18.2 勾股定理的逆定理.ppt

18.2勾股定理的逆定理,地调学校数学教研组,命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。,一、预习与反馈,方法回顾：,1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形A：3、4、3；B：3、4、5；C：3、4、6；D：6、8、10,2.测量：用量角器测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：A：_B：_C：_D:_,3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.A：_B：_C：_D_,4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系.A：_B：_C：_D：_,5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？你的猜想是_.,二、新课精讲,命题2（猜想）：三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,已知：,ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2,求证：,ABC是直角三角形,证明：作,在ABC和,ABC,C=,已知：如图,在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且求证：C=90,使,则有,中，,=90,=90,C=900,AB2=a2+b2,a2+b2=c2,AB2=c2,AB=c,边长取正值,ABCABC（SSS）,C=C(全等三角形对应角相等）,C=900,已知:在ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2,求证:ABC是直角三角形,证明:画一个ABC,使C=900,BC=a,CA=b,在ABC和ABC中,ABC是直角三角形（直角三角形的定义）,勾股定理的逆命题,勾股定理的逆定理,勾股定理,互逆命题,互逆定理,如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2,（逆定理）,a2+b2=c2,题设,结论,直角三角形,直角三角形,a2+b2=c2,勾股定理,勾股定理的逆定理,互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.,互逆命题互逆定理,例1判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15,解:（1）,1、请指出下列命题的逆命题，（课本75页）,、判断下列是不是直角三角形？,(3)a=15b=20c=25,(2)a=13b=14c=15,(4)a:b:c=3:4:5,是,否,是,是,(1)a=1b=2c=,(1)两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(4)全等三角形的对应角相等,逆命题:内错角相等，两条直线平行.成立,逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立,逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不成立,逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立,感悟:原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立.一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.,例2：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,例3.在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉(如图那样)钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由.,解:这个三角形是直角三角形.理由:设两个结的距离为a,则三边分别为3a,4a,5a.,通过本课时的学习，需要我们1、了解勾股定理的逆定理，并理解其证明方法.2、会利用勾股定理的逆定理，判定直角三角形.3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.,直角三角形,三边关系,勾股定理,勾股定理逆定理,2.,3.,【解析】选C.（a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0,即(a-5)2+|b-12|+(c-13)2=0.a=5,b=12,c=13.又52+122=132,即a2+b2=c2.ABC是以c为斜边的直角三角形.,5.三角形三边长为a、b、c，若(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0，则ABC是（）（A）以a为斜边的直角三角形;（B）以b为斜边的直角三角形（C）以c为斜边的直角三角形;（D）不是直角三角形,4.,6.,【解析】在ABD中，由于BD2+AD2=AB2，ABD是直角三角形，ADBC，由于AC=15,AD=12,在RtADC中，,7.已知：如图，在ABC中，D为边BC上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5.求ABC的面积.,SABC=BCAD=(BD+DC)AD=(5+9)12=84.,1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可能是()3:4:7;B.5:12:13;C.1:2:4;D.1:3:5.,将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形()是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形,B,A,三、反馈练习,三角形的三边分别是a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是:()A.直角三角形B.锐角三角形钝角三角形D.等腰直角三角形,已知ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_三角形,_是最大角.,以ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是_三角形.,A,直角,直角,A,6、观察下列表格：,请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=_，c=_.,84,85,7、如果ABC的三边分别为a、b、c且满足a2b2c2506a8b10c，判定ABC的形状.,直角三角形,四、小结测试,五、作业,利用勾股定理求解几何体的最短路线长,例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,B,A,5,3,1,5,12,一、台阶中的最值问题,AB2=AC2+BC2=169,AB=13.,二、圆柱(锥)中的最值问题,例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？,A,B,分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图),三、正方体中的最值问题,例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）5（C）2（D）1,分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.,C,例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？,分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.,四、长方体中的最值问题,例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？,分析根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图),由勾股定理可求得图1中AB最短.,小结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。,例1、已知ABC三条边长分别为a,b,c,且am2n2，b2mn，cm2n2(mn，m,n是正整数)。ABC是直角三角形吗？请说明理由.,解：a=m2n2，b=2mn，cm2n2,a2+b2=(m2n2)2+(2mn)2,m42m2n2n44m2n2,(m2n2)2,m42m2n2n4,c2,ABC是直角三角形,拓展与应用,1、已知ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系：2b(c+2b)+(2c+a)(2c-a)=3(b+c)2-4bc,试判断ABC的形状，并说明理由.,2、已知ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系：(a+b)2+c2=3ab+c(a+b),试判断ABC的形状，并说明理由.,B,A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形,1若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。,2若ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断ABC的形状,6.在RtABC中,C=90,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=;,7.三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为三角形.,例4:矩形ABCD如图折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求折痕AE的长.,解设DE=x,则EF=x,CE=8-x,在RtABF中,BF=6,CF=4,在RtCEF中,x=5,在RtADE中,AE=,例5：三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积,A,B,C,D,D,C,A,D1,E,13,5,12,5,12-x,5,x,x,8,3如果ABC的三边长分别为a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数）则ABC是直角三角形吗？,解：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数）,a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2,=m4-2m2n