2017年北京市高级中等学校招生考试VIP

2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷(满分120分，时间120分钟)一、选择题(本题共30分，每小题3分)第110题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 如图所示，点P到直线l的距离是（ ）第1题图A. 线段PA的长度B. 线段PB的长度C. 线段PC的长度D. 线段PD的长度2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）A. x0B. x4C. x0D. x43. 如图是某个几何体的展开图，该几体何是（ ） 第3题图A. 三棱柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 圆柱4. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）第4题图A. a4 B. bd0 C. |a|d| D. bc05. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）6. 若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是（ ）A. 6 B. 12 C. 16 D. 187. 如果a22a10，那么代数式(a)的值是（ ）A. 3 B. 1 C. 1 D. 38. 下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况第8题图(以上数据摘自“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B. 20112016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C. 20112016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D. 2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9. 小苏和小林在如图所示的跑道上进行450米折返跑在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图所示下列叙述正确的是（ ） 图 图第9题图A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C. 小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程D. 小林在跑最后100 m的过程中，与小苏相遇2次10. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果第10题图下面有三个推断：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620.其中合理的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题(本题共18分，每小题3分)11. 写出一个比3大且比4小的无理数： 12. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 13. 如图，在ABC中，M、N分别为AC，BC的中点若SCMN1，则S四边形ABNM 第13题图14. 如图，AB为O的直径，C，D为O上的点，.若CAB40，则CAD . 第14题图 第15题图15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由OCD得到AOB的过程： 16. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.已知：如图，RtABC，C90.求作：RtABC的外接圆作法：如图. (1) 分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；(2)作直线PQ，交AB于点O；(3)以O为圆心，OA为半径作O. O即为所求作的圆请回答：该尺规作图的依据是 三、解答题(本题共72分，第1719题，每小题5分，每20题3分，第2124题，每小题5分，第25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，第29题8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 计算：4cos30(1)0|2|.18. 解不等式组：.19. 如图，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于点D.求证：ADBC.第19题图20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证第20题图(以上材料来源于古证复原的原则、吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽)请根据上图完成这个推论的证明过程21. 关于x的一元二次方程x2(k3)x2k20.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围22. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的长第22题图23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y(x0)的图象与直线yx2交于点A(3，m)(1)求k.m的值；(2)已知点P(n，n)(n0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线yx2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y(x0)的图象于点N.当n1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；若PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围第23题图24. 如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证：DBDE; (2)若AB12，BD5，求O的半径第24题图25. 某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩(百分制)如下：甲78867481757687707590 75798170748086698377乙93738881728194837783 80817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理，描述这两组样本数据：成绩x人数部门40x4950x5960x6970x7980x8990x100甲0011171乙(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，7079分为生产技能良好，6069分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格)分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论a估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ；b可以推断出部门员工的生产技能水平提高，理由为 (至少从两个不同的角度说明推断的合理性)26. 如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交于点M，连接MB，过点P作PNMB于点N，已知AB6 cm，设A、P两点间的距离为x cm，P、N两点间的距离为y cm.(当点P与点A或点B重合时，y的值为0)第26题图小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.10.90(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：第26题图(3)结合画出的函数图象，解决问题：当PAN为等腰三角形时，AP的长度约为 cm.27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx24x3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)若x1x2x3，结合函数的图象，求x1x2x3的取值范围28. 在等腰直角ABC中，ACB90，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQCP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M.(1)若PAC，求AMQ的大小(用含的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明第28题图29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点(1)当O的半径为2时，在点P1(，0)，P2(，)，P3(，0)中，O的关联点是 ；点P在直线yx上，若P为O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；(2)C的圆心在x轴上，半径为2，直线yx1与x轴、y轴分别交于点A，B.若线段AB上的所有点都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围2. 2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷1. B【解析】由点到直线的距离的定义可知，选项B正确2. D【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x40，x4.3. A【解析】由柱体的定义知，将该展开图翻折正好是三棱柱故选A.4. C【解析】由题图可知，5a4，2b1，0c1, d4.选项逐项分析正误A5a4，a4B2b10，bd0C5a4，4|a|5，又d4，|d|4|d|D2b10，0c1|c|，bc4200D4554.41368.23.3339. D【解析】选项逐项分析正误A由题图可知，小林先到达终点B全程路程一样，小林用时短，所以小林的平均速度大于小苏的平均速度C第15秒时，小苏离起点较远，且他们都在返回起点的过程中，说明小林跑的路程大于小苏的路程D题图两条线的交点即为两人相遇的点，故相遇两次10. B【解析】序号逐个分析正误当频数逐渐增大时，频率逐渐稳定的值即为概率.500次的实验次数偏低，且频率稳定在0.618由题图可知，频率稳定在0.618，故可估计概率为0.618该实验是一个随机试验当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定为0.620故选B.11. (答案不唯一)【解析】本题是一道开放题，答案不唯一是无理数且34，是一个大于3小于4的无理数；3x4，x，9x25x7，得：x2x，得x2，(4分)不等式组的解集为x1，x2k11，k0，k的取值范围为k0.(5分)22. 【思维教练】(1)要证四边形BCDE为菱形，需证四边形BCDE为平行四边形及有两条邻边相等；在RtABD中，ABD90，点E为AD的中点，可得AEDEBEAD，又AD2BC，可得DEBC，又ADBC，可得四边形BCDE为平行四边形，而BEDE，即可得证；(2)由AC平分ABD及ADBC可证得ABBC，而BCBEAE，可得ABE为等边三角形，进而求得ADB及BDC，从而可得RtACD，进而求得AC的长度(1)证明： 在RtABD中，ABD90，点E为AD的中点，AEDEBEAD，又AD2BC，DEBC，又ADBC，四边形BCDE为平行四边形，又BEDE, 四边形BCDE为菱形；(2分)(2)解：如解图，连接AC.AC平分ABD，12，又ADBC，13，23，ABBC， 第22题解图又AEBEBC，AB AEBE，ABE为等边三角形，BAE60，在RtABE中，ADB90BAE30，12BAE30，在菱形BCDE中，ADC2ADB60，ACD1801ADC 90，又BC1，在菱形BCDE中， CDBC1，在RtACD中，AC CDtanADC.(5分)23. 解：(1)将A(3，m)代入yx2得m321，(1分)A(3，1)，将A(3，1)代入y得k313; (2分)(2)n1，P(1，1)，把y1代入yx2得1x2，解得x3，M(3，1)，PM2, 把x1代入y得y3，N(1，3)，PN2，PM PN；(4分)n的取值范围为03. (5分)【解法提示】P(n，n)，把yn代入yx2得nx2，解得xn2，M(n2，n)，PM2, 把xn代入y得y，N(n，)，PN|n |，又PNPM，n0，当00，有n2，n22n3(n3)(n1)0，0时，n 0，有n2，n22n3(n3)(n1)0，n3.综上所述，n的取值范围为03.24. 【思维教练】(1)要证DBDE，DB、DE、BE构成BDE，只需证45，由CDOA可知1和3互余，通过切线的性质可知OBBD，进而可得2和5互余，又3和4为对顶角，而OAOB可得12，从而得证；(2)由AB的值，E为AB中点及(1)可推得EFFB的长度，由DFBE，DEBD的值，可求得DF的值，进而求得EDF的余弦值，由相似可得1的余弦值，进而在RtABG中求得AG的值，从而求得圆的半径(1)证明：如解图，CDOA，1390.BD为切线，OBBD，2590.OAOB, 12，又34，45，在BDE中，DBDE.(2分) 第24题解图(2)解：如解图，作DFBE于点F，延长AC交O于点G，连接BG. AB12，E为AB中点，AEBEAB6.在BDE中，DEBD, DFBE，BFEFBE3.在RtDEF中，EF3，DEBD5，DF4，cosEDF.在RtAEC与RtDEF中，34, RtAECRtDEF，1EDF，cos1cosEDF.在ABG中，AG为直径，ABG90，在RtABG中，AB12，cos1，AG15，rAG. (5分)25. 【思维教练】补全表格时，根据乙部门所分段数相应成绩的员工数填写；a.80分以上的员工人数除以所抽总人数乘以部门总人数即可求解；b.由中位数及众数可判断生产技能水平较高的部门解：填表如下： 成绩x人数部门40x4950x5960x6970x7980x8990x100甲0011171乙1007102(3分)a240；(4分)b乙；中位数高，众数位于优秀线上(6分)【解法提示】a.乙部门生产技能优秀的员工人数为400240(人)；b.80.577.5，8175, 乙部门的中位数比甲部门高，乙部门的众数位于优秀线上，而甲部门的众数位于优秀线下，乙部门员工的生产技能水平较高26. 【思维教练】(1)一种方法是通过作图用直接测量法量得NP的值，另一种方法是通过勾股定理及直角三角形的等面积转换，利用x2 cm时有y2.3 cm及x2 cm和4 cm时的对称性求得；(2)直接在网格上描点画线作图；(3)由题图可知APN90，当APN为等腰三角形时，只能是APPN，作直线yx与(2)中所描曲线的交点的横坐标的长度即为AP的值解：(1)1.6；(2分)【解法提示】直接测量法，如解图，把AB三等分，距离点B近的等分点为x4 cm的点P.过点P作PMAB，交于点M，连接BM，过点P作PNBM，交BM于点N.测量PN的长度即得y的值第26题解图【一题多解】如解图，把AB三等分，点P1，P2为AB的三等分点过点P1作P1M1AB，交于点M1，过点P2作P2M2AB，交于点M2，连接BM1，BM2，过点P1作P1N1BM1，交BM1于点N1，过点P2作P2N2BM2，交BM2于点N2. 点P1，P2为AB的三等分点，AB6 cm，AP1P1P2BP2AB2 cm，M1P1M2P2，N1P12.3 cm，BP1AB AP14 cm，P1M1AB，P2M2AB, P1N1BM1，P2N2BM2，N1P1BM1BP1M1P1，N2P2BM2BP2M2P2，即N2P2BM2BP2M1P1，BMBPM1P，BMBPM2P，N1P(BPM1P)BPM1P，即2.32(16M1P)16M1P，解得：M1P7.9 cm2，N2P(BPM1P)BPM1P，即N2P(4M1P)4M1P，解得：N2P21.6 cm.(2)画出该函数的图象如解图：第26题解图(4分)(3)2.3.(6分)【解法提示】如解图，作直线yx与所描曲线交于点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，则测得的OD的长度即为AP的长度27. 【思维教练】(1) yx24x3令y0，求得点A、B的坐标，令x0，求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；(2)由垂直于y轴的直线l与抛物线yx24x3和BC相交后要保证x1x2x3知， 直线l与抛物线的交点P、Q两点必位于x轴下方、顶点上方部分，且点P、Q关于抛物线的对称轴对称，即x1x2为定值，y1y2y3小于0、大于顶点的纵坐标，用直线BC的表达式含x3的式子替换y3，可求得x3的取值范围，进而求得x1x2x3的取值范围解：(1)抛物线yx24x3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，令y0，则有x24x3(x3)(x1)0，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)抛物线yx24x3与y轴交于点C，令x0，得y3，C(0，3). (2分)设直线BC的表达式为ykxb(k0)，将B(3，0)，C(0，3)代入ykxb，得，解得，直线BC的表达式为yx3；(4分)(2)yx24x3(x2)21，抛物线对称轴为x2，顶点为(2，1)ly轴，l交抛物线于点P、Q，交BC于点N，x1x2x3，1y1y2y30，点P、Q关于x2对称，1x330，2, 3x34, x1x24，7x1x2x38. (7分)28. 【思维教练】(1)要求AMQ，需求B及Q，B由等腰直角三角形性质可得，Q通过共锐角的直角三角形，另一对锐角相等可求得；(2)由等腰三角形的性质可得AMQQAM，从而AQQM，进而得到QMAP.由同角余角相等得出MQNPAC，已知QNM和ACP为直角，因此得到APCQMN(AAS)由全等三角形对应边相等得MNCP，已知CPCQ，则PQ2MN.又因为在等腰RtBMN中，BMMN，则PQBM.解：(1) ACP90， 在RtACP中，CAPAPC90，HQAP, 在RtHPQ中，QHPQ90，又APCHPQ，CAP，Q，又在等腰RtABC中，BBAC45，AMQBQ45； (3分)【一题多解】在等腰RtABC中，ACB90，CABB45，又CAP，HAMBACCAP45，又HQAP，AMQ90HAM45.(2)PQBM. (4分)证明：如解图，连接AQ，过点M作MNBQ于点N.ACP90，CQCP，CAP，CAQCAP，APAQ，PQ2CP，又BAC45，MAQBACCAQ 45AMQ， 第28题解图AQMQ，APMQ，又MNBQ，ACPQNM90.在RtAPC和RtQMN中，RtAPCRtQMN(AAS)，CPMN，PQ2MN，又在RtBMN中，B45，BMMN，PQBM. (7分)【难点突破】本题的难点在第(2)问，由(1)的结论可推得QMAQ，进而证得APC和QMN全等，最后利用等腰直角三角形中，直角边与斜边的关系求得29. 【思维教练】(1)逐一求得