第3章+流体动力学.ppt

第3章流体动力学基础,在自然界或工程实际中，流体的静止、平衡状态，都是暂时的、相对的，是流体运动的特殊形式，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它的流动性。因此，进一步研究流体的运动规律具有更重要、更普遍的意义。流体动力学就是研究流体运动规律及其在工程上的实际应用的科学。本章研究流体的运动要素压强、密度、速度、作用力、加速度间的相互关系；并根据流体运动实际情况，研究反映流体运动基本规律的三个方程式，即：流体的连续性方程式、能量方程式和动量方程式。,流体动力学,流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等）随空间位置和时间的变化规律。,流体静力学与流体动力学的主要区别是：(1)是在进行力学分析时，静力学只考虑作用在流体上的重力和压力；动力学除了考虑重力和压力外，由于流体运动，还要考虑因流体质点速度变化所产生的惯性力和流体流层与流层间、质点与质点间因流速差异而引起的黏滞力,流体动力学,(2)是在计算某点压强时，流体的静压强只与该点所处的空间位置有关，与方向无关；动力学中的压强，一般指动压强，不仅与该点所处的空间位置有关，还与方向有关。但是由理论推导可以证明，任意一点在三个正交方向上流体动压强的平均值是一个常数，不随这三个正交方向的选取而变化，这个平均值作为点的动压强，它也只与流体所处的空间位置有关。因此，为不至于混淆，流体流动时的动压强和流体静压强均可简称为压强。,流场充满运动流体的空间称为流场,流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；,流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动和物性的参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是连续的。并且随时间和空间而变化。,连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。,1.3.1一、描述流体运动的方法,假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？,描述流体运动的方法,联防战术,用五名己方球员分别对对方球员进行一对一的跟踪防守。,用己方五名球员对防守半场进行分区监管，一人负责一片区域的防守。,布哨,跟踪,？,请问如何获取某对方球员的行踪？,着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程,着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性,布哨,跟踪,根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。,拉格朗日法,着眼于流体质点,跟踪个别流体质点,研究其位移、速度、加速度等随时间的变化情况,综合流场中所有流体质点的运动,流场分布,又称随体法,跟踪个别流体质点(a,b,c),质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）,t0时刻:,t时刻:,流场中全部质点都包含在（a,b,c）的变数中,(a,b,c)是拉格朗日变数，即t=t0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。,当（a,b,c）变化时，这就表示全部质点随时间的位置变动函数。当t变化时，便是质点（a,b,c）运动轨道的参数方程,自变量（a,b,c,t）称为拉格朗日变数,注意：,举例：,流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：,在使用拉格朗日法时必须找到x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)等的函数形式，即跟踪每一个质点进行研究。由于流体具有易流动性，对每一个质点进行跟踪是十分困难的。因此，除了在一些特殊情况（波浪运动、水滴等的运动时），很少采用拉格朗日法。,拉格朗日法的缺陷,欧拉法,着眼于研究空间固定点的情况,选定某一空间固定点,记录其位移、速度、加速度等随时间的变化情况,综合流场中许多空间点随时间的变化情况,通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。,流场分布,分析流动空间某固定位置处，流体运动要素（速度、加速度）随时间变化规律,分析流体质点从某一空间位置转移到另一位置，运动要素随位置变化的规律,欧拉法并没有直接给定流体质点的运动轨迹,同一流体质点在不同时刻经过空间不同点,不同时刻不同的流体质点通过空间某一点,注意：,欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：,(x,y,z)是空间点（场点）。流速V是在t时刻占据(x,y,z)的那个流体质点的速度矢量。,流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：,拉格朗日法是将流体质点表示为空间坐标和时间的函数。欧拉法是将流体的运动和物理参数直接表示为空间坐标和时间的函数,欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数（见下文），所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。,欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。两种描述流体运动的方法之间可以相互转换。,一、定常流和非定常流（按时间分）,若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为定常（恒定）流。否则，为非定常（非恒定）流。,恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。,例如，恒定流的流速场：,流体的分类,流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。,稳态流动及非稳态流动（1）稳态流动流场中的物理量，仅和空间位置有关，而和时间无关。,（2）非稳态流动流场中的某物理量，不仅和空间位置有关，而且和时间有关。随着过程的进行，h减低,u降低。,二、从空间区分流体,用欧拉法描述流动，虽然经过恒定流的简化去掉了时间变量，但仍存在x，y，z三个空间变量。这种在流场中的速度和性能参量由三个坐标变量来描述的流动就叫三元流，也称为空间流动。在实际情况下，多数的流动都是三元流，但是，这种流动模型太复杂了，我们是很难求解的。,当流动中的速度和性能参量与坐标中某一方向的变量无关时，且在这个方向上的分量也不存在的流动,就叫二元流或称为平面流。,当流速和性能参量的变化仅与一个坐标变量有关的流动。uf（s）s：是流动方向上的位置坐标。这个模型的实质是忽略流速和压强参量等沿主流的横向变化。,三元流（三维流）,二元流（二维流）,一元流（一维流）,一维流动二维流动三维流动,平面流动,轴对称流动,任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。,流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动,在实际问题中，常把总流简化为一维流动。,s,一维流动,其流场为,s空间曲线坐标,一元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s沿着流线。,直角系中的平面流动：,流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。,u0,u0,大展弦比机翼绕流,二维流动,二元翼型绕流资料,锥形管内流动：,流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。,轴对称,二维流动,3.2质点导数,流体质点的物理量对于时间的变化率称之为该物理量的质点导数。,在拉格朗日法中，由于直接给出了流体质点的物理量的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。,速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。即速度的质点导数（加速度）为,欧拉法,欧拉法中，任一空间点处速度场可表示为：,其中变量x,y,z,t称为欧拉变量，其中x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。,(1),欧拉法,根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数：x=x(t)y=y(t)z=z(t),流体质点的运动轨迹方程,上式对时间求导就是流体质点沿运动轨迹的三个速度分量：,(2),欧拉法,加速度定义为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，,于是可按复合函数的求导法则，分别将(1)式中三个速度分量对时间取全导数,并将(2)式代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量：,用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。,(3),(2),=,+,=,+,位变加速度,由流速非均匀性引起,由流速非恒定性引起,欧拉法,V也可为流体密度、压强和温度等任一物理量（矢、标）。,A,B,物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。物质导数本质上是拉格朗日观点下的概念。,例子,流体不可压是指流体质点的密度运动在过程中不变，即,流体均质，则,若流体既均质，同时不可压，则,流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即,例题,已知速度场,3.2基本概念,定义：流体质点的运动轨迹曲线,属拉格朗日法的研究内容。,举例,流星、烟火、木屑顺水而下,1、迹线,从这个方程中消去参数t,并给定(a,b,c)的值，就可以得到以(x,y,z)表示的流体质点(a,b,c)的迹线。,迹线微分方程,迹线的参数方程,解这个方程并消去参数t，可得到迹线方程,3.1.3流场的描述,1、迹线：同一质点一段时间内运动的轨迹线。每一质点有一迹线，与时间无关。,2、流线：同一时刻，不同质点的流动方向线。如下图示。,3.2流体运动的基本概念,流线概念,3.2基本概念,流线是在任意时刻流场中存在这样一条曲线，该曲线上任一点的切线方向与流体在该点的速度方向一致。,1、流线,不同边界的流线图,流线表达式,速度与流线相切，流线微元段矢径增量dr与该点的速度v平行。,3.2基本概念,流线的性质,（1）流线彼此不能相交。,（2）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点。,（3）定常流动时流线形状不变，非定常流动时流线形状发生变化。,强调的是空间连续质点而不是某单个质点形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线,（4）流线簇的疏密反映了速度的大小；,在驻点和奇点处，流线可以相交,驻点速度为0。如图A点。,奇点速度无穷大。如图B点。,3.2基本概念,3、迹线、流线区别：,流线,定义,拉格朗日法,欧拉法,（t为自变量，x,y,z为t的函数）,(x,y,z为t的函数，t为参数）,质点的运动轨迹,某一瞬时，速度方向线,研究方法,微分方程,迹线,例题,已知流场中质点的速度为试求流场中质点的加速度及流线方程和迹线方程,求流线方程,求迹线方程,设有一流场，其速度表达式为,试求：,（1）流线族在t=0，通过点A（-1，-1）的流线方程，,（2）在t=0时，位于A（-1，-1）点的液体质点的迹线方程。,题目,解：（1）流线方程,积分,即,解题步骤,流线方程,当t=0，A点x=-1，y=-1,c1=1,在t=0时，,（2）迹线方程,即,设,解题步骤,积分：,当t=0，x=-1,设,解题步骤,当t=0，y=-1时，c3=0,迹线方程,两式相加,所以,解题步骤,3.2基本概念,流管在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束充满流管的一束流体。微元流束截面积无穷小的流束。微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。,四、流管和流束,流量：单位时间内通过过流断面的流体体积。用qv来表示。qv是单位时间内流过dA的区域的液体组成一个底面积为dA，斜高为/v/的斜柱体。该斜柱体的斜高v与法线单位向量的夹角为柱体的高是点积为,体积流量qv质量流量qm,过流断面在流束上作出与流线正交的横断面,1,注意：只有均匀流的过流断面才是平面,总流截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。,总流分类：,（1）有压流动总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。（2）无压流动总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。（3）射流总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。,3.2基本概念,流量在单位时间内流过有效截面积的流体的量。,平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。,五.平均流速,控制面：取整个封闭曲面为控制面。控制体：封闭曲面内的空间称之为控制体,净通量:流体经一部分控制面流入控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体流出，在这种情况下，流过全部封闭控制面的流量称为净通量（或净流量）,六.净通量,=流出-流入,流量和净通量都是数量积，所以为标量。有正负之分。,（1）流体经控制面流入控制体时，速度矢量与微元面积外法线矢量之间的夹角恒为钝角，cos(v,n)0，因此流入控制体的流量恒为正值。,=流出-流入,讨论：1.上式积分结果若大于零的含义？,2.上式积分结果若小于零、等于零的含义？,3.2连续性方程,设控制体体积为V，表面积为A。任意瞬间连续充满于控制体内的流体质量可以用,质量守恒定律,3.2.1连续性方程积分形式,1究竟什么情况下控制体内的质量才能发生变化？,2如果变化，其变化率又是多少？,质量不会无缘无故自然生成或消失，影响质量变化的唯一原因就是经过控制面的流动。,质量守恒定律,=流出-流入,控制体中流体质量对时间的变化率与流经全部控制面的净流量在数值上必须完全相等。即封闭曲面的质量增加量必然就是同一时间流入和流出的质量差。,3.2连续性方程,3.2.1连续性方程积分形式,3.2连续性方程,3.2.1连续性方程积分形式,1、定常流动,两个特例,说明：定常流动中，从封闭曲面同一瞬时流入和流出的质量流量相等。,2、不可压缩流体,说明：不可压缩流体的流动中，从封闭曲面同一瞬时流入和流出的体积流量相等。,*,3.2.1一维总流的连续性方程,一维流动：uy=uz=0,ux=u,对可压缩稳定流,一流束两断面面积分别为dA1、dA2，应用流束的连续性方程,有:,取平均密度1m=1,2m=2,对（3.31）式两边积分,流入=流出,3.2连续性方程,流体总流示意图,式（3.33）物理意义：对可压缩流体稳定流，沿流程的质量流量保持不变。,对不可压缩流体：=常数，式（3.33）变为：,式（3.34）物理意义：对不可压缩流体沿流程体积流量不变，是不可压缩流体运动的基本规律。,设v1，v2是平均速度，A1，A2是有效断面面积,则上式可写为：,3.2连续性方程,例题,例3已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩前后断面平均流速之比V1/V2=?,解,据恒定不可压缩总流的连续性方程有V1/V2=(d2/d1)2=4,3.2连续性方程,三维流动-积分形式利用奥-高公式（封闭曲面的净流量等于X、Y、Z轴方向的净流量之和，各轴方向的净流量等于该轴的速度分量乘以微元面积在该轴的垂直面的投影的曲面积分）,式2,式1,由连续性方程，式1+式2得,得,再根据高斯公式可将曲面积分化为三重积分,将上式展开，有：,因为流体密度=f(x,y,z,t),所以有全微分,3.2连续性方程,将式（b)代入式（a),方程两边同除以，得：,引入哈密顿算子：,所以：,则式（c)可改写为：,对不可压缩流体，=常数，,式（3.26）可改写为：,3.2连续性方程,不可压缩流体的空间连续性方程,式（3.28）物理意义：对不可压缩流体，单位时间单位空间内流体体积保持不变。,方程推导依据：F=ma或动量守恒定律,推导方法：对微元控制体dxdydz运用F=ma或动量守恒定律。,在流场中取一微元体dxdydz，顶点A处的运动参数为：,作用在微元体上的力有：,3.3理想流体动量传输方程欧拉方程,x方向应用牛顿第二定律：,（1）压力,（2）质量力,fxdxdydz,（3）流体加速度,3.3理想流体动量传输方程欧拉方程,欧拉方程,适用范围可压缩、不可压缩流体，稳定流、非稳定流。,3.3理想流体动量传输方程欧拉方程,化简后得,同理可得Y、Z方向的受力平衡式，综合可得：,代入式（3.38）得：,3.3理想流体动量传输方程欧拉方程,方程（3-31）中：一般情况下fx、fy、fz是已知的，对不可压缩流体=常数。4个变量ux，uy，uz，P，三个动量方程，加上连续性方程就可求解流体流动问题。,3.3理想流体动量传输方程欧拉方程,欧拉平衡方程,欧拉方程,平衡状态下,一个空间力总可以分解成沿直角坐标三个坐标轴的力。在微元体任何一个表面上，总应力总可以按照坐标方向将其分解为一个正应力p和两个切应力,的含义：,脚标含义：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。,法向为x轴正方向的作用面上的应力在y方向的分量。（切应力）,法向为x轴正方向的作用面上的应力在x方向的分量。（法应力）,应力分量下标意义,微元体受力分析：,垂直于x轴的两个平面,左侧面,右侧面,角标1-应力作用面的外法线方向,角标2-应力的作用方向,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,微元体受力分析（续）：,垂直于y轴的两个平面,后面,前面,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,微元体受力分析（续）：,垂直于z轴的两个平面,底面,顶面,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,微元体受力分析（续）：,综上所述，实际流体受力如下图所示,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,微元体x方向受力分析：,N-S方程推导：,微元体边长dx、dy、dz、,法向力,切向力,体积力：同理想流体，x方向分量fxdxdydz,惯性力：ma(x方向),将上述各力代入x方向的动量平衡方程max=F，有,（体积力）,（正应力）,（切应力）,（惯性力）,两边同除以dxdydz:,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,广义牛顿内摩擦定律,牛顿内摩擦定律,推广,各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系,广义牛顿内摩擦定律,为了将方程中的力转换为速度，可根据广义牛顿粘性定律,将以上两式代入式（3.42），可得：,对于不可压缩流体=常数，根据连续性方程，上式最后一项为0：,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,上式两边同除以，,（3.46）式与（3.38）式类似，只是多了切应力项。,同理可得y、z方向方程。,应用拉普拉斯算子，可将式（3.46）改写为：,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,（3.47）式即实际流体的动量守恒方程,物理意义：质量加速度=压力+粘滞力+质量力（或重力）,对无粘性流体0，则（3.47）式变为（3.38）、（3.39）式。,纳维尔斯托克斯方程（NS方程）,3.4实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程,伯努利方程流体能量守恒方程在一定条件下的积分形式,表述运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。,1、对欧拉方程的积分条件：,3.5.1理想流体沿流线的伯努利方程,（1）质量力定常有势；,（2）不可压缩流体（=常数）；,（3）稳定流动。,2、稳定流动时的流线方程,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,已知欧拉方程,3、伯努利方程推导,分别在上式等号两端乘以dx，dy，dz，再相加可得,如前述，质量力定常有势，所以（3.48）式等号左边前三项为：,=,(3.48),3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,如前述，因为稳定流时p=p(x,y,z),所以（3.48）式等号左边第四项为：,对于（3.48）式等号右边的三项，根据前述的流线方程,可以得到,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,综合以上结果，（3.48）式可以重新改写为,对上式沿流线积分，得,伯努利积分,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,对于重力场：fx=0fy=0fz=-g,代入式（3.51）得：,两边同除以g：,对同一流线上任意两点1和2有：,从而有：,积分后得：,伯努利方程,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,式（3.55）即是只有重力作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程。,H-总水头;,1、理想流体的几何意义,伯努利方程的几何意义、物理意义,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,该式表明：沿流线压力越低，速度越高,伯努利方程的应用,（1）香蕉球,伯努利方程的应用,（2）飞机起飞,F,伯努利方程的应用,（3）浮动的球,式中Hw-阻力功，即由于粘性而产生的切向力（阻力）所作的功,式中Hw2Hw1点1到点2过程中内摩擦力作功的增量。,式中，,进一步可将上式改写为,或,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,2、实际流体的几何意义,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,3.5.3实际流体总流的伯努利方程,通过一个流道的流体的总流量是由许多流束组成的，整个流道内总流的伯努利方程即是在总流道截面内积分。,前面讲述的是对于流束的伯努利方程。,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的，其有效截面为有限值的总流流动。,1）缓变流与急变流,流场内流线间的夹角很小、流线曲率半径很大的近乎平行直线的流动称为缓变流，不符合上述条件的流动称为急变流,3.5.3粘性流体总流的伯努利方程,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,2）流线的主法线方向上压强分布,在缓变流段的同一有效截面上，压强分布与静压强分布规律一样。即满足,设1.2为任意两个缓变流有效截面，沿微元流束有,3）总流伯努利方程推导,两端乘，积分,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,以通除上式各项得,因为有效截面1和有效截面2处的流动都是缓变流动,故,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,令为动能修正系数，为平均速度，取,动能修正系数，工程上圆管紊流取1，层流取2,1和2之间的平均单位重量流体的总能量损失,总流的伯努利方程表达式为,总流的伯努利方程应用于不可压缩粘性流体的任意两缓变流截面,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,用平均参量表示结果为：,式中,hW通过流道截面1与2之间的距离时，单位质量流体的平均能量损失;1，2动能修正系数，一般=1.05-1.10。,伯努利方程与连续性方程和后面要讲的动量方程一起，可解许多工程问题。,实际流体经流道流动的伯努利方程,3.5理想流体和实际流体的伯努利方程,1,1,2,2,假设从1流向2，沿程损失为hf。对1-1和2-2分别列伯努利方程，其中速度不变，因为流量及截面积均不变：,一、应用条件,（1)流体运动必须是恒定流；,（2)两有效断面符合缓变流条件,（3)沿程流量不变。如有分支，按总流量守恒列出；,（4)两有效断面间没有能量输入输出。如有应加上，如（3.66）式,（5)不可压缩流体运动。,3.6伯努利方程的应用,连续性方程,能量方程（忽略损失）,例文丘里流量计,3.6伯努利方程的应用,仪器常数K,流量系数（0.960.98）,注意：水（）-水银（）气（）-液（）,3.6伯努利方程的应用,截面1-1处,毕托管端处,毕托管,解：列出管道来流截面1-1和毕托管端处的伯努利方程式，由于流线水平、标高相同，且流体为不可压缩，则方程形式如下：,(管端处，u2=0),3.6伯努利方程的应用,3.6.2毕托管,解：将第一个断面选在钢液上表面（自由表面），可以利用z=0及v10使方程简化。,列出断面1和断面2处的伯努利方程，根据式(3.55):,有,例3-3求钢包出口处的金属液流速,解得:,断面1,断面2,第二个断面的选取要包含待求量。,3.6伯努利方程的应用,例3.5某工厂自高位水池引出一条供水管路AB,如图3.19所示。已知流量Q=0.034m3/s；管径D=15cm;压力表读数pb=4.9N/cm2;高度H=20m.问水流在管路AB中损失了若干水头？,解：选取水平基准面0-0，过水断面1-1、2-2，如图所示。,列出1-1和2-2处的伯努利方程：,取：,3.6伯努利方程的应用,将以上各数值代入伯努利方程，即可求得hw,3.6贝努利方程的应用,37恒定总流的动量方程,牛顿第二运动定律阐明了流体运动变化与所受外力之间的关系，是研究流体流动、建立流体运动方程所依据的最基本的理论。,一.恒定总流的动量方程,单位时间里通过总流过水断面的动量动量通量,37恒定总流的动量方程,控制体：上游过水断面A1和下游过水断面A2之间的总流管,A1,A2,一.恒定总流的动量方程,u1,u2,单位时间里通过总流过水断面的动量动量通量,37恒定总流的动量方程,一.恒定总流的动量方程,A,A,u,d,u,r,控制体：对于流场中所取的固定不变的任何空间区域。特点：1、控制体及其边界相对于坐标系和时间是不变的；2、控制面上可以有质量交换，即流入和流出；3、在控制面上，受到控制体以外物体加给控制体的力。例如固体和外部流体对控制体内部流体的作用力,t瞬时质点系的初动量(位置控制体包含）：,设t瞬时控制体V内任意位置上的质点速度为v，密度为,虚线表示控制体,经过t时间，质点系统运动到实线所示位置，这个质点系统在t+t瞬时的末动量可以用下面三部分动量相加减表示出来。,t+t瞬时质点系动量,t+t瞬时质点系动量（位置控制体包含）：,()部分非原质点系统的流入动量,()部分原质点系统的流出动量,虚线表示控制体,-,+,根据动量方程：,即：,控制体内质点系上的所有外力矢量和；,控制体内流体动量对时间的变化率；对于定常流动，为0,单位时间内通过所有控制面的动量代数和（流出与流入之差）,对于定常不可压缩流体流动得：,u1,u2,u2,把渐变流过水断面上动量通量的表达一维化。断面上各点u的方向一致。,用断面平均流速v代替u，定义v的大小为v，方向为u的方向，用v代替u，设,大于1.0的数，其大小取决于断面上的流速分布。在一般的渐变流中的值为1.02-1.05.为简单起见，也常采用=1.0,动量修正系数,*,*,上游水流作用于断面A1上的动水压力P1，下游水流作用于断面A2上的动水压力P2，重力G和总流侧壁边界对这段水流的总作用力R。其中只有重力是质量力，其它都是表面力。,一维化的恒定总流动量方程,或,*,水流对侧壁的作用力R是R的反作用力,恒定总流动量方程建立了流出与流进控制体的动量流量之差