2020欣迈高数密押卷10

浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 1 2020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（十）套密押预测卷（十） 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分选择题部分 注意事项注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 规定的位置上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.( )( )F xf x是的一个原函数,MN表示M的充分必要条件是N,则必有（） A.( )F x是偶函数( )f x是奇函数 B.( )F x是奇函数( )f x是偶函数 C.( )F x是周期函数( )f x是周期函数 D.( )F x是单调函数( )f x是单调函数 2. 设( )0f xx 在处连续,下列命题错误的是（） A. 若 0 lim x f x x 存在，则(0)0fB. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则(0)0f C. 若 0 ( ) lim0 x f x x ，则(0)0f D. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则(0)0f 3. 如图( ) 3, 2,2,3f x在区间是直径为 1 的上、下半圆，( ) 2,0,0,2f x在区间是 直径为 2 的下、上半圆，设 0 ( )( ) x F xf t dt，则结论正确的是() 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 2 A. 3 (3)( 2) 4 FF B. 5 (3)(2) 4 FF C. 3 ( 3)(2) 4 FFD. 5 ( 3)( 2) 4 FF 4. 若 1 n n a 收敛，则级数收敛的是（） A. 1 | n n a B. 1 ( 1)n n n a C. 1 1 nn n a a D. 1 1 2 nn n aa 5. 微分方程 2 432 x yyye的通解是（） A. 32 12 CC2 xxx eeeB. 32 12 CC2 xxx eee C. 32 12 CC2 xxx eeeD. 32 12 CC2 xxx eee 非选择题部分非选择题部分 注意事项注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 6. 已知 12 lim1 cos1 cos. 1 cos n n nnnn 7. 极限 2 lim (1)(2) x x x xx 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 3 8. 1 ln(1) x ye x 的渐近线有条. 9. 设 2 0 ln(1) t t xe yudu 确定，则 2 0 2 t d y dx 10. 已知0,k 则ln0 x xk e 根个数为 11. 已知( )yf x有二阶导数，且( )0,( )0,fxfxydy 与分别对应 0 ( )f xx在处的增 量和微分，若0 x ，则 0 与ydy 及三者的大小关系是_ 12. 求定积分 2 0 cosxxdx 13. 函数 2 ( ) |32|, 10,10f xxxx 的最大值是_ 14. 设 2 0 ( )ln(2) x f xt dt ,则( )fx 的零点有个 15. 曲线 L 的方程为 2 11 ln ,(1x) 42 yxxe,则曲线弧长是 三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60 分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. 16.计算 tan 0 lim tan xx x ee xx . 17.过点 A(2,1,3)且与直线 11 : 321 xyz L 垂直相交的直线方程. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 4 18.计算tan xarcdx . 19.已知 41 1 ( ) 1t x f xdt ，求定积分 1 2 0 ( )x f x dx . 20. 求极限 0 lim x 1 (1) arcsin( 11) x xe x . 21. 求幂级数 12 n 1 1 ( 1)1 (21) nn x nn 的收敛区间和和函数( )F x. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 5 22. 设抛物线 2 2yx，其上有点 1 ( ,1) 2 A.求： (1)过 A 点的法线； （2）该法线与抛物线围成的平面图形的面积 S. 23. 已知 2 2 ln(1, 10 ( ) 1 sin,0 xx f x xx x ） ，求(0) f . 四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 24. 已知曲线的方程为 2 2 1 :(0) 4 xt Lt ytt (1)讨论 L 的凹凸性； (2)过(-1,0)引 L 的切线，求切点 00 (,)xy，并写出切线的方程； (3)求此切线 L(对应 0 xx部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 6 25. 飞机在机场降落时,引擎关闭,飞机只受到风的阻力.为了减少滑行距离,飞机触地瞬间张 开减速伞,以增大阻力,使飞机减速并停下.现有一质量m9000kg的飞机,着陆时水平速度 0 v700/km h.经测试,减速伞打开后,飞机所受总阻力与飞机速度成正比(比例系数 6 6 10k ).问飞机从着陆点算起到停下的最大滑行距离多少？ 26. 设函数)(xf在, a b二次可微，且( )0,( )0fxfx ，证明： （1）当,xa b， f bf a f xxaf a ba （2）当,xa b， ( )( ) () ( )( )() 2 b a f af b ba f af x dxba . 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 7 2020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（套密押预测卷（十十） 参考答案与解析参考答案与解析 一、一、 选择题选择题: 本大题共本大题共 5 小题小题， 每小题每小题 4 分分， 共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案答案】 （A） 【知识点知识点】函数的性质 【解析解析】奇函数的原函数是偶函数。 2. 【答案答案】 （D） 【知识点知识点】导数的定义 【解析解析】若 0 ( ) lim x f x x 存在，而 00 lim0lim( )0 xx xf x ，而( )0f xx 在处连续,则 0 (0)lim( )0 x ff xA ， 正确； 同理 B 正确; 对 C， 000 ( )( )0( )(0) limlimlim(0)0 00 xxx f xf xf xf f xxx ，正确; 对 D,取( ) |0f xxx，在处不可导，但 0 ( )() lim x f xfx x 存在。 3.【答案答案】（C） 【知识点知识点】定积分的性质 【解析解析】 323 002 3 (3)( )( )( )( 3) 288 Ff t dtf t dtf t dtF 2 0 (2)( ) 2 Ff t dt 20 02 ( 2)( )( ) 2 Ff t dtf t dt ， 则选项(C) 3 ( 3)(2) 4 FF成立。 4.【答案答案】（D） 【知识点知识点】判断级数的敛散性 【解析解析】 A. 1 | n n a ，取 1 ( 1)n n a n ，排除 A 。 B. 1 ( 1)n n n a ，取 1 ( 1)n n a n ，排除 B 。 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 8 C. 1 1 nn n a a ，取 1 ( 1)n n a n ，排除 C。 D. 1 1 2 nn n aa ，正确。 5.【答案答案】（A） 【知识点知识点】微分方程 【解析解析】齐次微分方程对应的特征方程 2 430rr ，两个根是 1 和 3。 特解 *2 y x Ae，因为 2 不是特征根，不升幂。代入原方程，解得2A 。 非选择题部分非选择题部分 注意事项注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图， 可先使用 2B 铅笔， 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、二、 填空题填空题: 本大题共本大题共 10 小题，小题， 每小题每小题 4 分，分， 共共 40 分。分。 6.【答案答案】 2 2 【知识点知识点】定积分定义的计算 【解析解析】 定积分定义计算 11 2 00 1 0 12 lim1 cos1 cos. 1 cos 1 cos2cos 2 2 2 2cos 2 n n nnnn x xdxdx xdx 7. 【答案答案】 1 e 【知识点知识点】求极限 【解析解析】 2 1 limlim 12(1)(2) x x xx x xxxx xx 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 9 12 111 lim e 12 11 xx x e e xx 8.【答案答案】3 条 【知识点知识点】求函数的渐近线 【解析解析】 0 1 limln(1) x x x e ,则0 x 为垂直渐近线。 - 1 limln(1)0ln(1)0 x x x e ,则0y 为水平渐近线。 而： 1 limln(1)0ln() x x x e ，因此可能有斜渐近线。 进一步判断： 2 1 ln(1) 1ln(1) limlimlim x x xxx e e x xxx 0lim1 1 x x x e a e 11 lim()lim()limln(1)limln(1)ln() xxx xxxx byaxyxexee xx 1111 limlnlimln 1 x xx xx e xexe 0 故：y x 为斜渐近线，一共 3 条。 9.【答案答案】 2 0 2 |0 t d y dx 【知识点知识点】参数方程求二阶导数 【解析解析】 由参数方程 2 0 ln(1) t t xe yudu 知， 2 ( ) e ln(1) ( ) t dyy t t dxx t 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 10 2 2 2 22 2 ( ) e ln(1) ( ) ( )( ) 2 eln(1) 1 t t y t t x td y dxx tx t t t t 所以 2 0 2 |0 t d y dx 。 10.【答案答案】2 个根 【知识点知识点】讨论方程根的个数 【解析解析】设( )ln x f xxk e ，则： 11 ( )fx xe ，( )0fxxe令得驻点，且有： (0, ),( )0;( ,),( )0;xefxxefx 故x e 处左增右减，取极大值（也可以用二阶导数判断） 。 又( )1 1 k0f ek ，且 0 lim( ), lim( ) x x f xf x ，故由图形知两个根。 11.【答案答案】0dyy 【知识点知识点】函数的微分 【解析解析】( )lnf xx设 由指数函数图像可以快速得到结论。注意：dy是y的近似，以直代曲部分。 12.【答案答案】4 【知识点知识点】定积分的求解 【解析解析】 2 2 00 xcos x2t cost x t dxdt 22 0 00 2tsin2(t sin )|4tsindtttdt 0 0 04(tcos )|4costtdt 4 13.【答案答案】132 【知识点知识点】函数最大值的求解 【解析解析】 2 ( ) |32|, 10,10f xxxx ,根据其图像， 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 11 max max ( 10),(1.5),(10) 1 max132,72132 4 ffff 14. 【答案答案】1 个 【知识点知识点】积分上限函数求导 【解析解析】 2 0 ( )ln(2) x f xt dt 则 2 ( )2 ln(2)fxxx，令 2 2 ln(2)0 xx 解得0 x 为唯一零点。 15. 【答案答案】 2 1 4 e 【知识点知识点】求解弧长 【解析解析】弧长s计算: 11 () 2 yx x ,22 2 11 22 1 1 11 1(2) 4 1111 ()(ln )| 2224 ee e e sy dxxdx x xe xdxx x 三、计算题：本题共有三、计算题：本题共有 8 小题，其中小题，其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分，分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分， 共共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，分。计算题必须写出必要的计算过程， 只写答案的不给分。只写答案的不给分。 16.【答案答案】1 【知识点知识点】利用拉格朗日中值定理和夹逼准则求极限 【解析解析】 tan 00 limlim,tan tan xx xx ee exx xx 在 与之间.(使用拉格朗日中值定理) 而 tan0 00 limlime1 xx xx ee 由夹逼准则知： tan 00 limlim1 tan xx xx ee e xx .（7 分） 17. 【答案答案】 1 213 : 214 xyz L 【知识点知识点】平面方程与直线方程 【解析解析】过点(2,1,3)A且与直线 11 : 321 xyz L 垂直相交的直线方程。 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 12 L 的方向向量s (3,2, 1) 过(2,1,3)A且 垂直 L 的 平面 方 程,即 为过(2,1,3)A， 以 s(3,2, 1) 为 法向 量 n(3,2, 1) 的平面，点法式写出该平面为： 3(2)2(1)(3)03250 xyzxyz即： 直线 L 对应的参数方程为： 1 3 12 xt yt zt ，.（3 分） 设所求直线与平面的交点为 000 ( 1 3 ,12 ,)Bttt 将 B 点代入平面的方程，知： 0 3 7 t 交点 2 133 ( ,) 777 B，所求直线的方向向量： 1 6 sAB21,4 7 （ ，） 故所求直线 1 213 : 214 xyz L .（7 分） 18.【答案答案】 arctanarctanxxxxC 【知识点知识点】分部积分法求不定积分 【解析解析】 x 2 tan xarctant t arcdxdt 2 2 2 arctan 1 t ttdt t 2 2 2 1 1 arctan 1 t ttdt t 2 2 1 arctan1 1 ttdt t 2 arctanarctanttttC arctanarctanxxxxC .（7 分） 19. 【答案答案】1 2 6 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 13 【知识点知识点】定积分的求解 【解析解析】容易知道 1 41 1 (1)0 1t fdt ，且 4 1 ( ) 1x fx 对 1 2 0 ( )x f x dx 分部积分： 111 23313 0 000 11 ( )( )( )|( ) 33 x f x dxf x dxx f xx fx dx 1 3 0 1 (00)( ) 3 x fx dx .（3 分） 代入： 4 1 ( ) 1x fx 111 233 4000 111 ( )( ) 33 1 x f x dxx fx dxxdx x 1 4 0 112 1 66 x .（7 分） 20.【答案答案】e 【知识点知识点】求极限 【解析解析】0,arcsin( 11) 2 x xx ln(1) 1 ln(1)ln(1) 0,( )1011 x x xx xxe xx 有，从而 所以，原极限： ln(1) 1 1/ 00 (1)1 limlim / 2arcsin( 11) x xx xx xee e xx 2 00 ln(1) 1 ln(1) limlim / 2 2 xx x xx x ee xx .（3 分） 2 2 ln(1)() 2 x xxo x又, 所以有， 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 14 1/ 2 00 (1)ln(1) limlim arcsin( 11) 2 x xx xexx e xx 2 2 2 0 () 2 lim 2 x x o x ee x .（8 分） 21.【答案答案】 2 2 2 2 arctanln(1) 1 x xxx x ，( 1,1)x 【知识点知识点】求和函数 【解析解析】记 ： 12 1 ( )( 1)1 (21) nn n uxx nn 计算： 2 1( ) (1)(21) 1(21) limlim ( )(1)(21)(21) 1 n nn n uxnnnn x uxnnnn 22 (1)(21) 1(21) lim1 (1)(21)(21) 1 n nnnn xx nnnn 解得( 1,1)x 为收敛区间. 当1x 时，级数发散； 当1x 时，级数也发散； 故级数收敛域为( 1,1)x 。.（3 分） 为求和函数( )F x的表达式，将原级数拆开两项，即： 1212 n 1n 1 2 121 1 n 1n 1 1 ( )( 1)( 1) (21) ( 1)2( 1)( )2 ( ) 2 (21) nnnn n nnn F xxx nn x xS xS x nn 对于第一部分 12246 1 n 1 22 22 ( )( 1). ,( 1,1) 1 ()1 nn S xxxxx xx x xx 第二部分，记： 2 1 n 1 ( )( 1) 2 (21) n n x S x nn ，且(0)0S则： 21 1 n 1 ( )( 1) (21) n n x S x n ，且 (0) 0S 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 15 进而有： 12224 2 n 1 1 ( )( 1)1. 1 nn S xxxx x 积分得： 0 2 0 ( )( )(0)( ) 1 arctanarctan0 1 arctan x x S xS xSS t dt dtx t x 再进一步积分得： 0 2 0 ( )( )(0)( ) ln(1) arctantxarctan - 2 x x S xS xSS t dt x dtx 综上可知，和函数为： 2 2 ( ) 1 x F xS x x 2 2 2 2 arctanln(1) 1 x xxx x ，( 1,1)x .（8 分） 22.【答案答案】 【知识点知识点】定积分的应用 【解析解析】(1) 2 2yx两边对x求导得到过 A 的切线斜率，即： 22 y y ，代入 1 ( ,1) 2 得： 1 ( )1 2 yk 切 所以，1k 法 故法线方程为： 1 11() 2 yx 即： 3 2 yx .（3 分） (2)求得法线与抛物线交点，联立： 2 3 19 ( ,1), ( , 3)2 22 2 yx AB yx 交点 如图： 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 16 2 3 - 22 y dSxxdyydy 直抛 所以， 2 1 3 316 223 y Sydy .（8 分） 23.【答案答案】 【知识点知识点】导数定义 【解析解析】(0)ln(1 00f） 22 000 ( )(0)ln(1 limlimlim0 0 xxx f xfxx xxx ） 左导数.（3 分） 2 00 1 sin ( )(0) limlim 0 xx x f xf x xx 右导数 .（6 分） 0 1 limsin0 x x x （利用性质：有界函数乘以无穷小） 所以，(0)0 f .（8 分） 四、综合题：四、综合题： 本大题共本大题共 3 小题，小题， 每小题每小题 10 分，分， 共共 30 分。分。 24. 【知识点知识点】导数的应用 【解析解析】(1) ( )422 1 ( )2 dyy tt dxx ttt 2 2 23 2 2 1 1 ( )2 d yt t dxx ttt 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 17 当 2 23 1 0,0 d y t dxt ，故 L 是下凹（或凸）.（3 分） (2)设切点 00 (,)xy对应的参数为 0 0t ， 则切点 22 00000 (,)(1,4)xyttt， 斜率 0 2 1k t ，故切线为： 22 000 0 2 (4)11yttxt t 而点(-1,0)在切线上，则： 22 000 0 2 04111ttt t ， 化简得： 2 000 20,0ttt而，解得 00 1,2tt （舍去） 代入得：切点(2,3) 切线1yx.（6 分） (3) 曲线 L 与 x 轴的交点为： 令 2 040ytt，即， 得 12 0,4tt，对应的 L 与x轴两个交点为：(1,0),(17,0) 由 L 的凹凸性及两个交点，大致画出 L 的图形及切线如下图： 222 111 9 (1) 2 Sxdxydxydx 1 22 0 9 (4) (1) 2 tt d t 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 18 1 2 0 97 2 (4) 23 ttt dt .（10 分） (注意：x在1,2对应 t 在0,1之间) 25.【知识点知识点】导数的物理应用 【解析解析】用( )x t表示 t 时刻飞机的滑行距离，则其一阶导数为速度，二阶导数为加速度. 飞机着陆瞬间开始计时 t=0，(0)0 x. 着陆瞬间速度为 0 0 xv 由牛顿第二定律知，aFma 阻 ， 其中 表示加速度，据此建立微分方程： 2 2 d x m dt F 阻，由题设飞机所受总阻力与飞机速度成正比，故而： dx Fk dt 阻 . 注意，负号表示阻力与速度反方向 即： 2 2 d xdx mk dtdt .根据初始条件，有下列微分方程： x0 (0)700 (0)0 k x m x x .（4 分） 二阶齐次线性微分方程特征方程： 2 k r0r m ，故齐次通解为： 12 ( ) k t m x tCC e ， 在根据两个初始条件得： 0 121 020 2 (0)0 (0) mv xCCC k k mvxCv C m k 由此解得： 00 ( ) k t m mvmv x te kk 总的最大滑行距离为 ：t 取极限求得，此时速度为 0. 0 tlim 0 k t m xv e ，即静止状态. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 19 000 6 t 9000