科学计算与Matlab1-绪论

科学计算与MATLAB,主讲：唐建国中南大学材料科学与工程学院2013.9,第一章绪论,3,内容提要,1、课程的简介与学习方法课程的内容课程的要求课程的学习与考核教材与主要参考书2、科学计算数值计算的定义数值计算的研究过程数值计算的误差分析数值计算的稳定性与收敛性3、MATLAB简介MATLAB的类别MATLAB的概述小结,4,1、课程的简介与学习方法,1.1课程的介绍科学计算与MATLAB是材料科学与工程专业的一门选修课，本课程是根据高水平人才培养发展的需要和课程改革的要求应运而生，它是其他各门专业课的基础课程，为学生学习后续专业课程和进行科学研究奠定基础。与之配套下个学期开设了必修实践课程MATLAB课程实践。,5,1.2课程的内容1.2.1讲授内容第一讲概述第二讲基础知识（数值、符号计算）第三讲基础知识（图形、程序设计）第四讲插值法第五讲函数逼近与拟合法第六讲数值积分与微分第七讲常微分方程数值解法第八讲方程求根第九讲解线性方程组的直接解法,6,第十讲解线性方程组的迭代解法第十一讲解非线性方程组的直接解法第十二讲解非线性方程组的符号解法第十三讲矩阵的特征值问题第十四讲概率统计中的应用（数字特征、统计分布量）第十五讲概率统计中的应用（方差分析、统计分布图）第十六讲最优化问题中的应用（线性优化、二次优化）,7,1.2.2需要上机强化学习的内容第一讲基础知识第二讲数值处理插值、拟合、积分、微分第三讲模型求解（常微分、偏微分）方程（组），概率统计,8,1.3课程的要求、掌握编程方法；、理解数值分析方法的原理，并能进行简单的计算；、掌握基本数值分析方法的命令使用。,1.4课程的学习与考核学习：以课堂授课和上机实践相结合；主体内容讲授1次，上机次（小时次）。听课加自学；重在理解而不在记忆；不是为考试而学。考核：平时占30%；期终考试占70%。,9,教材与主要参考书,MATLAB数值计算CleveB.Moler著喻文健译机械工业出版社与科学计算王沫然编电子工业出版社精通科学计算王正林编电子工业出版社数值分析（第四版）李庆扬编清华大学出版社,10,2、科学计算,2.1数值计算定义一：以数值计算机为主要工具，由于受到计算机字长的限制，将无限小数截取有限位，转化为计算机能表示出的近似值，并进行这些近似值之间的运算。定义二：数值分析是研究各种数学问题求解的计算方法，即数值计算。利用计算尺、电子计算机等计算工具来求出数学问题得到数值解的全过程，称为数值计算。,11,2.2数值计算的研究过程,模型：被研究系统本质方面的表达，它以各种可用的形式（数学或者物理）提供被研究系统的信息，它具有与系统相似的数学描述或者物理属性。计算机模型：建立反映了系统模型和计算机之间的关系，它的主要任务是设计一种算法，以便使系统模型能为计算机接收并能在计算机上运行，显然和这样就存在着误差。,12,算法（数值计算方法）：是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。数值计算研究的对象：算法及其理论（算法收敛性、稳定性，计算复杂性，误差分析等等）,13,例题：数值计算的C语言实现,对于给定的X求解下列n多项式的值P(x)=a0+a1x+a2X2+anxn算法：直接逐项求和tk=xkUk=a0+a1x+a2x2+a(k-1)x(k-1)+akxktk=xt(k-1)Uk=u(k-1)+aktk初值：t0=xu0=a0,14,算法分析：秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2X2+anxnP(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0If,vk=(anx+an-1)x+an-2)x+an-k+1)x+an-kVk=Vk-1x+an-kV0=ank=1,2,n,15,开始,读入x,n,an-vK-1,读入ai,K=n,Vx+an-kv,K+1-k,输出V,结束,16,C语言程序为：Voidreadata(floata,intn)inti;For(i=0;i=n;i+)Scanf(“%f”,Printf(“enterthearrayofan:”);Readdata(a,n);V=an;K=1;While(k0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x)0时近似值偏小，叫弱近似值。,26,由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值不超过某整数(x)，即则称(x)为绝对误差限。由上式得可知x*的范围。或记为,27,由于误差e(x)并不足以刻划x的精度，考虑精度时除看误差大小外，还应考虑精确值本身的大小，故引入相对误差概念。定义：设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近似值，称为近似值x的相对误差。实际计算时，由于x*不知，通常取,28,如果存在一适当小的正数r，使得则称r为相对误差限。例：x=15,(x)=2;r(x)=2/15=13.33%y=1000,(y)=5,r(y)=5/1000=0.5%,29,2.有效数字：定义：若近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x有n位有效数字，x可表示为其中，a10.且a1,a2,an都是09中的任一整数。其绝对误差限满足：,30,如：x*=3.14159265取x3.14，则m=1，即n=3，有三位有效数字；取x=3.1416，则m=1，即n=5，有5位有效数字。,31,例.测量一物体的长度为954cm，问测量数据的相对误差限多大？解:因实际问题所截取的近似数，其绝对误差限一般不超过最小刻度的半个单位，故当x=954cm时，有(x)0.5cm，而x的相对误差er(x)0.5/954=0.0005241.0.00053=0.053%故r(x)=0.053%.,32,3、数值运算的误差估计函数运算的误差估计：设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为(x)，函数近似值误差e(y)，误差限为(y)。则（可由Taylor公式推得）,33,对于多元函数设准确值由多元函数Taylor公式，可得误差估计：相对误差限为：,34,算术运算的误差估计：两个近似数x1,x2，其误差限分别为(x1)，(x2)，它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为：,35,2.4数值计算的稳定性与收敛性误差的传播与积累：例：蝴蝶效应纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！该问题是一病态问题。,36,稳定性：可知同一问题当选用不同的算法时，它们所得到的结果有时会相差很大，这是因为运算的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。,37,收敛性：计算机上解决数学问题常用逼近方法，当误差上限太大，不可接受时，往往采用修正目前估计值的方法加以改善，直到满足要求为止，这样就会产生一系列逼近值，当趋向于无穷大时，的极限逼近真值，则称之为上述修正算法为收敛。,例：计算,公式一：,注意此公式精确成立,?,?,?!,!,Whathappened?!,考察第n步的误差,公式二,注意此公式与公式一在理论上等价。,方法：先估计一个IN,再反推要求的In(nN)。,可取,取,考察反推一步的误差：,以此类推，对nN有：,误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法,在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性是一个非常重要的课题。,42,3、MATLAB简介,3.1MATALB类别,数学类,工程类,数值计算型：，等,特点：对于大批量数据具有较强的管理、计算和可视化能力、运算效率高。,数学分析型：、等,特点：以符号计算见长，并可以得到解析符号解和任意精度解，但是处理大量数据时运行效率低。,：定位于教学和办公。在对待数值计算、符号分析、文字处理和图形开发上，不专业，而是尽量继承各种功能于一体。,机械设计：pro/E,unigraphics,solidedge,solidworks,Ideas,autocad等,有限元(FEA)：德国ASKA,英国PAFEC,法国SYSTUS,美国NASTRAN,ABQUS,ASINA,ANSYS,MARC等,2020/6/6,43,3.2MATLAB概述,MATLAB为MatrixLaboratory的缩写，是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。在国际学术界，MATLAB已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。,MATLAB发展概况1984年Mathworks推出2000-2003年MATLAB6.X2004年MATLAB7.X目前MATLAB8.X（R2012a）,44,Matlab软件包,45,MATLAB的主要特点,1编