二轮复习案例设计--导数及其应用.ppt

导数及其应用,罗田一中王建林,二轮复习案例设计,1.导数的概念(1)(2)(3)f(x0)与f(x)的关系.2.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=f(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,(3)导数的物理意义：s(t)=v(t),v(t)=a(t).3.基本初等函数的导数公式和运算法则（1）基本初等函数的导数公式,（2）导数的四则运算法则u(x)v(x)=u(x)v(x).u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x).(3)复合函数求导复合函数y=f(g(x)的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx=f(u)g(x).4.函数的性质与导数（1）在区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递增.在区间（a,b）内，如果f(x)0解得x,由f(x)0,解得-0时，由f(x)=0得x=.当x(-,-)时,f(x)0,函数f(x)单调递增；当x(-,)时，f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.,综上所述，当a0时，f(x)的增区间是(-,),(,+)，减区间是（-,）.当a0时，x=-是极大值点x=是极小值点.,三、利用导数研究函数的极值和最值例3已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内的极值.思维启迪（1）根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m，n的方程，求出m、n的值.（2）分类讨论.解(1)由函数f(x)的图象过点（-1，-6），得m-n=-3.,由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以所以m=-3.代入得n=0.于是f(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f(x)0得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是(-,0),（2，+);由f(x)0,得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.（2）由（1）得f(x)=3x(x-2),令f(x)=0得x=0或x=2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1，a+1）内有极大值f(0)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1，a+1）内无极值;当1a3时，f(x)在（a-1，a+1）内有极小值f(2)=-6,无极大值；当a3时，f(x)在（a-1,a+1)内无极值.综上得,当0a1时，f(x)有极大值-2，无极小值；,当1a3时，f(x)有极小值-6,无极大值；当a=1或a3时，f(x)无极值.探究拓展（1）求单调递增区间，转化为求不等式f(x)0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增f(x)0在M上恒成立，注意区别.（2）研究函数的单调性后可画出示意图.讨论区间与0，2的位置关系，画图截取观察即可.,变式训练3（2009广州模拟）函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1.（1）若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下,求y=f(x)在-3，1上的最大值；（3）若函数y=f(x)在区间-2，1上单调递增，求实数b的取值范围.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f(x)=3x2+2ax+b.过y=f(x)上点P（1，f(1)）的切线方程为y-f(1)=f(1)(x-1),即,y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).而过y=f(x)上点P（1,f(1)）的切线方程为y=3x+1.故即y=f(x)在x=-2时有极值，故f(-2)=0.-4a+b=-12.由联立解得a=2,b=-4,c=5,f(x)=x3+2x2-4x+5.(2)f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f(x)=0，解得,3+2a+b=3,-a+c-2=1,2a+b=0,c-a=3.,列下表：f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为又f(-3)=8,f(1)=4,f(x)在-3，1上的最大值为13.（3）y=f(x)在-2,1上单调递增.又f(x)=3x2+2ax+b.由（1）知2a+b=0.f(x)=3x2-bx+b.,依题意在-2,1上恒有f(x)0,即3x2-bx+b0在-2，1上恒成立，当时,即b6时f(x)min=f(1)=3-b+b0，b6时符合要求当时，即b-12时，f(x)min=f(-2)=12+2b+b0,b不存在.当即-125B.t5C.t5D.t5解析f(x)在（-1，1）上是增函数，f(x)=-3x2+2x+t,在（-1，1）上f(x)0.t3x2-2x.设函数g(x)=3x2-2x，由于g(x)的图象是对称轴为开口向上的抛物线，,故要使t3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立tg(-1)，即t5.故t的取值范围是t5.故选C.答案C2.（2009天津理,4）设函数则方程f(x)=0（）A.在区间(1,e)内均有实根B.在区间(1,e)内均无实根C.在区间内有实根，在区间(1,e)内无实根D.在区间内无实根,在区间(1,e)内有实根,解析因为令f(x)=0，则x=3当x(0,3)时，f(x)0或a-1时，在x=a处取得极小值，当-1a0时，在x=a处取得极大值,故a(-1,0).,C,4.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0，即当x0时，F（x）是增函数.又g（-3）=0，F（x）的图象大体如图所示,F（x）2或a2或a0(x0).这时f(x)在（-,0）,(0,+)内是增函数.当a0时，令f(x)=0，解得x=.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在（-,）,(,+)内是增函数，在（-,0）,(0,)内是减函数.综上所述，当a0时,f(x)在（-,0）,（0,+）内是增函数当a0时，f(x)在（-,-），（,+）内是增函数，在（-,0），(0,)内是减函数.（3）由（2）知，f（x）在的最大值为与f(1)中的较大者，对于任意的不等式f(x)10在上恒成立，当且仅当,对任意的成立.从而得所以，满足条件的b的取值范围是,10.(2009启东模拟)已知函数(aR).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，求a、b的值；（2）若函数f(x)在（1，+）上为增函数，求a的取值范围；（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.解(1)因为所以又因为f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，所以所以,(2)若函数f(x)在（1，+）上为增函数，则在（1，+）上恒成立，即ax2在（1，+）上恒成立.所以a1.（3）当a=0时，f(x)在定义域（0，+）上恒大于0，此时方程无解；当a0时，,因为当x(0,)时，f(x)0，f(x)在,+）内为增函数.所以当x=时，f(x)有极小值，即为最小值当a(0,e)时，