定积分的计算方法研究毕业论文

编号2013110110研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelors Thesis论文题目定积分的计算方法研究作者姓名施莉学号2009111010110所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：定积分的计算方法研究外文题目：Research on integration techniques学生姓名施莉学 号2009111010110院系专业数学与应用数学班 级0901学 生 承 诺我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）： 年 月 日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日目 录1.定积分的产生背景及定义11.1曲边梯形面积11.2定义111.3定义212.定积分的几种计算方法22.1定义法22.2换元法求定积分22.3牛顿莱布尼兹公式62.4利用对称原理求定积分82.5利用奇偶性求函数积分112.6利用分部积分法计算定积分132.7欧拉积分在求解定积分中的应用143.结论174.参考文献18定积分的计算技巧研究施莉（指导老师：许绍元）（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）内容摘要：定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的因此，我们要研究定积分的计算方法常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积分法、换元法以及其他的特殊方法下面我们将探讨一下定积分的计算技巧本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法同时，将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的关键词：定积分；求法；应用定积分的计算技巧研究1.定积分的产生背景及定义1.1曲边梯形面积设f为闭区间上的连续函数，且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形变力做功：定积分的意义：定义1：设闭区间上有个点，依次为：,它们把分成个小区间=，这些分点或者这些闭子区间构成的一个分割，记为：或者，小区间的长度记为=-，并记：=max,称为的模注：由于，因此可用来反映被分割的细密程度另外，分割一旦给出，就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却有无限多1.2定义1设是定义在上的一个函数，对于的一个分割，任取，并作和式，称此和式为在上的积分和，也是黎曼和显然积分既和分割有关，又与所选的点集有关1.3定义2设是定义在上的一个函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任一分割，以及在其上任选的点集，只要就有，则称在上可积或者黎曼可积记作=其中，称为被积函数，为积分变量，为积分区间，为积分的下限和上限几何意义：设为闭区间上的连续函数，定积分的值由曲线在轴上方部分所有曲边梯形的证面积和下方所有曲边梯形的负面积的代数和 2.定积分的几种计算方法2.1定义法通过对积分区间作等分分割，并取适当点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分:.解：则=.另外，在求数列极限时，有时也可根据定积分的意义定义化成求定积分的运算。例：.解：=.2.2换元法求定积分利用换元法求定积分时，要注意换元的条件，要满足在积分区间上单调切具有连续导数。在做变量替换的同时，应相应替换积分的上限和下限。被积函数f(x)、积分上、下限、积分变元的微分三者同时替换。换元后不必换成原定积分的变量，直接利用牛顿莱布尼兹公式计算。定理：设函数在区间上连续，函数，满足条件：(1) ；(2)在和具有连续导数，且其值域=，则 称为定积分的换元公式。常用的几种代换：（1） 三角代换：若被积函数中含有，可令x=或x=;若被积函数中含有，则可令x=或者x=；若被积函数中含有，则可令x=或者x=根式代换：若被积函数中含有，则可令t=；若被积函数中含有，则可令t=，若被积函数中含有和，则可令t=，p=（2） 倒代换：一般用于分母次数较高的情况如：，令在具体解题时，还必须具体问题具体分析，灵活处理例1：求解：令x=， 原式=例2、求解：令=,则例3：计算定积分解：令=tan， =例4：求=解：令=-x=2 ）换元法求定积分应用广泛，但是极易出现错误变换被积函数，自变量必须在原区间连续例1：计算.误解：令 =0解显然是错误的，换元设t=0时 , 无意义，在上无界，不可导，不满足换元的基本条件 故不可设正解：根据定积分换元法的常用公式计算，若在上连续且为偶函数，则：即：。换元在区间上必须满足换元的条件：例：计算误解：设，则当时; 时原式=误因分析：被积函数中含有二次根式，通过换元法消去二次根式，设 虽然但在处为0，故这样的计算是错误的正解：令原式=积分区间特殊的函数积分：例：计算x解：原式=误因分析：被积函数大于0且积分上限大于积分下限，积分值应大于0.原因在于t=tan2x在上不满足积分的条件正解：原式= = =2。误区分析：用换元法计算定积分时，虽然反复强调计算过程中的有关细节，但是有出现一些思维上的错误，本文在定理1的基础上通过实例进行剖析，以使学生更好的掌握利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的思维方向，从而避免一些思维上的错误2.3牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且也在理论上把定积分和不定积分联系了起来定理：若函数在上连续，且存在原函数，即=,则在上可积，且,此公式即为牛顿莱布尼兹公式也写作：注1：在应用莱布尼兹公式时,F(x)可由积分法求得注2：定理条件可适当减弱，例如：(1) 对的要求可减弱为：在上连续，在内可导，且=,；(2) 对的要求可减弱为：在上可积（不一定连续）；(3) 后来证得了连续函数均有原函数之后，本定理中对的假设便是多余的。在定积分的计算中，经常会出现像计算定积分=，=等类型的题目这类题目看似容易，但学生一动手就会出错因为：=但却不能运用牛顿莱布尼兹公式来计算=但这是错误的这是因为被积函数= 在区间上连续且恒正所以它在区间上的积分应该大于0.其错误原因在于函数=在区间上不连续，=0为的第一类间断点不难求得：（0-0）=（0+0）=从而在点=0处g(x) (x)并不是在上的一个原函数，我们称这种函数为分段原函数。再如函数= 函数=在有第一类间断点，即= =是被积函数的一个分段原函数对于积分我们也不能简单应用牛顿莱布尼兹公式求值为了利用分段函数求原函数来计算定积分，必须推广牛顿莱布尼兹公式定理：若为连续函数在区间和上的分段原函数，为其第一类间断点，则： =-+-=-+ -广义牛顿莱布尼兹公式.证：有定积分的可加性知：=+=+）利用公式计算和=0-0+-（-）=。例：= ,求。解： 。2.4利用对称原理求定积分对于对称区间上的定积分和一类费对称区间上的定积分，均可用对称原理进行简便计算1、 结论：设在上连续，求证：证明：令 进而： 例1：求=解：，= 在上连续对于式，若将积分区间用对称区间代入则有：2、 利用这个结论计算对称区间上的非奇非偶函数的定积分，只要比+的定积分简单即可。例2：求=解：=例3、求=解：= 从而=3、 若为奇函数，则；若为偶函数，则利用上面的性质并结合定积分的分项运算与分段运算可以简化计算过程。当被积分中含有奇偶函数或者积分区间含有对称区间时，可以考虑直接用上面的结论化简定积分例4、求解：原式=+=2例5、求解：原式=+=4、 如果把换成，于是有：在上连续，则例6、求=解：= ，= +=1=更一般的，例7、求=解：=2.5利用奇偶性求函数积分定理1：函数的奇偶性在定积分的计算中有如下结论：若在上连续，当为奇函数时，；当为偶函数时，例：计算积分=解：定理2、当被积函数无奇偶性时，或者对分析被积函数，对其进行变形时、拆项，化成奇函数或者偶函数当被积函数不具有奇偶性或者积分区间不为对称区间时， 定理3、设函数在上可积，则类型1：直接利用奇偶性求定积分：例1、计算=解：被积函数是关于原点对称的奇函数 =0例2、解： 类型2：间接利用奇偶性来求定积分：1、 区间对称，函数不是奇函数或偶函数例3、计算解：原式= 2、 函数是奇函数或者偶函数但是区间不对称当函数是奇函数或者偶函数，但区间不对称时，可以通过变量代换的方法变换成对称区间例4、求=之值分析：观察可知，积分区间不对称，被积函数既不是奇函数也不是偶函数，也不是偶函数，所以此题可以将被积函数展开然后再求积分，但是这种求法比较繁琐。由观察可以发现，若令，原积分就转化成了区间对称的定积分，也可以用定理3求解。解法1：= 令时， ；时， 则=是奇函数 解法2：= = = 例5、求=之值分析：观察可知该定积分的积分区间不对称，但函数是奇函数，所以拆分区间使该定积分比较容易计算解：=+=0+=2.6利用分部积分法计算定积分分部积分公式设函数、在区间上具有连续导数，则有.（定积分的分部积分公式）例1、计算解：令 则 例2、计算解 。例3、计算。解： （） =。例4、设求。解：因为没有初等形式的原函数，无法直接求出，所以采用分部积分法 = 2.7欧拉积分在求解定积分中的应用求解定积分在是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的方法一般来说是求出原函数，然后根据牛顿莱布尼兹公式代入上下限进行计算。这种方法一般比较实用在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么问题就得到了很好的解决。欧拉积分恰恰是我们解决这样问题的一个有效工具2.7.1欧拉积分定义（）我们称之为函数令是，代入上式得：（）令时，代入上式得：（）2.7.2 性质（1）函数的定义域区间为，在內闭一致收敛。在区间上连续，求导在积分号下进行： （2）递推公式 有：这个性质可由分部积分公式得到。特别是，当，有：，即：=（3）余元公式：（ 2.7.3 函数（第一型欧拉积分）（1）定义：=0),我们称之为函数。令时，代入上式得：=2令时，同理得：= 。（2）性质 ，函数在上一致连续，有连续的各阶偏导数。对称性：递推公式： = = 特别对正整数有=余元公式：0= （）特别是：= 公式：2.7.4应用欧拉积分求解其他定积分 用欧拉积分表示其他积分时，说到底主要是变量替换以及各种变形，下面举个例子例1、求解：而故 于是原式= 例2、求 （）解析：这是一道关于三角函数的定积分的问题如果通过利用三角公式求出其原函数的再计算，这就需要讨论、的奇偶性这显然是我们尽可能避免的我们用欧拉积分求解：令时，代入上式得：=当时，即原式为：=同理：（）我们有：=例3、求解：我们用欧拉积分求解原式= 对于我们令时，代入得：所以，=4令得：=结论：定积分求解中有很大一部分是可以通过欧拉积分解决的，而且应用欧拉积分非常简洁。其中三角函数的定积分，反常积分大部分都可以通过欧拉积分来解。当然还有其他类型，也可以通过欧拉积分来解，这里就不多讨论3.结论目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的但是，对于定积分的求法与应用的研究没有停止，了解了定积分的基本概念后，我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法同时，将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的理论联系实际，对于生活中出现的现象，学会用定积分求解也是一种非常重要的工具4.参考文献1 华东师范大学数学系编数学分析上册M背景：高等教育出版社，2001：21-32.2 高等学校工科数学课程教学指导委员会本科组高等数学释疑解难M北京：高等教育出版社，19