西工大飞行器结构力学电子教案5-1

飞行器结构力学基础电子教学教案,西北工业大学航空学院航空结构工程系,第五章位移法DisplacementMethodofStructureAnalysis,第一讲,位移法概述杆元素与桁架的位移法求解,5.1位移法概述,以结点位移(广义位移)作为基本未知量，写出由未知位移表示的应变，由物理方程写出仍由未知位移表示的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移，这就是位移法的基本思路。,在计算机科学飞速发展的今天，适合于计算机应用的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成为飞行器结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。本章所讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位移计算的，故也称为矩阵位移法，它是有限元素法的基础。,矩阵位移法主要内容包括两个部分：,(1)单元分析，即将结构分解为有限个较小的单元，进行所谓离散化。对于杆系结构，一般以一根杆件或杆件的一段作为一个单元，分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。,(2)整体分析，即将各单元又集合成原来的结构，要求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件，从而建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的位移和内力。,在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆元素，如桁架；若单元不仅受轴力，还受剪力和弯矩作用，则称为梁元素，如梁、刚架等。,由于杆元素和梁元素是最简单的元素，对这两个元素的分析，既有鲜明的物理意义，又能反映位移法的实质。所以，本章主要对杆元素和梁元素进行分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。,5.2杆元素与桁架位移法求解,本节将由最简单的杆元素和桁架开始，逐步介绍矩阵位移法的基本原理和计算过程。,5.2杆元素与桁架位移法求解,对于图示桁架，编号为1、2、3、4、5、6的铰结点称为结点，两结点之间的链杆称为杆元素，如杆元素12、杆元素23等。,位移法中，将以每个结点处的位移（结点位移）作为基本未知量，建立关于未知结点位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移，再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。,在图示坐标系中，由于每一杆元素的方位不尽相同，为具普遍性，任取其中一杆元素ij，首先来研究杆元素的平衡关系。,5.2杆元素与桁架位移法求解,一、杆元素的平衡方程及刚度矩阵,定义：,为杆元素在局部坐标系下的结点位移列阵和结点力列阵。,杆元素,结点上的结点位移分别记为和，与结点位移相对应的结点力分别记为和，结点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。,如图所示的杆元素ij，建立元素局部坐标系，轴沿杆元素的轴线由i结点指向j结点，杆长为Lij。,5.2杆元素与桁架位移法求解,关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、结点力，应变能等）用结点位移表示。,（1）元素内位移,元素内各点的位移叫做内位移。杆元素的内位移可用结点位移通过线性插值得到：,式中，Ni(x)、Nj(x)称为位移形状函数；N(x)称为元素的位移形状函数矩阵。,对于杆元素，其位移形状函数具有如图所示的形状：,式中，B称为元素的几何矩阵。,（2）变形协调条件与几何矩阵,利用变形协调条件，求元素应变，并用节点位移表示：,式中，S称为元素的应力矩阵。,（3）物理关系与应力矩阵,（4）杆元素轴力N,对于等面积A的杆元素，其轴力用节点位移表示为,对于杆元素，D=E，应力可以用节点位移表示为,利用物理关系，D为元素弹性矩阵，由材料的应力-应变关系式得到。,作用在杆元素上的结点力与杆轴力，满足平衡条件：,（5）平衡条件与刚度矩阵,上式就是位移法中杆元素的平衡方程，也称为刚度方程。它表示元素结点力与结点位移之间的关系式。,或，,（5）平衡条件与刚度矩阵,式中的,称为杆元素在局部坐标系中的刚度矩阵。刚度矩阵将元素的结点位移列阵和结点力列阵联系了起来。,kii、kij、kji和kjj称为刚度矩阵系数，简称刚度系数。,或，,将平衡方程展开后，得到：,可见，刚度系数的物理意义为：,对线弹性系统：kij=kji(ij)因此，元素刚度矩阵为一对称方阵。,平衡方程的物理意义：,i点的位移在i点上引起的结点力。,j点的位移在i点上引起的结点力。,i点的位移在j点上引起的结点力。,j点的位移在j点上引起的结点力。,应注意以下几点：,（1）刚度矩阵的列对应于结点位移，行则对应于结点力；,（2）根据元素平衡条件，必定有：,由此可以看出，由于结点位移都可以有值，所以元素是可移动的，结点位移列阵中包含有刚体运动，用结点位移表示的平衡方程是奇异的，刚度矩阵的行列式等于零。这就意味着在去除刚体运动自由度之前，平衡方程不能直接用来求解位移。,元素刚度方程也可以通过虚功原理导出。,二、元素刚度矩阵的坐标变换,由于结构是由许多不同元素组成的，而各个元素的局部坐标系又是不全相同的，用位移法求解结点位移时，必须规定统一的坐标系，各结点位移的矢量必须按统一的坐标系来定义，便于建立全结构的平衡方程。因此，由各个元素局部坐标系定义的元素结点位移和元素刚度矩阵必须向一个统一的坐标系转换，统一的坐标系称之为“总体坐标系”或“结构坐标系”。,总体坐标系,考察图示平面杆元素的情况，将x、y坐标系定义为总体坐标系，而将、坐标系定义为局部坐标系，总体坐标系与局部坐标系之间的夹角为（以逆时针方向为正）。,二、元素刚度矩阵的坐标变换,元素在局部坐标下的结点位移列阵、结点力列阵：,元素刚度矩阵扩阶后，变为：,局部坐标系中的结点位移与总体坐标系中的结点位移，有以下转换关系：,二、元素刚度矩阵的坐标变换,将其写成矩阵形式：,则对结点位移：,记：，则有：,分别表示元素在总体坐标系下的结点位移列阵和结点力列阵。,T矩阵称为坐标变换矩阵。,相应地，对结点力：,元素在局部坐标中的作功与元素在总体坐标中的作功是相等的，据此，有：,则元素在总体坐标系下的刚度矩阵的变换式为：,即，元素在总体坐标系中的刚度方程为：,需要指出：由于T矩阵中仅仅包含坐标的倾角，当坐标平移时，对刚度矩阵没有影响。因而如果仅平行移动坐标轴，刚度矩阵中元素值不变。,元素刚度矩阵的转换：,平面杆元素在总体坐标下的刚度矩阵的展开式：,三、全结构平衡方程及结构总刚度矩阵,利用结点的力系平衡，建立结点平衡方程，从而得到全部结点的平衡方程。,例如图示平面桁架，考虑结点2的平衡。作用在结点2上的沿总体坐标系轴正向的外载荷为X2、Y2，与结点2相连的杆元素的结点力如图所示，杆元素给结点2提供的力与杆元素的结点力大小相等，但方向相反，在结点2处形成平衡的共点力系。,结点2上的平衡方程为,或写成：,利用杆元素的平衡方程，可以得到杆元素的结点力。,例如杆元素1-2的平衡方程为：,由此得到杆元素1-2在结点2处的结点力为：,结构在结点2处的平衡方程，就可写作：,一般地，对于结构中的结点i的平衡方程，可写作：,设全结构有N个结点，将N个结点的平衡方程联立起来，组成全结构的平衡方程为：,简记为：,称之为全结构的平衡方程或总刚度方程，K称之为全结构的刚度矩阵，简称为总刚度矩阵。,四、总刚度矩阵K的组集,总刚度矩阵K实际上是由各个元素的刚度矩阵组集而成的。元素的刚度矩阵只需按其结点位移在总刚度矩阵中的位置“按号就座”。,设全结构有N个结点，这N个结点的结点位移列阵为：,按结点位移列阵，排列结点外载荷列阵。,四、总刚度矩阵K的组集,对于元素ij的刚度矩阵，遵照“按号就座”的原则，放置在总刚度矩阵K中的i和j所在行和列的交叉点处。,注意：刚度系数在此叠加。,五、总刚度方程的求解,总刚度方程在没有引入位移约束条件之前，是不能求解的。这是因为，结构在没有引入位移约束条件之前是自由体，整体上存在3个(空间体6个)静力平衡条件，结点力列阵P中的项并不是完全独立的，或刚度矩阵K中的相关行和列有线性相关性，导致刚度矩阵的逆阵不存在，是奇异矩阵。,在结构分析中，采用引入边界条件的办法删去相关的行(列)。如果一个结构的刚体位移被限制，则与限制位移相对应的支反力自行保持全结构的平衡，也即这些支反力必然是其他外力的线性组合，而它所对应的行(列)，恰恰是线性相关的行列。位移边界条件处理之后，线性相关的行(列)就删去，处理之后的总刚度矩阵K变成可逆的，此时，总刚度方程才能求解。,对零位移边界条件，从总刚度矩阵中删去零位移所对应的行和列，这种方法称为删行删列法。,六、桁架的位移法求解,【例题1】试用位移法求图示桁架中3点的位移以及元素内力和支反力。设全部杆件的拉伸刚度均为EA。,解：以此例说明位移法的解题步骤。,1、结点编号、元素编号。,2、建立总体坐标系xoy。,3、建立元素在总体坐标系xoy中的刚度矩阵。,元素1-2，长度为L，,元素1-3，长度为,元素2-3，长度为L，,4、组集总刚度矩阵，建立总刚度方程。,按编号顺序列出结点位移和结点力列阵：,5、引入位移约束条件：,消除刚体位移。,简单做法：从总刚度方程中，删去等式两端零位移所在的行和列。,6、解引入位移约束条件后的总刚度方程，求出结点位移。,7、求支反力。,可以从总刚度方程中，求出支反力。,8、求元素内力，即杆轴力。,方法1：将已求出的结点位移代入到元素刚度方程中，可得到元素的结点力，然后合成得到杆的轴力。,对于元素i-j：,注意：这里需要根据结点力的正负，来判断杆子是受拉、还是受压。,8、求元素内力，即杆轴力。,方法2：将总体坐标系中的结点位移，转化到元素局部坐标系中，在元素坐标系中计算杆的轴力。,对于元素i-j：,并且：Nij0，杆受拉；Nij0，杆受压。,【例题2】用位移法求图示桁架中结点1、3的位移，以及元素内力，设全部杆件的拉伸刚度均为EA