AIDS防治和控制模型(甘增幅-宋友香-郑涛)

AIDS防治和控制模型甘增幅 宋友香 郑涛一、摘要：本文通过逐步细化逼近真解的思想把该问题分三种模型来讨论。在解法上用一阶常系数微分方程组的解法，对其积分曲线的大致走向和轨线进行分析，利用常微分知识对解的稳定性展开讨论，求解出了一般传染病患者的理论阈值，并对艾滋病的防治和控制工作给出可行性建议。二、关键字：AIDS，焦点，退化结点，奇点，阈值。三、问题重述：爱滋病是一种目前尚无有效治愈办法、病死率极高的传染病。研究证明，艾滋病通过三种途径传播：经性接触、经血液和经母婴传播。与人的行为紧密相关，对家庭、社会生产力破坏极大；由于对该病和感染者的不正确认识而产生的歧视和处理不当引起的社会不安定事件也屡见不鲜。它在世界范围内的迅速传播和广泛流行，已成为举世瞩目的公共卫生和社会热点问题。我国自1985年发现第一例艾滋病病人以来，艾滋病感染率一直控制在较低水平，然而，随着全球艾滋病流行重心逐渐向亚洲转移，近两年艾滋病的传播速度也呈倍增趋势。截至1997年9月，疫情已波及30个省、自治区、直辖市，累计报告发现艾滋病病毒感染者8千多例，据国内有关单位专家以组分法和德尔菲法测算，我国艾滋病病毒实际感染数应为1520万。加之卖淫、嫖娼、吸毒等有利于艾滋病传播的危险因素存在，我国面临着艾滋病大面积加速流行的严重局面。根据你调查的数据，建立我国爱滋病传染，救治的模型，并根据你的结论给出具体应对措施。所以我们针对当前的情况，制定了以下控制爱滋病几个模型。四、问题的假设：1、人群分为三类：患者或感染者，易感染人群（高发人群），不易感染人群（并认为数量很大）。2、从病毒感染途径来考虑，仅考虑吸毒静脉注射，性活动混乱两个因素，因为通过这两者感染的病人在目前艾滋病人中占最大的比例。3、不同模型之中的参数量不是一定的，而是会根据不同情况来设定的。即模型中的参数只在一定范围内有效，且当病情趋于恶化时，必须再适当调整其参数系数来对问题进行估计。4、患者包括病人和HIV感染者，由于人口的流动，患者可与外界发生接触，并通过适当接触，使易感染者患病。实际中HIV感染者经一段时间后可以转变为病人，所以在本题中把他们视为一个统一体，即患者。且患者在目前的科技条件中，并无康复的希望。五、模型的建立、求解及分析：1，符号说明：x(t) t时刻患者人数；y(t) t时刻易感染人群数目；z(t) t时刻不易感染人群数目； 表示易感染者由于与患者接触而成为患者的几率； 表示由于病变所引起的病人死亡率； 表示社会力量干预系数； 表示患者对易感染者造成的影响力，病人多时，易感染者也增多，增长率与当时病人人数成正比。2，模型的建立与分析模型I：在不考虑病人对易感染者传染和任何防疫措施，即易感染者数量不因病人多少和防疫措施的改变而改变，可建立如下微分方程组。在t时刻患者的变化和易感染者人数的变化分别用下面两个微分方程表示亦可通过描线素场来确定轨线的走向：令式=0，可得x=0，所以y轴非负半轴各点均为奇点。分析：从图中可以看出，易感染人数y(t)不超过阀值时，病人x(t)将趋于0，而当易感染人数y(t)超过时，则患者越来越多，即将发生一个时期的流行，但易感染人数总是不断减少，当易感染人数减少至y=时，病人数目开始下降，且最终趋于0。可见上述模型对艾滋病简单且乐观。若按这种模型，易感染者人数只有减少，没有增加，易感染者大部都要转变为患者，以至死亡。艾滋病患者的“生力军”的减少，使得随着时间的推移，死亡成了艾滋病患者的归宿，艾滋病也将自然消亡。而事实上是患者的多少会对易感染者人数产生影响，才使得艾滋病得以蔓延。鉴于此，建立模型II如下：模型II：考虑患者多少易感染者的影响，但不考虑防疫措施，即放任自流。可建立如下微分方程组：在没有采取防疫措施时，患者对易感染者的影响总要大于患者的死亡率，即，此时可由(x(t),y(t)的线素场来大致推断起轨迹走向：当或时，艾滋病必会发生大面积流行，以随时间的增长，x(t)会近似直线上升：x(t)。当时，虽然易感染人群基数y(t)较小，但因无防治措施，使得易感染人群逐渐增多，积累至一定数量（大于后），也会发生大面积流行。此模型中，易感染人群超过了定量（此量一般较大）为艾滋病的泛滥提供了滋生的土壤，以至最终会产生亡国灭种的大灾难。鉴于无防疫措施产生的严重后果，政府及社会力量的干预对艾滋病的防治就显得十分重要。模型III：既考虑患者对易感染者的影响，又考虑社会力量的影响,即有防疫措施。社会力量根据现有患者和易感染人群的规模来调配合理的资源进行防治。一方面对一部分患者实施隔离，另一方面大力宣传艾滋病的预防注意事项。前者主要使得平均接触感染率变小，后者主要是使易感染人群的数目减少，在的右方添加一个(防治措施的强度与当时易感染人数成正比，与当时患者数目的平方成正比)。于是模型可修正为：先求出奇点：令由(1)知：x=0或y=若，代入(2)知，亦满足方程，说明y轴的非负半轴上的点均为奇点；若，则，此时由(2)解得：当时，得到第一象限内唯一奇点当时，记 若，则为稳定焦点；若，则为稳定结点。 由大致图像知：时，其动点坐标x(t)总会趋于附近，因此在社会力量的干预下，一般可将艾滋病控制在一定的范围内，这样便可控制艾滋病的扩散，进而为研制药物解决艾滋病问题提供了缓和时间。当时，即第一象限内无奇点。时，x增大，又，即，即y减少时，即x减少在时，依旧会减少，且在附近依旧会减小，可得到大致如左图。由上面三个图可得如下几点分析：（1）.易感染人数是疾病流行的阀值，当时，患者随时间的增加而单调递增，艾滋病发生流行。(2).易感染人数时，若(x,y)在A区，艾滋病被逐渐消灭，而当(x,y)在B区时，随着时间推移，(x,y)趋于一个极限值，达到稳定平衡。(3).易感染人数时，即使患者人数非常小，但由于一部分人的生活作风不文明，道德败坏，为艾滋病的流行提供了基础性条件。(4).易感染人数，即使患者人数相当多，但易感染人数较少，随着艾滋病患者大部分死亡，患者人数减少乃至消灭。此种疾病就不会再流行了。 （5）当，说明政府社会干预力量越大，越小，爱滋病的传染越易控制，反之将失控。六、总结：1、优点：本文建立了三个模型，逐个考虑影响易感染人群的各种因素，得出和实际较为符合的结论。结合模型I与实际说明患者对易感染人群影响较大。而模型II则进一步肯定了社会群体力量对艾滋病控制具有决定性的影响力，通过对社会干预系数的认识，模型III使用与大部分艾滋病的流行情况。2、缺点：没有把z(t)即不易感染人群考虑进模型，并排除了z对x，y的影响，在某种程度上依然是可忽略的。而z的增长速度和社会教育力量的干预和y