,83,14.3(2)空间直线与平面的位置关系,84,复习线面垂直的定义线面垂直的判断定理,85,空间图形中的有关距离：,1、点M和平面的距离设M是平面外一点，过点M作平面的垂线，垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点M和平面的距离。,86,2、直线l和平面的距离设直线l平行于平面，在直线l上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做直线l和平面的距离。,87,3、平面和平面的距离设平面平行平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。,88,在正方体中，观察给出的三条棱所在直线的关系：,89,4、异面直线a和b的距离设直线a和直线b是异面直线，当点M、N分别在a和b上，且直线MN既垂直于直线a，又垂直于直线b时，我们把直线MN叫做异面直线a和b的公垂线，垂足M、N之间的距离叫做异面直线a和b的距离。,90,说明：(1)异面直线间距离具有存在性、唯一性、最小性；,(1)找出公垂线段；,(2)异面直线间距离的求法：先“证”后“算”。,5、异面直线距离的方法,(2)转化为线面距离。,91,例1、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4cm、AB=5cm、AD=6cm。求(1)求点A和点C1的距离；(2)求点A到棱B1C1的距离；(3)求棱AB和平面A1B1C1D1的距离；(4)求异面直线AD和A1B1的距离。,92,例2、已知线段AB的两端点A、B到平面的距离分别是30cm和50cm。求分线段为AP:PB=3:7的点P到平面的距离。,36cm或6cm,B,A,P,P1,A1,B1,B,A,B1,A1,P,P1,93,例3、AB是O的直径，C为圆上一点，AB2，AC1，P为O所在平面外一点，且PAO，(1)证明：BC平面PAC；(2)若PBA=45，求点A到平面PBC的距离。,94,例4、正方体ABCDA1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC中点，AA1=a,O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。,95,例4、如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D、E分别是OA、BC的中点，连结DE。(1)求证：DE是OA和BC的公垂线；(2)求OA和BC间的距离。,O,A,B,C,D,E,96,小结(1)点面距离；(2)线面距离；(3)面面距离；(4)异面直线间的距离。,97,练、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=5AB=12，AD=13。(1)求点B和点D1的距离；(2)求点C到棱A1B1的距离；(3)求棱CD和平面AA1B1B的距离；(4)求异面直线DD1和B1C1的距离。,98,14.3(3)(4)空间直线与平面的位置关系,直线与平面所成的角,99,线面关系,直线与平面的位置关系：,1.直线在平面内：,2.直线与平面相交：,3.直线与平面平行：,有无数个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点,a,线面相交的特殊情况线面垂直定义：定理2：,如果一条直线l与平面上的任何直线都垂直,如果直线l与平面上的两条相交直线a、b都垂直，那么直线l与平面垂直。,今天研究线面相交的一般情况,100,1、平面的斜线,当直线l与平面相交且不垂直时，叫做直线l与平面斜交，直线l叫做平面的斜线。,斜线l与平面的交点M叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。,A,101,2、射影,设直线l与平面斜交于点M，过l上任意点A（异于点M），作平面的垂线，垂足为O，我们把点O叫做点A在平面上的射影，直线OM叫做直线l在平面上的射影。,斜线上一点与垂足间的线段叫做这个点到平面的垂线段。垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。,思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是否有关？,102,思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是否有关？,A,O,假设在直线l上另取点A（异于M），在面AMO内过A作AO/AO交MO于点O。,因为AO平面，所以AO平面。所以直线l在平面上的投影是直线MO（即MO）,直线l在平面上的射影与点A在l上的取法无关！即对于任意一条斜线在平面内的射影是唯一的！,103,例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）线段AB1在面BB1D1D中的射影（2）线段AB1在面A1B1CD中的射影,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,104,A,D,C,B,例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）线段AB1在面BB1D1D中的射影（2）线段AB1在面A1B1CD中的射影,105,思考一：通过观察比萨斜塔，如果把斜塔看成斜线，地面看成面，如何用数学知识来描述斜塔的倾斜程度呢？如何求得呢？,线面所成的角,思考二：异面直线所成的角是如何定义的？,思考三：那么斜线与平面所成角是否也可类比定义，转化为两相交直线所成的角？,转化为两相交直线所成角来定义,但经过斜足的直线有无数条，选取哪条直线与斜线所成的角来定义直线与平面所成的角呢？,由于斜线在一个平面内的射影是确定的，而面内其它的直线却具有不确定性！,106,C,探究：斜线与射影所成角和斜线与平面内任意一条直线的所成角之间的大小关系？,斜线与射影所成角是斜线与平面内任意一条直线的所成角中的最小值！,107,3、直线和平面所成的角,规定斜线l与其在平面上的射影OM所成的锐角叫做直线l与平面所成的角。规定：当直线l与平面垂直时，它们所成的角等于90若直线l与平面平行或直线l在平面上时，它们所成的角为0。,108,说明：,(1)直线和平面所成角的范围是,(2)斜线和平面所成角的范围是,109,例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为1，(1)求直线D1B1和平面A1B1BA所成的角；,解：,110,(2)求直线D1B和平面ABCD所成的角。,解：,111,练习：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,0o,112,练习：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,90o,113,练习：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,C,45o,114,练习：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,30o,115,小结：求直线与平面所成的角方法,(1)先判断直线与平面的位置关系；,(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：,作出(找出)斜线上的点到平面的垂线；,作出(找出)斜线在平面上的射影；,求出斜线段、射影、垂线段的长度；,解此直角三角形。,其中关键是确定斜足和垂足,116,思考题：已知正六边形ABCDEF的棱长为1，PA垂直于正六边形ABCDEF所在的平面M，且PA=1。求点P与正六边形各顶点连线和平面M所成的角；,117,(2)点P到正六边形各边的距离。,118,课后作业：P7（A）6、8P10（B）3、4P188、9.11堂堂练P1114.3（2）,119,观察：从平面外一点引平面的垂线段和斜线段及其射影，你有何发现？,120,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，,（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（3）垂线段比任何一条斜线段都短,垂线段和斜线段长定理,121,例2、点P是ABC所在平面外一点，且P点到ABC三个顶点距离相等，则P点在ABC所在平面上的射影是ABC的_心。,外,122,回顾有关概念：,MAM线段AM点OAO直线OM线段OM,点A在平面上的射影,点A到平面的垂线段,平面的一条斜线,斜足,斜线段,斜线AM在平面上的射影,斜线段AM在平面上的射影,连连看,123,例2、点P是ABC所在平面外一点，且P点到ABC三边所在直线的距离相等，则P点在ABC所在平面上的射影O是ABC的_心。,内,124,P,A,B,C,H,D,例3、正四面体P-ABC中，求侧棱PA与底面ABC所成的角。,125,P,A,B,C,H,D,例3、正四面体P-ABC中，求侧棱PA与底面ABC所成的角。,126,S,A,C,B,O,F,E,例4、如图ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角。,127,C,例5、直线OA与平面所成的角为，平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为1，设AOC为2求证：cos2=cos1cos,128,例6、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线B1C和平面D1AC所成的角。,H,129,14.3(5)空间直线与平面的位置关系,130,(1)直线在平面内（有无数个公共点）；,线面位置关系：,(2)直线在平面外,（仅有一个公共点）,（无公共点）,131,感受校园生活中线面平行的例子:,天花板平面,132,如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,1、直线和平面平行的判定定理,简称：线线平行线面平行,133,b,134,用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件：,直线a在平面外，,直线b在平面内，,两条直线a、b平行,这三个条件缺一不可.,135,如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。,简称：线面平行线线平行,2、直线和平面平行的性质定理,b,136,b,137,例1、判断题,(4)如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有直线平行。,(3)如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条直线平行；,(2)如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行；,(1)如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行；,138,说明：使用直线与平面平行的判定定理和性质定理时，必须都具备三个条件。,(1)线线平行线面平行；,(2)线面平行线线平行。,139,例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的点，过点P画一条直线使之与截面A1BCD1平行。,140,例3、已知空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：BD平面MNPQ.,141,例4、在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点。求证：AB1/平面DBC1,P,142,例5、在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由。,O,143,如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。,例6、求证：,144,小结：,2、“线线平行”与“线面平行”在一定条件下可互相转化，它们互为条件，互为结论；,3、在解题过程中，常需将判定定理与性质定理相结合，得到需要的结论。,1、判定定理和性质定理三要素；,145,14.4(1)空间平面与平面的位置关系,146,一、二面角,1、半平面：平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。,半平面,半平面,147,AB，由、的半平面及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角。记作：,2、二面角的定义：,交线AB叫做二面角的棱,棱,面,面,A,B,也记作：,两个半平面、叫做二面角的面。,148,3、二面角的画法：,(1)平卧式,(2)直立式,149,二、二面角的平面角,在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在面和上作棱AB的垂线OM和ON，射线OM和ON所成的角叫做二面角-AB-的平面角。如图,150,说明：,1、二面角的平面角的特点：,(3)角的两边都要垂直于二面角的棱。,(1)角的顶点在棱上；,(2)角的两边分别在两个半面内；,151,3、二面角的范围：,2、当二面角的平面角是n时，就说这个二面角是n(0n180)；,4、二面角的大小与点O在棱上选取的位置无关；,5、平面角是直角的二面角叫做直二面角。,152,三、二面角的平面角定位,(1)点P在棱上：,定义法,153,(2)点P在一个半平面上：,垂线法,H,B,过H向棱作垂线HB，交棱于B，,PBH就是二面角的平面角。,连结PB。,154,(3)点P在二面角内：,垂面法,A,B,O,通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。,155,(4)射影法：若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S0，则二面角的大小为,A,B,C,D,156,157,例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求(1)二面角D1-AB-D的大小；(2)二面角A1-AB-D的大小。,158,例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求(1)二面角B1-AA1-C1的大小；(2)二面角B-AA1-D的大小；(3)二面角C1-BD-C的大小。,159,例3、在一个倾斜角为300的斜坡上，沿着与坡脚的水平线成600角的道路上山，行走100米，求这个人升高了多少米？,A,B,H,C,100,300,600,160,P,A,O,B,例4、如图，二面角的大小为，PA于A点，PB于B点，PA=4，PB=6，求点P到棱的距离.,l,161,例4、在锐二面角中，若到的距离是到的距离的倍，求二面角的大小,162,例5、如图，的斜边在平面内，AC、BC与平面所成角为300和450，求所在平面与平面所成的锐二面角。,163,例7、如图，二面角的平面角为,PA于A点，PB于B点，PA=a,PB=b,求点P到棱的距离.,P,A,O,B,164,例8、将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，求B、D两点间的距离。,M,165,2、二面角的平面角,1、二面角,3、求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,定义法,垂线法,垂面法,小结：,射影法,166,14.4(2)空间平面与平面的位置关系,167,例1、已知二面角的大小为，线段CD夹在二面角内，CAl，DBl，垂足分别为A、B，且AC=6，BD=8，AB=4，求CD的长.,E,168,例2、已知二面角的大小为，线段AB夹在二面角内，CAl，DBl，垂足分别为A、B，且AC=2，AB=10，求AB与平面所成的角。,H,169,例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是中点，求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,E,F,170,E,F,G,171,例4(1)已知P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC，试判断点P在底面ABC的射影的位置？,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,P,A,B,C,O,172,(2)已知P是平面ABC外一点，且P到底面三角形ABC的三条边的距离相等，试判断点P在底面ABC的射影的位置？,O为三角形ABC的内心,P,A,B,C,O,E,F,173,(3)已知P是平面ABC外一点，且PA、PB、PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,O为三角形ABC的垂心,P,A,B,C,D,O,174,1、三条侧棱相等,2、侧棱与底面所成的角相等,3、侧面与底面所成的角相等,4、顶点P到ABC的三边距离相等,5、三条侧棱两两垂直,6、相对棱互相垂直,7、三个侧面两两垂直,外心,外心,内心,内心,垂心,垂心,垂心,在下列条件下，判断三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置,175,14.4(3)空间平面与平面的位置关系,176,1、直线与平面平行的判定定理和性质定理,(1)线线平行线面平行；,(2)线面平行线线平行。,复习,177,2、两个平面的位置关系,178,3、两个平面平行的画法,(2)不正确画法,179,由两个平面平行的定义得：,1、如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行；,2、如果一个平面内的任意直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行。,两个平面平行的问题可以转化为线面平行的问题来解决，可是最少需要几条线与面平行呢？,180,若平面内有两条直线a、b都平行于平面，能保证吗？,181,1、平面平行的判定定理,如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。,已知：a在平面上，b在平面上，ab=P，a，b求证：,简称：线面平行面面平行,182,已知：a在平面上，b在平面上，ab=P，a，b求证：,183,如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。,2、两个平面平行的性质定理,简称：面面平行线线平行,184,例1、判断题1.若平面内有两条直线平行于平面,则与平行；2.若平面内有无数条直线平行于平面,则与平行；3.平行于同一条直线的两个平面平行；4.两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行。,185,例2、如图，在长方体ABCD-ABCD中，求证：平面CDB平面ABD,186,例3、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.,187,例4、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面、之间的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点，求证：直线MP/平面.,188,15.1多面体的概念,189,一、基本概念,由平面多边形(或三角形)围成的封闭体叫做多面体.,构成多面体的各平面多边形(或三角形)叫做多面体的面.,多面体相邻面的公共边叫做多面体的棱.,棱与棱的交点叫做多面体的顶点.,190,二、两种简单多面体,1、棱柱,如果一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱.,棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形.,不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱.,两个底面间的距离叫做棱柱的高.,多面体的面多面体的棱多面体的顶点,191,(1)侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。,直棱柱的侧面都是矩形，且这些矩形高相等，直棱柱的高与侧棱的长相等。,192,(2)底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,正棱柱的各侧面是全等的矩形,正棱柱是同时满足下列两条的棱柱：1.底面是正多边形2.侧棱垂直于底面,193,(3)特殊性质的棱柱,底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形。这样的棱柱叫做平行六面体.,194,底面是矩形的直棱柱叫做长方体,所有棱长都相等的长方体叫做正方体,195,例1、下列几何体哪些是棱柱？直棱柱？正棱柱？,（1）,（2）,（3）,（5）,（6）,196,例2、下列命题正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形几何体叫棱柱.C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.D.有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱.,D,197,练：把四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体集合、正四棱柱集合、正方体集合分别记作集合A、B、C、D、E、F，试考虑A、B、C、D、E、F之间的包含关系,198,例3、下列命题中的假命题是()A.直棱柱的侧棱就是直棱柱的高.B.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.C.直棱柱的侧面是矩形.D.有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.,例4、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是()A.棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直.B.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直.C.棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直.D.棱柱的侧面与底面都是矩形.,B,C,199,例5、判断下列各说法是否正确：,(1)有两个全等的多边形的面相互平行，其余各面是平行四边形的多面体是棱柱；,(2)棱柱的侧棱彼此平行；,(3)棱柱的高等于棱柱的侧棱长；,(4)有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；,200,(5)底面是正方形的棱柱是一种长方体。,(6)所有棱长都相等的直棱柱是一种正方体。,(7)底面是菱形的棱柱是一种平行六面体。,(8)侧面都是全等矩形的棱柱是一种正棱柱。,201,如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥.,棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥的侧面都是三角形.,不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱,侧棱的公共点叫做棱锥的顶点,顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高,2、棱锥,202,(1)棱锥的分类,按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等。,203,(2)特殊性质的棱锥,如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥.,正棱锥的各侧棱长相等；,正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形；,正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等。,204,正棱锥是同时满足下列条件的棱锥：1.底面是正多边形2.顶点与底面中心的连线垂直于底面。,205,(4)棱锥的高可以是棱锥的一条侧棱长；（）,例6、判断下列各说法是否正确：,(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（）,(2)各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；（）,(3)各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（）,(5)正四面体是一种正三棱锥。（）,206,15.2(1)(2)多面体的直观图,要在平面上画出具有立体感的空间图形的直观图，就要求画图方法符合透视的原理。,平行透视,点透视,207,“斜二测”画图法,（）规定按图所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做z轴、y轴和x轴,z,y,x,135,（）规定z轴和y轴方向上线段与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一,有了以上规定之后，可在铅垂方向、左右方向和前后方向分别测量空间图形在对应方向上线段的长度，并计算出这些线段在x轴、y轴和z轴方向上相应的长度，从而画出空间图形的直观图,用这种方法画的空间图形的直观图叫做斜二轴测图,208,“斜二测”画图法有两条重要性质：,1.平行直线的斜二测图仍是平行直线,2.线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变,209,画多面体的直观图，首先要画出它的底面多边形的直观图（通常称为底面多边形的水平放置图）。,例1.画水平放置的边长为3cm和4cm的矩形的直观图,4cm,D,C,1.5cm,A,B,210,例2.画水平放置的边长为a的正六边形的直观图,G,F,C,G,2a,2a,A,E,B,D,x,x,y,y,211,练习1.画水平放置的边长为3cm的正三角形直观图,B,C,3cm,M,M,A,212,例3.画正三棱柱ABC-ABC的直观图，使它的底面是边长为2cm的正三角形，高为3cm,1.先画一个水平放置的边长为2cm的正三角形ABC,A,B,C,2.再沿z轴方向，作3cm线段AA、BB和CC,A,B,C,3.连结AB、BC和CA,4.把能看到的线改成实线,213,例3.所要求的直观图也可从另两个方向画出,你能叙述出这两个图的画图过程吗？,214,例4.画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为a的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为a,且垂直于底面,A,B,C,D,15.2(3)多面体的直观图,定义:当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线所围成的平面图形叫做平面截多面体的截面。,例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，1）画出由点A1、C1、D确定的平面与正方体表面的交线。,2)平面将正方体分割为怎样的两个多面体，画出这两个多面体的直观图,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,P,M,Q,例2、1)已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1的中点，过A、P、D1作一个平面，画出此平面截正方体的截面。,2)平面将正方体分割为两个多面体，画出这两个多面体的直观图,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,P,Q,例3、已知P、Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC的中点，过P、Q、D1作一个平面，画出此平面截正方体的截面。,例4、已知P、Q、M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、A1D1的中点，过P、Q、M作一个平面，画出此平面截正方体的截面。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,P,Q,M,例4(1)已知P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC，试判断点P在底面ABC的射影的位置？,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,P,A,B,C,O,(2)已知P是平面ABC外一点，且P到底面三角形ABC的三条边的距离相等，试判断点P在底面ABC的射影的位置？,O为三角形ABC的内心,P,A,B,C,O,E,F,(3)已知P是平面ABC外一点，且PA、PB、PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,O为三角形ABC的垂心,P,A,B,C,D,O,1、三条侧棱相等,2、侧棱与底面所成的角相等,3、侧面与底面所成的角相等,4、顶点P到ABC的三边距离相等,5、三条侧棱两两垂直,6、相对棱互相垂直,7、三个侧面两两垂直,外心,外心,内心,内心,垂心,垂心,垂心,在下列条件下，判断三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置,225,旋转体,153旋转体的概念,226,生活中旋转体的例子,227,我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.,旋转体的概念,这条定直线叫做旋转体的轴。,228,圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做圆柱的高,1圆柱,如图，将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱,AB所在直线叫做圆柱的轴,线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,CD叫做圆柱侧面的一条母线,A,B,C,D,轴,底面,底面,侧面,母线,互相平行,229,2圆锥,圆锥的顶点到底面间的距离（即AB的长度）叫做圆锥的高,将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥,AB所在直线叫做圆锥的轴，点A叫做圆锥的顶点,直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线,A,B,C,轴,侧面,底面,母线,与轴夹角相等,230,轴截面(过轴的截面),矩形,等腰三角形,231,圆柱与圆锥的相同点：,1.与轴垂直的边旋转形成的面叫做底面。,2.底面都是圆面。,3.不与轴垂直的边旋转形成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱侧面的母线。,4.平行于底面的截面都是圆面。,不同点：,1.圆柱有两个底面；圆锥有一个底面。,2.圆柱的所有母线互相平行;圆锥的所有母线交与一点,232,练习：,3.平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形。,1.直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥。,4.过圆锥顶点的截面是等腰三角形。,2.圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体。,判断下列命题,233,3球,将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球O,O,半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面,点O到球面上任意点的距离都相等，把点O称为球心,B,把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径,A,C,D,234,大圆,小圆,A,B,O,C,O1,C1,大圆所在的平面经过球心,小圆所在的平面不经过球心,235,练习：,1.过球面上的任意两点作球的大圆,只可以作1个。,2.当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆。,3.球的任意两个大