电子仪器测量第二章

第二章误差与不确定度,研究误差理论的目的：分析原因，识别性质，尽量减少误差。,第一：误差的基本概念,例如：某个5号电池，标称电压1.5V，真值是多少？,实际值：,实际测量中常把高一等级的计量标准测得的值称为实际值。,实际值约定真值,误差=测量值真值,例如：测量足球场的长度与测量长沙到株洲的距离，若误差都是1m，测量的准确程度是否相同。,绝对误差,相对误差,示值相对误差,满度相对误差,分析：测量点的最大相对误差？,例1：被测量的电流大约是,现有两款电流表供选择，第一款：0.5级，量程是0400mA第二款：1.5级，量程是0100mA,练习：,你觉得选择那一款更好？,例2：P16例2.3。,第二：误差的分类与测量结果的表征：,不可预定方式变化的误差；表明测量结果的分散性；,按一定规律变化的误差；表明测量结果偏离真值的程度；,第三：误差的处理,1、随机误差的处理,例3：设对某参数进行测量，测量数据为1464.3，1461.7，1462.9，1463.4，1464.6，1462.7，试求置信概率为95%的情况下，该参量的置信区间。,讨论的问题：,（1）置信问题的讨论，首先知道值的分布？（2）误差的分析对象？,随机误差,（1）概率统计的方法所分析的对象？（2）分析对象所具备的物理意义？,（1）测量结果置信度的分析？,物理意义分析：,测量结果的置信度分析：,正态分布下的置信度：,在这个区间内置信度？,从概率论的角度分析,区间所选的范围是,从测量的角度分析,所以，置信区间为,测量次数较少，则随机误差不服从正态分布，怎么办？,t分布,总结：,解：因为测量次数小于20，所以测量值服从t分布，,第一步：求算术平均值及标准偏差估值,标准偏差估值,算术平均值标准偏差估值,第二步：查附录B：t分布表，由n1=5及P=0.95，查得t=2.571第三步：估计该参量的置信区间,则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为1462.3，1464.3。,2、粗大误差的处理,粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。,剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下，首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差就认为是粗大误差。具体检验方法常见的有三种：,检验方法常见的有三种：,1莱特检验法（n200）,3s（x）,适用条件：测量数据以正态分布为依据；测量次数n200，若n10，则失效。,方法：,2格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）,Gs,G查p31表2.6,适用条件：测量数据以正态分布或近似正态分布；测量次数n200，若n10则会失效；格拉布斯检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好；中位数检验法简捷方便，也能满足一般实用要求。,在对粗大误差处理中要注意以下几个问题：,3、系统误差的处理,上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。,实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。,对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。,（1）系统误差的产生原因,系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。,2.环境方面的因素,3.测量方法的因素,4.测量人员方面的因素,1.测量装置方面的因素,（2）系统误差的检查与判定,第一：恒定系统误差的检查和处理,恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种,1)改变测量条件,2)理论分析计算,3)用高档仪器比对、校准,4)统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差）,第二：变值系差的判定,常用的有以下两种判据：,1)剩余误差观察法,累进性系差的判别马利科夫判据,马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：,将n项剩余误差,按顺序排列；,分成前后两半求和，再求其差值D,当n为偶数时,当n为奇数时,若则说明测量数据存在累进性系差。,（2.41）,把测量数据I项剩余误差,按测量顺序排列；,将,两两相乘，然后求其和的绝对值,（2.40）,用贝塞尔公式求方差,再与方差相比较，若,（2.41）,则可认为存在周期性系统误差。,存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。但是，若虽然存在变值系差，而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。,周期性系差的判别阿贝赫梅特判据,例3：对某信号源的输出频率fx进行了10次等精度测量，结果为110.050，110.090，110.090，110.070，110.060，110.050，110.040，110.030，110.035，110.030（kHz），试用马利科夫及阿贝-赫梅特判剧判别是否存在变值系差。,解：输出频率fx的平均值,（a）由马利科夫判据得：,故存在变值系差（b）由阿贝-赫梅特判据得：,标准偏差估值,故存在变值系差,2.4.4重复性测量结果的数据处理（重点内容：是不确定度计算基础）,当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。,1)对测量值进行修正，列出测量值xi的数据表,2)计算算术平均值,3)列出残差,4)按贝塞尔公式计算标准差的估值,5)按莱特准则,，或格拉布斯准则,粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算,，检查和剔除,和s，再判别,直到无粗大误差；,6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；,7)算术平均值标准差的估计值,8)写出最后结果的表达式，即,例4对某电压进行16次等精度测量，测量数据xi中已记入修正值，列于表2.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。,解：(1)求出算术平均值,(2)计算,列于表中,并验证,(3)计算标准偏差估值:,(4)按莱特准则判断有无,查表中第5个数据,应将对应,视为粗大误差,加以,剔除。现剩下15个数据。,(5)重新计算剩余15个数据的平均值:,及重新计算,列于表2.8中,并验证,(6)重新计算标准偏差,(7)按莱特准则再判断,现各,均小于,则认为剩余15个数据中不再含有粗大误差。,(8)对,作图,判断有无变值系统误差,如图2.18。从图中可见,无明显累进性或周期性系统误差。,图2.18残差图,(9)计算算术平均值的标准偏差:,(10)写出测量结果表达式:,(取包含因子k=3),第四：误差的合成与分配,（1）误差传递,例5：按公式,测量金属导线的电导率，式中L为导线长度(cm)，d为截面直径(cm)，R为被测导线的电阻()。试说明在什么测量条件下,误差最小？对哪个参量要求最高？,解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。,由上式可知对截面直径d的要求最高。,（2）误差分配,误差分配原则：,等准确度分配,适用条件：性质相同，大小相近的情况。,例6：用量程为500V交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于2%，问应选几级电压表？,设=01=2副边总电压U=880V,则，测量允许的最大总误差为,=U（2）=17.6V,用引用相对误差为,的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为Um，,则可能产生的最大绝对误差为,，这个数值应不大于每个,副圈分配到的测量误差Ui，即要求,可见选用1.5级（1.5%）的电压表能满足测量要求。,可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，可根据式（2.51）等准确度分配原则分配误差，则,等作用分配,对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的,例7通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW。若要求功率测量的系统误差不大于5%，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。,P=UI,300mw3v100mA,系统误差：5%？,在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行调节，在满足总误差要求的前提下，对不容易达到要求的分项适当放宽分配的误差，而对容易达到要求的分项，则可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。,第五：测量不确定度,以上介绍的测量误差理论虽然很全面很系统，但却存在两个严重的困惑问题：逻辑概念上错位,误差评定方法不统一例如：随机误差通是用实验标准差s、2s、3s表示？系统误差还没有一套通用有效的方法。已知被测系统的随机误差和系统误差如何求总误差时：有的是分别给出；有的算术相加；有的平方相加。,以一个已知量求解两个未知量是不成立的方程式，逻辑前提条件不成立。例如，测量地球到月亮距离的误差是多少？算误差时，要为获得约定真值去找高档级仪表,1测量不确定度的概念,由于真值难以确定，测量结果总是带有不确定性。,在国外，推出了以“不确定度”作为测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的度，是测量理论中很重要的一个新概念。,1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国际法制计量组织等7个国际组织联合制定发布了GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement（GUM，测量不确定度表示指南）。,我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于1999年发布了适合我国国情的测量不确定度评定与表示计量技术规范（JJF10591999）这个规范原则上等同采用了GUM的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。,（1）.不确定度的定义和分类,在测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999）中，不确定度（uncertainty）的定义为：“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。”。,这种测量不确定度的定义表明：,Y=yU,其中，y是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值：,U是测量不确定度，在UGM中规定，这个参数可以是标准偏差s或是s的倍数ks；也可以是具有某置信概率P（例如P=95或P=99）下置信区间的半宽。,表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间是：。见下图：,其置信区间是：。它与真值没有直接关系，但它将真值包含在区间之中了。注意：不确定度U恒为正值。前面加号只是标明区间的取向，经常用数学符号+，或者号与U相联结。,不确定度,标准不确定度,扩展(展伸)不确定度（扩大uC的置信区间，提高置信概率）,A类标准不确定度uA（由多次测值求标准差获得）,B类标准不确定度uB（查已有信息求得）,合成标准不确定度uC（A、B类的合成；多个不确定度合成）,不确定度分类：,应当指出，在不确定度的合成中，有时为简化运算也引用相对不确定度的形式（类似相对误差的概念）。,（2）测量不确定度的来源,测量不确定度来源于以下因素：,1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。,2）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。,3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。,4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。,5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。,（3）测量不确定度与误差的关系,误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。,表2.9误差与不确定度的区别,不确定度的实例应用：,2标准不确定度的评定,用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u表示。测量不确定度所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用ui表示，其评定方法如下：,1.A类标准不确定度的评定,A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即A类标准不确定度就等于标准差，即,标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：,1）对被测量X进行n次测量，得测值x1，x2，xn；,2）求算术平均值,和剩余误差,3）用贝塞尔公式求标准差的估值:,（2.56）,4）求算术平均值标准差的估值:,（2.57）,5）则A类标准不确定度为:,（2.58）,这里需要说明的是，观测次数n应充分多，才能使A类不确定度的评定可靠，一般认为n应大于5。但也要视实际情况而定，当A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时，n不宜太小；反之，n小些关系也不大。,除了这种用标准差计算的A类不确定度之外，其他都属于B类不确定度。,2.B类标准不确定度的评定,B类评定不用统计分析法，而是要从,获得信息,然后求出其分布的估计（概率分布假设）和置信区间（要有一定的经验及对一般知识有透彻的了解。）,即B类标准不确定度：,（2.61）,包含因子k（或称覆盖因子、置信因子），可查表2.10。k一般在23范围内,当估计值x取自有关资料，所给出的测量不确定度Ux为标准差的k倍时，其标准不确定度为：uB=Ux/k,当知区间半宽a后，要换算为标准差形式，,例2.23由手册查得纯铜在温度20时的线膨胀系数a为16.52,/，,并已知该系数a的误差范围为,，求线膨胀系数a的标准不确定度。,解：根据手册提供的信息可认为a的值以等概率位于区间,至,内，且不可能位于此区间之外，故假设a,服从均匀分布。已知其区间半宽,，则纯铜在温度,为20的线膨胀系数a的标准不确定度为,/,最大允许误差即仪器的最大绝对误差，即该仪器的置信区间。其“模”即绝对值，也就是置信区间的半宽a，因此,例2.24数字电压表厂家说明书上给出：仪器校准后12年内，在1V内示值最大允许误差的模为（这里Ux为读数，Um为量程范围）。设校准后20个月在1V内测量电压，问当测量读数Ux=0.928571V时，其示值误差导致的标准不确定度为多少？解：因数字电压表示值误差导致的标准不确定度是由厂家产品质量决定的，不是通过多次测量由标准差求得的，故属B类标准不确定度。,由于最大允许误差在1V量程内对测量值都有影响，即其在1V范围内出现的概率相同，故应属于均匀分布。因此，这里a即为均匀分布的半宽，按表查得。,则该数字电压表示值的B类标准不确定度为：,自由度的理解：如仅有一个测量值，则该测量结果就是被测量的最佳估计值，别无选择，这相当于自由度为零，式（2.56）计算的标准差s为无穷大，这是不允许的。若有两个或两个以上的测量值，则有了选择最佳估计值的“自由”。随着测量次数的增多，自由度也随之增加。自由度愈大，标准差愈可信赖，标准不确定度愈可靠。因此自由度v是表达测量可靠程度的量，测量次数n多，可靠性好，则自由度大。,3.自由度,1)自由度概念,和的项数n和的限制数是1,2)自由度的评定,(1)A类标准不确定度的自由度,对A类评定的标准不确定度，其自由度即为标准差的自由度。由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其自由度=n1。,(2)B类标准不确定度的自由度,由于B类标准不确定度的自由度不是由实验测量计算得到的，也就不存在测量次数的问题，因此原则上也就不存在自由度的概念。,应当指出，自由度的计算除了在求标准差中用到外，主要用在求扩展不确定度查包含因子k表时要用到。,2.6.3测量不确定度的合成,当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度uc表示。,概念：类似误差的合成,下标c是英文combine的第一个字母，表示合成之意。,1)直接测量量不确定度的合成,设某被测量x有i个A类标准不确定度，有j个B类标准不确定度,由于通常这些不确定度分量彼此是相互独立的，故该被测量的合成标准不确定度,例电压测量：,数学模型（或称函数关系）是：,2.6.4扩展（展伸）不确定度,合成标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于一个标准差，由其所表示的测量结果yuc含被测量Y的真值的概率仅为68。（太严了）,扩展不确定度由合成标准不确定度uC乘以包含因子k得到，记为U，即,U=kuC,通常规定，除计量学基础研究、基本物理常数测量以及复现国际单位的国际比对可以仅给出合成标准不确定度外，其余绝大部分测量均要求给出测量结果的扩展不确定度。,包含因子k是自由度和置信概率的函数，即。,通常，置信概率取P=95%,应是合成标准不确定度uc的自由度,Y=yU,结论：通常都是用扩展不确定度作为测量结果的不确定度，则测量结果表示为：U=kuc=2uc（2.69）,U=kuc=2uc,例题8：设TOS6100所测的接地电阻为Rx，JD-2标准电阻为RN，取JD-2标准电阻为100m，在接地电阻测试仪TOS6100上进行10次重复测量，得到测量结果如下表所示：,已知TOS6100在100m时的分辨率为2m，此时自由度为50，接地导通电阻测试仪检定装置经检定，符合其技术指标要求，100m处的误差为0.2%，此时自由度为50，试求测量结果的扩展不确定度。,采用测量不确定度的意义1)只要根据实际条件进行测量，得出现有条件下的测量不确定度，具有可操作性。不必求取真值（约定真值），不用找高一档次的仪器测得结果当作约定真值，再来计算误差。2)体现各自的测量水平。例如，通常学校学生实验室用三位半数字电压表测量直流电压，只能做到毫伏量级的不确定度；在学校研究室里有六位半数字电压表，就可做到微伏量级的不确定度。当有八位半数字电压表，还可做到纳伏量级的不确定度。3)通过对具体项目测量不确定度的分析与评定，能明确从什么地方采取措施可以减小不确定度，从而有利于提高该项目的质量。4)对测量者不会提不合理的要求。不能要求一般检测实验室的测量不确定度达到计量校准实验室测量不确定度的水平。5)使测量结果有了国际统一的评定与表示方法，具有可比性，既符合国家标准又与国际接规。,用一台6位半数字电压表，在2V档对1.5V电池电压进行9次测量后，得其算术平均值是1.536542V，标准差的估值为18V，并计算出此电压表最大允许误差U=13.8V，试求其测量不确定度。,课堂测验,U=kuc=2uc=20V,Y=yU=1.5365420.000020V,用一台6位半数字电压表，在2V档对1.5V电池电压进行9次测量后，得其算术平均值是1.536542V，标准差的估值为18V，并计算出此电压表最大允许误差U=13.8V，试求其测量不确定度。,2.7测量数据处理,通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知识和表示方法。,处理方式,表达式（有效数字、测量值、不