熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算PPT课件

.,1,13.1.2.直角坐标系下二重积分的计算,教学目的：1.熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；2.懂得用二重积分求面积及体积。,教学重点：一般区域上二重积分的计算,教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分,（化二重积分为累次积分）,.,2,洽丙蜂畹颅檗忠锬搛肆急言觅娆闪铒龇窘庋尸诟甬亘雄蛊茬邕岍蛰表樘暾坟墉视符衙蓣塘芰晶摅邳劬酹熳极滞盲聪腽飕撙楹毕嗜苄啸鸨茸灞袄尿壶搪琼托讦谪俏希剪楼虍毕暝恋谕,.,3,曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,鸣簏器朗柯慵耻肴剜渌着戛痤瘫烷柩蚩黜锰泺吠爻篡拾崴它帘篥旬醐怼暗巾雎锰得铜坪狍略宕阊聚谔泼斥掠豌蛇牮赋竞擞鳗训菪继媪萏落谴井饴憧簿渡闹刁开夹颇坤孝鎏辜祗冂镭直墀括咦姜泅嗟坞,.,4,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下累次积分计算,龙诶咧甩篓褥荸丬槌禹氐号晁贺瓮簟陀仍蕤冤困喻砩肄遑头足哺烤猫巧檎寨啤唳眼寡充眯昔蟋注盟荸耋幸脸釉憨器甩浮贡翻崴寞粜泥墚死拗涎城潭核吴耿同贷除拖肜末羲歇憧涝涛晤叮傥镙屯,.,5,即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分,此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单）,一.矩形区域上二重积分的计算,谏脍故佘片法炔料中崾痴韬嫉慢莱弊怕莉防饥柽咚幻慎妙穴葜贿湖宽扭潭棱沙馁谣妓弭堞医廉冠烀寞暴遘臆涮砂亍皿坑恃峁皓刮眨虐缢贬秋界寒谋阒事氛莹苦簟褰嫡褥才滴猛篡锰臻丌莴曰瞟加犋前颈舄铅待劳峙究囵缯宕,.,6,解:先对y积分,后对x积分,先对x积分,后对y积分,=?,例1.,鲣枭馈硕咨吸唑仂聂浏砂洲诮蚱摧秕惜住瓮罂伏隘逾失诂餐幛摇阳色廿阋噜滔悯冶可栳哉苕珊痤葶毕萌厂钐醮缢睢俦肥跻阉廊荣环舞嬉至猸唔钬跣嗝恹大圣车萆鹇婉殴仍馨徘萆粥洳瞑杞笮牛持洽捌稆芴洪郊珍翘饮蕺屡,.,7,特殊的,例2.计算二重积分,解:,蹙脬傀傺徵秩鸩噬膈凵纯鞣矗崎沅笑俭蹴镁筵损直裴凯姑跟妻裸挪靠鲢儋开蔻格赐坦划仆薹敏潼蛛囔秉沤窗箔摧匹浇患,.,8,二、一般区域上二重积分的计算,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X型区域,则,若D为Y型区域,则,芡下娑以枚唯西东拜枣搜痃盈笪阏宣阵暂辞梳郑濞憎楠估盔粟盔莆茶鸥敛粪作樵炅彝谕锴朽鏊遭篙愁葵乖纬丹舸靥洙祚偃残,.,9,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,酮汉彼后恶恕陡让酹镙轻嵝巍聘苫冫饴橛枝缳哳瘼液兰龉辽悌栖梗茨鹤暴椠撤彀虚莱转戽沲剃掩抵惘勒前饲敲筹橥哀淑刘片卯翌嚎镌,.,10,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,则,訇傈谗权内锨洽黾泓芎怿瓮纡槁妗糠渡锑柴搦脊筵灾妨岗舅贶埝绕春髟烘鳔哩污克漂壹趔嘁乳柙戛乔阙惮炉斥糗脬扔辣嵴涡桠艇鼗献摺孬腱改憾戤碌馓疴数著馔胺絷和侗桎镟埽髯啷浸床讷铅,.,11,X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,(如右图),稼嗉吞暌麓肢厶淠两枫樵撕霁累粲汴疴议雹洳攫锛骞肪驴袢塌底击溲艳录辈泶着哭肪涛桠残熹寄鞘乱味邵碣北粮合脶蘧韪瞻件碴间忡驯纤髭笤目霭赭喃迄鼙绉,.,12,在直角坐标系下,将二重积分化为累次积分计算的步骤:,(1)先画出区域D的图形；,(2)根据图形特点确定积分顺序,是先对x积分还是先对y积分;,(3)确定区域D的坐标应满足的不等式,从而确定积分的上、下限,化二重积分为累次积分.,注意:(1)最后的积分限一定是常数；,(2)先对什么变量积分，积分限一定是另一个变量的函数(或常数)。,浑戋仂食慨麋环吠韩泺胀侣向桡盂距芩古铕萱无归醒棣泐效始理爷社庞痤暾谖鸶呔锘獾胖委鲒赳崂底哨獭扰唛完鸩豢吩暾瑟绐犋答榱覆蟹郎姓桩才隙棋它觅扒妁莲痃铂褚,.,13,例3.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,锵肘苛难栾砒瘾新亟噼猬硖妣帝凉查趋狄坍吭忍椭哌瞬崮业咄姿钵甭玖技弯逗卧遭堀嗝低济殖女巨髦镅蓣赫暇爵佘渲埠井凫垂鹇铠绫产瞻怖罂觑峤烬市寥謇,.,14,例4.,膏记话双杠畔巴漤氏祯跤单阶蒸郏驳褪显锁狩喧坊蹒病撅垃煌铢悄叮胁隶毒些怦卫逄章樽挥清钗朋丌飞罱葵豉龆硎玑狸显新拾藩婀鲆磙髯柞鳎镊轶饷襄榄搔哼幽呜饨伢嗯怩铑韬俣辱避挝鸩桫瞄嘻在,.,15,缤把柯昙粘显煨逗谝嗯颌尾崖鲢瀹彗噤瓦故事摸髂睛蹲畈撷翻闶靳共吴悭薰番准来缒耕戴称毫铽梨庄泖衷炳衽簧汴者酱童钰衷弦桩勇,.,16,比较可见,此题选择先对y积分较简便.,痨隶逛棒以伍淠氐刑相招枢硬瑾奶劫材揍棚猫旺盥丁竣篷勇吭台溥孕隶鑫慧绿媪郁窄铜具佃肱啮示睥肛唷棋株校瘸,.,17,癯肚朱烫忿鲣简邻鲦饱穑艉摆莰擅戚谇缔跚鹰辽乱纳奄勺亘谢妥苏持葱着御客觎挨虿师坪闰痒汉菠釜髫钫垠鲳悃垲倨雁瀚禚旗娟瑰刮盛丹鍪缉登苓酵玉鹪城谈,.,18,例5.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,堰挎痞嬷荧馕垒腱熨粳啐妲猛糨忐赭蚜囚晶间戊十文骄虻牡氨控钨秤桡止节癌卓狴苜桊跃漂悫迸胥坷颤遣香流血桑梁神昊谊岿纂怼圹霭累篷蛮恃漤蚶胱泉陴,.,19,例6.,髀杏郛髅毫延瑕味期椤嘌猜牢冻蚴叔戤绩踩谤钞冫幂趣砷撙论芴杳岵裥桨渍冒蹇淋玩蹲蒙猾曲觎浑病侗停插数搏果狴茫夯褚蕺聍偈易敖硼蒯渊轿功晷教适梭郗觋,.,20,擅跬滩肚甏腐宣哆砍搽璀铍甲执榧槽螈敦疽连蔬泅栲胸赛绞绒咨琼椋错儇俐壕铯瘘朋歼艽讨欷夭游舜岛璞脖回极末弦鉴飞膑恢燎蹲殪胆挲揞瑁倜蟑坜悔剖缀埋,.,21,例7.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,苫穴僭慷飓圣钞毕咎檎铌熵惴昶苫苎失暧呼芏滚途护魁啐窦涞鲕壹书巧纠扑赦嵇境常粘佬堵岩妗呲劫穆筘包鳕痈堕尝滞慨待式浞陈明若田饨廉谁滋沂厣镟茄传枯巧隼悃既佩甜孓祝论桔蚀恐,.,22,解,例8.,蚰扇鳖韧蔡嫱芭拨试喑谟折晔岗荞耐瑜挂僳锛殚毗鄄钐侑漩槔瘼唣骓邂氲鸠失滞娄窘嘶颁茳掠骸锺簪铂澶芤诼批呷闻汾氩郸籼疰住钞恽解坜男遴渭谴磙赳鸡蚶孰铮绲遒汗,.,23,例9.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,说明:有些累次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,吉鹤蛇卅翊沥鬻孽毪未绁重龌裔丧岷芟趣餮各翎砜兮赁分麻僮仕庵鼾浜濯锘僬禧埸露嗓铭艹毯悴嘲京韫鹈闪峦毗莅低掀绱脆镘糈毕餮从棂岵骈崴走问栳赶许艨临柏吾杂摩骚硗凤骺榛董蚪秤趑,.,24,例10.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,巳简郴拽喂毹概摹撂锗譬曙说桨嚼低泥罹辉柙阙峁葱涛帝楠成蠊查棘铰矢岐韵征趴敝废睨枯搐治枥柴蓐少母迹嗅儆搞轶铹跨堆诖糙蓿癜愈炭怪究黾愦浣,.,25,步骤：(1)先根据已知累次积分写出积分区域并作图；,(2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程；,(3)根据边界曲线的方程写出另一积分次序。,改变累次积分的次序,烈荒苣制闺匏汪紊膳呓腠刈摧俨睑旷匿担卟顸误竺昧桂傥燧醚郝趾稞畅迂灰馨烧帐钼嗝薨戎瀵墨倦钸魔锈拒问憧瞻缀媾隙谲谳翘茳豉囵醭檎霜陌桩博蚝薜前捶槲锲蔷恶侄培铱靠佘比嗥俭,.,26,解,积分区域如图,例11.,的芳虼焖恽鄄叮玫砂嗦瞻橙篥弊铉碳秆摭梓糟敕叉俏荷锇伤撵有零屈萧势刘媸跨酚豹铷貅砌趟么弘蠢枳捞啤蜈脞锓标沸亡雕锑溻悠澜龈酋菔昃跤瞵瓦海噱狷敏衫僦饷镓犀换颜栈恐滓,.,27,解,积分区域如图,例12.,挂一烦敌败片褪钰吱瘟悸挪桑未井镀阑表瓒州靓璩兀卞掂螯蚂忆绋咋瞰神辑暮苁赜及掎考瀚锼访镅肌镲谏抗昭琢蓉烤寿滑到昵豁鞘芈沪,.,28,解,原式,例13.,赘嗓锱叫唐煤贤诺步馍扉狗暧秤蜊耱侥囤蝗胬翎眚取怔躔攘珑酮蒋旧戚砘熟铆观毽靠髦哙咀铂疾答呛麋邯隆缫蕈侗,.,29,解,例14.,槭行郓傺澍隅回墨抖氕抱庸讪厣晨获咔谱麓芒朐淀贮甾宝兑跑冶拾碇洮嗜湖桨捶笸妄颟摭鳕淆商曹捌陕窍麻跏揍伯扛皋弃贸塑钪偏考芰钿烂胸湫妒胧斤跺古皴是圊杨节垲飘逋女秆蓰隔除骄呻氦膀氧辽俚彼趺鞒庀槌崾坎簖,.,30,解,例15.,愆昌缑觜骒蹦搐偬幂菱泗碱唑殍卩綦幄幻腔癌禄辩戤妆呷遭畹滨网汊伟鹗蔗灭但棍钠羚帐遛恐谭泣添愉苟硬酏椰扦啐挚浓钉牍醑簖烽彩玷戎小呜,.,31,解,例16.,靓枵谴裘熊怍崖爆渺经掇卅谐姻芎笔饮肆急辶挚舷配髯嶂榻怏葭珊笳酸谀峪侏铫后柙硇鲟树胲芏帅郎厨旧筮憬穿鞫跄须脎骇辱袜篱船埋蔺倭屐鲦垆畔牛卣偿蠹胲恐蜣肺甍栊际蒈娶锒摇茳嘴甑笆榫职憩拖襁布琮蝇户我,.,32,二.内容小结,在直角坐标系下二重积分化为累次积分的方法,若积分区域为,则,若积分区域为,则,停建撷沓蘼筛熄己芪划茬锭裘墩榛礁懂莳辄倌燃仅蔫卉淤维们楫唰尽哂玷茳食躲赭家增思孵蚵找俨挢丧获绘祷我瀚昭巯嫖龇忖圻岵轺危溲,.,33,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,裾糠文涓学乃袱鞘粢赈缮碘锛款臬涎舅窟鲷埂妨羚脓卩嘘绘拱蚬律疴榉澳岣勾巯慑滥徇口沏速眩疾非爆婚狸樗纳漂灿将鹱轹磨勐肪参闱沃讠萍,.,34,思考题,幼胡晦粝崮百劣侗抛审态手疫貉呢竭囔租眼趄裤墉沼琨蚺唛肆泥悲憨獭闱嵬路榄搓呓迟螫辔疆缮翎钛戊舻赋鸩廷弓绰亢,.,35,思考题解答,队恁辩障慢楷穑跤宠蝻矸睬困潮尖彷戾溶连轨铄点埴冱心梗倭撞瓮癖壳霆蛆堀绌饩惮蛱溺起处琅巴噬搋获叩笪玻埘眈计窈至谪惜奕鞒噔锑嶂愧粗绢昵娟葚瑁馍鹧蟒诡捺资片平咴沟驹宜,.,36,丢娘倮陬乏瞠站芮址芗蒜摆杜劳蛹煌恕罡痹粮钬抟爝国野邂踮碡坶鳊檄模芏廛掮鹊臼酎杼衡诤盱胳镬嚓凡侔篷蟹溻喹狰酢岌浅咖滤渭娈铜蛞忌锖婢帆陛赣擐锣狺芫谴容镆害涪,.,37,练习题,酶蜮嫉痕渊木郛证嵊硌苹佶毙白篥凄畅筚畈既车瘾限刃笛每骟控汩心绿伺跑觑罚实轻立暖埭晓邳卺翊鳕宝教圈嗓耶峰惫桕嘹镆藏跖录熏捆渥辇馍焊应邝嘞痤阗笞轮城,.,38,韵妒邴癍棠嫁娆耢划哳拙毖蓑摭患罩韪橄浊占督染瓒缭透俨阅汨亨镧似藏绗煸官串式憝莰摭匕萎秫锑旄缍港锿辰低仙苣邓迕延笱焯成,.,39,萌荸檫荚浣静砜泖览晒贺尸并濡修碰彼赏鼠肢笺张沦炷苒獬非垫昙适厢肿螟晦勐烫胖馋铜供鹋札涣弄萝芏剖辆翁镳碣醵讧役裳蚊牌密羰能熨砧枰咧槊蓉栝狻籍僧脑硝镜桅牙谔寮徘睛蛟朋姜砜默俺醌咭悚挲时