第三章 导数及其应用.ppt

文科数学,2009名师面对面系列丛书,(一轮总复习),广州博研图书发展有限公司制作,严禁转载违者必究,第三章导数及其应用,知识框架,考试要求,3.3生活中的优化问题,3.1导数的概念及其计算,3.2导数在研究函数中的应用,知识框架,平均速度,瞬时速度,平均变化率,瞬时变化率,割线斜率,切线斜率,导数,基本初等函数导数公式导数运算法则,导数与函数单调性的关系导数与(最)值的关系,导数的实际应用,考试要求,（1）导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义.（2）导数的运算能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；会使用导数公式表.（3）导数在研究函数中的应用了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.（4）生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题，,3.1导数的概念及其计算,知识要点,1.平均变化率设函数y=f(x)，那么式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,简记为2.导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y|x=x0即f(x0)=当x=x0也变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数),y=f(x)=,3.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).4.导数计算公式及求导法则（请学生自主学习）写出下列函数导数或运算法则（1）f(x)=c(c为常数)；答:f(x)=0（2）f(x)=xn（nQ）；答:f(x)=nxn-1（3）f(x)=sinx；答:f(x)=cosx（4）f(x)=cosx;答:f(x)=-sinx（5）f(x)=ax;答:f(x)=axlna（6）f(x)=ex;答:f(x)=ex（7）f(x)=logax；答:f(x)=（8）f(x)=lnx；答:f(x)=,（9）y=f(x)g(x)；答:y=f(x)g(x)（10）y=f(x)g(x)；答:y=f(x)g(x)+f(x)g(x)（11）y=(g(x)0);答:y=,例题剖析,例1过曲线y=x3-3x上的一点P的切线平行于x轴,则点P的坐标是()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(1,2)或(-1,-2)D.(-1,2)或(1,-2),答案D,解析y=3x2-3,设P（x0,y0）,则y|x=x0=3x0-3=0x0=1当x0=1时,y0=-2,当x0=-1时y0=2P(1,-2)或P(-1,2),例2求下列函数的导数,解析=x4-4x2+3(2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3)=(12x10-7x8-12x6)=120 x9-56x7-72x5,点评求函数的导数可以利用导数公式和运算法则.,例3用导数的定义求曲线在x=1处的切线方程.,点评在某一点切线的斜率就是该点对应的导数.,根据定义求导数的方法为：求函数的增量y=f(x+x)-f(x);求平均变化率求极限,延伸拓展1,已知曲线上一点P(1,2),用导数定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.,例4日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.（1）90%；（2）98%,解析净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.,答:（1）纯净度为90%时,费用的瞬时变化率为52.84元/吨；（2）纯净度为98%时,费用的瞬时变化率为1321元/吨.,点评函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由（1）（2）计算可知C(98)=25C(90)，这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.,例5已知二次函数f(x)满足：在x=1时有导数为0；图象过点（0,-3）；在该点处的切线与直线2x+y=0平行,（1）求f(x)的解析式；（2）求过点（1，-4）的切线方程.,解析（1）设f(x)=ax2+bx+c,则f(x)=2ax+b,（2）f(x)=2x-2,则切线的斜率k=f(1)=0,所以切线方程为y=-4.,延伸拓展2,已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处导数值为0（1）求f(x)的解析式；（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.,解析（1）f(x)=3ax2+2bx-3.依题意f(1)=f(-1)=0（2）令f(x)=0,得x=1,点A(0,16)不在曲线y=x3-3x上设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足：y0=x30-3x0f(x0)=3x20-3,切线方程为y-y0=3(x20-1)(x-x0)又点A(0,16)在切线上,16-（x30-3x0）=3(x20-1)(-x0)解得x0=-2,切点为M(-2,-2)切线方程为9x-y+16=0,3.2导数在研究函数中的应用,知识要点,1.单调性在某个区间(a,b)内,如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.注意：可导函数在极值点处的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y=x3在x=0处导数为零，但x=0不是极值点.,3.最值求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较，函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较；函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值;如果连续函数在区间（a、b）内只有一个极值，则极大（小）值即是a、b上的最大（小）值.,例题剖析,例1函数f(x)的定义域为开区间（a、b）,导函数f(x)在(a、b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间（a、b）内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个,答案A,解析f(x)0时，f(x)单调递增；f(x)0由图象可知只有1个极小值点.,例2求函数y=x2-2lnx的单调区间.,解析首先注意定义域x0，,点评求单调区间可用求导方法，但一定要注意定义域.,例3已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调区间.,解析f(x)=3x2-6ax+2b,f(x)在x=1处有极小值-1，,点评函数f(x)在x=x0处有极值，必有f(x0)=0,反之若f(x0)=0，则x0不一定是极值点.回答单调区间时不能把(-,-)、(1,+)写成(-,-)(1,+).,延伸拓展1,已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f(x)的图象经过点（1,0）,（2,0）,如图所示，求：（1）x0的值；（2）a,b,c的值.,解析（1）由图象可知在（-,1）上f(x)0，在（1，2）上f(x)0.故f(x)在(-,1),(2,+)上递增，在（1，2）上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值5，所以x0=1.（2）f(x)=3ax2+2bx+c由f(1)=0,f(2)=0,f(1)=5,解得a=2,b=-9,c=12.,点评本题是一道识图题与文字理解相结合题目，需要从图形中提取信息，并且要注意极大值点的意义.,例4（07年全国卷）设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.（1）求a、b的值；（2）若对任意的x0,3都有f(x)c2成立,求c的取值范围.,解析（1）f(x)=6x2+6ax+3bf(x)在x=1及x=2时取得极值.有f(1)=0,f(2)=0（2）由（1）可知f(x)=2x3-9x2+12x+8c在0,3上,f(0)=8c,f(1)=5+8cf(2)=4+8c,f(3)=9+8c所以x0,3时，f(x)的最大值为9+8cf(x)c2恒成立，9+8cc2，解得c-1或c9因此c的取值范围为(-,-1)(9,+),点评在极值点x0处必有f(x0)=0，从而可列a、b的方程组，求a、b的值；在闭区间上f(x)c2恒成立.关键在于求出f(x)的最大值，令最大值c2，求c的范围.连续函数在闭区间上的最值，只须找出区间内的极值点，然后比较在极值点、区间端点处的函数值的大小即可.,延伸拓展2,（2007江门一模）已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,cR)，（1）若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，试求a、b的值；（2）在（1）的条件下，当x-2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围.,解析（1）f(x)在x=-1和x=3时取得极值。-1、3是方程f(x)=3x2-2ax+b=0的两根,（2）f(x)=x3-3x2-9x+c,f(x)=3x2-6x-9，当x变化时，有下表而f(-2)=c-2,f(6)=c+54;x-2,6时f(x)的最大值为c+54f(x)2|c|恒成立，而且仅当c+54|c|恒成立当c0时，c+542c，解得c54当c0时，c+54-2c，解得c-18c的取值范围是(-,-18)(54,+),例5已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).（1）求导数f(x);（2）若f(-1)=0，求f(x)在-2，2上的最大值和最小值；（3）若f(x)在（-,-2和2,+）上都是递增的，求a的取值范围.,解析（1）f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4,（2）由f(-1)=0，得a=，此时f(x)=(x2-4)(x-)，f(x)=3x2-x-4,由f(x)=0,得x=或x=-1,又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在-2,2上的最大值为,最小值为-；,（3）f(x)=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点（0,-4）的抛物线.因为f(x)在(-,-2和2,+)上都是递增的,所以x-2时,f(x)0恒成立，x2时f(x)0恒成立.所以可得f(-2)0且f(2)0,点评连续函数在闭区间上的最值，只须找出区间内的极值点，然后比较极值点，区间端点处的函数值的大小即可.由单调性确定参数的范围，注意：若f(x)在(a,b)内为增（减）函数，则x(a,b)时，f(x)0（0)令S=4R-=0,得R=是唯一的极值点，所以当R=时，S最小.,例2某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨.,解析每年购买次数为次,设总费用y,则y=4+4x=4(+x)(x0)法1（用求导法）y=4(-+1)令y=0得x=20020时，y0.x=20是函数y在(0,+)内唯一的极小值，当x=20时y最小法2（用基本不等式法）x0,当且仅当=x,即x=20时,上述不等式取等号y有最小值160.,点评实际问题的求解，首先要建立函数模型，然后根据导数或不等式等方法，解决最值问题.,例3在半径为R的圆上取一个圆心角为（弧度）的扇形卷成圆锥，问为多大时，圆锥的体积最大？,解析设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则h2=R2-r2且2r=R，,点评本题涉及到的量有、r、h、V，关键是把V表示成其中一个量的函数，然后利用导数求解.对文科考生可以转化为V2的导数.,延伸拓展1,如图,有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S.（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值.,解析依题意，以AB为中点O为原点建立直角坐标系O-xy(如.图)，则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程,因为当0x时,f(x)0;当xr时，f(x)0，所以(r)是f(x)的最大值，因此,当x=r时，S也取得最大值,最大值为即梯形面积S的最大值为,例4统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升）关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可表示为：已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为多少升？,解析（1）当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗油(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=x+8),当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取极小值h(80)11.25h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.,答案80千米/小时,11.25升,点评本题是根据经验公式建立耗油量的函数模型，然后利用导数求最小值，要求学生具有函数、导数及其应用等基本知识和运用数学知识分