化实二次型为标准形.2课件

线性代数,第六章实二次型,山西财经大学冯晨娇,6.2化实二次型为标准形,定义1,复习1.,含有n个变量,的二次齐次,多项式：,称为n元二次型，,简称为二次型。,复习2.线性替换,定义关系式,称为由变量,到,的线性,变换或线性替换。,记,称n阶矩阵C为线性变换矩阵.,则线性变换的等价矩阵形式为：,(1)当C可逆时，称该线性变换为可逆线性变换,或非退化的线性替换；,(2)当C为正交矩阵时，称该线性变换为正交线,性替换。,可见：,为对称矩阵；,是关于变量,的二次型，其矩阵为,【线性变换将二次型化为二次型】,只要,为对角矩阵，,就为二次型的标准型，,一般称其为原二次型,的标准型。即,6.2.1正交替换化二次型为标准形,因,二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数等于该二次型的秩.,上章讲过：实对称矩阵一定能够对角化；一定存在正交矩阵P，使P-1AP=L。于是有：,定理2任给实二次型,总有正交变换XPY，使,证明,设实二次型的矩阵为实对称矩阵A，,则且存在正交矩阵P，使,作正交线性变换XPY，则,只有正交变换化的标准形的系数为二次型矩阵,A的特征值，别的可逆线性替换没有此性质。,用正交变换化二次型为标准形的步骤：,(1)写出二次型的矩阵A;,(2)求出A的所有特征值,(3)求出对应于各个特征值的线性无关的特征,向量：,(4)分别将单根的特征向量单位化,重根的特征,向量正交化，得,(5)令,作正交变换XPY，,则得f的标准形：,例1,将二次型,通过正交变换,化成标准形.,解,由,二次型矩阵:,对于,得基础解系：,，解相应的齐次线性方程组，,得A的特征值,对于,得基础解系,单位化，得,正交化，得,单位化，得,，解相应的齐次线性方程组,单位化，得:,作正交矩阵:,作正交变换为,得二次型得标准形:,例2,用正交替换化二次型,得的标准形为:,【A的全部特征值为：,】,当不需要写出正交变换时，可由特征值写出标准形。,此二次型也可以配方化为标准形：,只有正交变换化的标准形的系数为二次型矩阵A的特征值；,二次型矩阵的标准形不唯一。,配方法化二次型为标准型更方便适用。,6.2.2配方法化二次型为标准形,若二次型,经可逆线性,变换,X=CY,化为只含平方项的形式，即,则称之为二次型,的标准形.,用配方法化二次型为标准形：,例如，,用配方法将二次型,化为标准形：,可逆线性变换为：,就是用通常的配方法将二次型化为标准形。,要用到的公式有：,对一般的二次型,配方法可证得下列结论。,利用拉格朗日,定理1任意二次型都可以通过可逆性变换化为,标准形。,证明(略),定理1的证明方法就是配方的方法；,由配方法所作的线性替换是一种可逆线性变换，,一般分为两种类型：,(1)若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方.再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形;,(2)若二次型中不含平方项,但,则先作可逆变换,化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.,解,令,即,例3化二次型,为标准形,并写出所作的可逆变换与变换矩阵.,含x1的项放在一起,【含有x1的平方项】,配方,含x2的项放在一起配方,令,即,其线性变换矩阵的行列式,所以，线性变换为可逆的，二次型的标准形为,例4,化二次型,并写出所用的可逆线性变换.,解,由于所给二次型中无平方项,所以,令,即,为标准形,代入原二次型得,再配方得,令,即,令,代入得标准形,所用线性变换矩阵为,即,所用可逆线性变换为,一般，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆线性变换，把二次型化成标准形。但一定要注意灵活应用，如：,令,即,得标准形：,下面二次型如何化成标准形？,令,即,变换可逆，标准形为：,1.二次型的标准形概念;2化二次型为标准形的方法；3.二次型