第二章CAD建模理论基础.ppt

07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,内容简介：,涉及到几何造型基础知识、自由曲线与曲面理论基础、图形变换与投影变换等。,本章主要从计算机图形学的角度，对CAD模型（图形和形体）生成的原理做一个简单介绍。,07.06.2020,学习目的与要求：,了解计算机几何造型的基础知识；,第2章CAD建模的理论基础,掌握常见自由曲线，如Hermite、Bezier、B-spline曲线的构成、特点、性质等；,掌握图形和形体的几何变换与投影变换。,了解常见自由曲面的构成原理；,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,重点：,几何造型原理、自由曲线与曲面设计基础、模型的几何变换与投影变换。,难点：,自由曲线与曲面，模型变换原理。,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,研究CAD建模基础理论的必要性,熟悉和了解用计算机生成图形和形体的技术；,CAD技术研究的基本内容之一；,在较深的层次上理解CAD技术的内涵；,社会发展对我们专业人员的客观要求。,为进一步深入研究CAD技术打下基础；,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,研究用计算机生成、处理、存取、输出三维空间形体的理论和技术称为计算机几何造型,定义：,用以完成几何造型功能的计算机软件系统称为几何造型系统,请思考：点、线、面、体在计算机内是如何生成的？,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,形体的形状特征、尺寸、位置等；,表达三维几何形体需要2个最基本的信息：,形体几何元素相互之间的连接关系。,几何信息,拓扑信息,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,最基本的几何元素,在计算机中定义三维几何形体，采用的是从简单几何元素开始到完整形体描述的层次结构，依次为点、边、面、环、外壳、体。,点,边,两个相邻表面的交集，分为直线边和曲线边；,直线边由2个端点确定，曲线边则由一系列控制点来确定。,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,是形体上一个有界、有向的区域；一般由一个外环和若干个内环来界定其范围；一个面可以没有内环，但必须有且只有一个外环；面具有方向性：外法矢方向为正，反之则为负。,面,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,有序、有向边界组成的封闭边界；环分为外环和内环；外环：确定面的最大外边界的环称为外环，按逆时针排序；内环：外环内部的封闭边界称为内环；方向按顺时针（与外环相反）；,环,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,由封闭表面围成的空间；分为正则形体和非正则形体两种；1、正则形体：形体上任一点的足够小的邻域在拓扑上是一个等价的封闭圆（单连通域）。形象的说，正则实体是由其内部的点集及紧紧包着这些点的表皮组成的。2、非正则形体：不满足上述条件。,体,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,连通性：位于实体表面上的任意两个点都可由实体表面上的一条路径连接起来；,一个实体的表面必须具有的性质,有界性：实体表面可将空间分为互不连通的两部分，其中一部分是有界的；,非自相交性：实体的表面不能自相交；,可定向性：表面的两侧可明确定义出属于实体的内侧或者外侧；,闭合性：表面由表面上多边形网格各元素的拓扑所决定。,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,1.三维几何造型的基本元素,刚性：一个有效的实体必须具有不变的形状，即形状与实体的位置和方向无关；,一个有效的实体应具有的性质,维数一致性：在三维空间中，一个实体的各部分均应是三维的；,有限性：一个实体必须占有有限的空间；,边界的确定性：根据实体的边界能够确定实体的内部和外部；,封闭性：经过一系列刚体运动及任意系列的集合运算之后，仍然保持有效的实体。,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,2.三维形体的几何模型,线框模型（wireframemodel）,按模型包含信息的完整性，分为,表面模型(surfacemodel),实体模型(solidmodel),07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,2.三维形体的几何模型,定义：用多边形线框来描述三维形体的轮廓得到的模型称为；,线框模型,数据结构：顶点表边表；,优点：简单，仅需要端点信息；,缺点：信息不完整，有二义性，不能用于NC加工。,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,2.三维形体的几何模型,定义：用有序连接的棱边围成的有限区域来定义立体的表面，再由表面的集合来定义立体所得到的三维模型，称为表面模型；,表面模型,数据结构：顶点表边表面表；,优点：信息更完整，可准确定义形体，可用于NC加工；,缺点：不能描述内部及特征，很多分析不能进行,07.06.2020,第1节计算机几何造型基础知识,第2章CAD建模的理论基础,2.三维形体的几何模型,确定了表面的方向性；,实体模型,可定义材料的物理性能等；,是几何和拓扑意义上信息最为完备的模型；,一般实体模型均定义为正则实体。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,多边形表面表示；,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,平面方程表示；,多边形网格表示；,扫描表示（Sweep）；,翼边结构表示法；,八叉树（四叉树）表示法；,结构实体几何(CSG),07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,多边形表面表示,最为普遍的一种表示方式；,用多边形来表示平面形体；,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,如果遇到曲面，则只能采用网格划分，无限逼近、近似的方法；,原理：存储顶点表、边表、面表来实现。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,平面方程表示,给出3个点，即可求出A、B、C、D。从而定出平面的法向向量，以确定平面；,如何求？思考；,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,并可判断出某点(x,y,z)是否在平面上？外部还是内部？,解析几何；,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,多边形网格表示,三维形体认为是由三角形或者四边形网格拼接组成。,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,三角形网格：n个顶点用n2个三角形来表示；,四边形网格：n行m列个顶点，有（n-1）*（m-1）个网格。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,扫掠表示(Sweep),包括拉伸和旋转；,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,拉伸：平面图形沿着指定曲线扫掠；,旋转：平面图形围绕确定轴线进行旋转；,想想上述拉伸和旋转如何实现？,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,八叉树表示法,将三维空间区域分为8个卦限，然后剖分立方体，形成层次树状结构，最后用无数个微小平行六面体来表示，每个形体包含8个数据元素，提取每个节点（顶点）的数据，来表示三维形体。,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,翼边结构表示法,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,最早由美国StanfordUniversity的学者提出。,将几何信息和拓扑信息（位置）结合起来考虑；,设计一种数据结构，记录并处理三维形体的几何信息与拓扑信息，来表示；,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,结构实体几何表示法(CSG),ConstructiveSolidGeometry,第1节计算机几何造型基础知识,3.三维几何模型的表示方法,将三维实体视为基本体素如圆柱、圆锥、球体等以及它们之间的交、并、差等布尔（boolean）操作组成。,参看教材图214,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,几个名词,型值点：用来定义曲线的互不关联的离散点；,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,曲线的拟合：由一系列给定的型值点构造曲线的方法；,曲线拟合的方法：分段拟合、然后将各段光滑地连接；,曲线的插值：通过给定型值点来求出曲线上其他点的方法。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次参数样条曲线,三次样条曲线的力学背景：弹性细梁在集中荷载作用下的变形曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,参数曲线的优点：控制性能好；便于用矢量和矩阵表示；曲线的形状仅与定义它的特征矢量的位置有关，而与坐标系无关（曲线表示的几何不变性)。形状数学描述的标准形式（Ferguson,1964）,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次参数样条曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次参数样条曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,(2-2),07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次参数样条曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,中,有,令,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次参数样条曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,即有：,写成矩阵形式：,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次参数样条曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,不妨令：,则：,称,为调和函数,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,如果已知分段曲线的两个端点及端点的切向量，就可根据Qi(t)画出各分段曲线。若画出整条曲线，则需要已知P1Pn的全部切向量值。,如何确定P1Pn的全部切向量值,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,(2)切矢连续方程为保证各分段曲线在各连线点处二阶连续，必有，即(2-5)得(2-6)将式(2-2)代入式(2-6),07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,由此，整理后得令故这样的分段切向量方程共有n-2个，若要解共n个切向量，还缺两个方程，这两个方程由首、尾两端的边界条件确定,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,(3)边界条件和切向量方程曲线两端的边界条件主要有三种：固定端、抛物线端、自由端固定端边界条件：由两个端点的切向量值Pi，Pn确定抛物线端边界条件：抛物线端是认为曲线在第1段和第n-1段为抛物线，也就是两个端点的二阶导数为常数，即三阶导数为0。因此代入式(2-2)中的值，整理得同理,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,自由端边界条件：两端点的二阶导数为0，即代入式(2-2)中的值，整理得三次参数样条向量方程的矩阵表达式：将上述三种边界条件统一写成,07.06.2020,把两个边界条件的切向方程与n-2个切向量方程结合起来构成一个方程组：,第2章CAD建模的理论基础,可以用矩阵形式表示为,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,注意：以上讨论的三次参数样条曲线中的参变量t的变化范围是0,ti，。在给定的离散点分布比较均匀的情况下，可以将t的变化范围转化为0,1，这样矩阵Qi(t)可表示为(2-7)三次参数样条曲线的权函数表示为,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,这时若将式(2-7)写成(2-8)则称为三次参数曲线的Hermite形式，Mh是Hermite矩阵，Gh是Hermite几何向量,Hermite曲线,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,Bezier曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,1972年，由法国雷诺汽车公司汽车设计师Bezier提出；,设有n+1个型值点,则n次Bezier曲线的参数方程为,说明：,控制点的位置向量；,Berstein系数，又称基底函数；,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,二次Bezier曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,n=2时，需要3个点来确定:,二次Bezier曲线参数方程为:,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,三次Bezier曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,n=3时，需要4个点来确定Bezier曲线；,由Bezier曲线的定义可以得到：,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,Bezier曲线,第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,性质：,端点性质:,凸包性；,几何不变性；,问题：已知三次Bezier曲线的端点性质和Hermite矩阵Mh，如何求出Bezier曲线的矩阵表达式？,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,前面讨论的Bzier曲线是逼近特征多边形的一段曲线而不是样条曲线，若把一段段Bzier曲线连接起来，并保证连接处足够光滑，就构成了Bzier样条曲线,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,B样条曲线(B-spline),第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,数学基础,给定m+n+1个顶点，用位置向量bi(i=0,1,m+n)表示，将多边折线分成m+1段，每段为n次多项式，则第i段(i=0,1,m)的n次等距分割的B样条函数如左：,B-spline基函数,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,B样条曲线(B-spline),第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,n=2时,不难推导,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,B样条曲线(B-spline),第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,n=3时,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,B样条曲线(B-spline),第1节计算机几何造型基础知识,4.自由曲线设计理论基础,性质,起始点的位置:,端点的切向量:,起始点出的二阶导数:,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,问题：已知三次B-spline曲线的端点性质和Hermite矩阵Mh，如何求出B-spline曲线的矩阵表达式？,二阶连续性:,凸包性:三次B样条曲线必落在特征多边形的凸包之中，且较好地逼近特征多边形,局部性：根据B样条曲线的定义及端点性质可知，若改动特征多边形的一个顶点，只影响以该点为中心的邻近n+1段曲线，而不会影响其他段曲线的形状。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,课堂作业：给定四个型值点（0，0），（1，2），（4，3），（8，2），请写出三次Bezier曲线和三次B-spline曲线函数，并用描点法画图给定五个型值点（1，1），（2，4），（6，3），（7，-1），（4，-4），请写出三次B-spline曲线函数，并画图,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,与自由曲线不同的是，自由曲面有2个参数变量u,v。如双三次参数自由曲面的X分量X(u,v)可表示为,为了确定Cx,可用三次Hermite曲线推导方法。先设v不变，u为参变量，有,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,P1x,P2X,R1x,R2x是v的函数，可写成Hermite形式,写成行向量,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,同理有,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,可求得,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,可求得Coons曲面系数矩阵表达式,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,Bezier曲面,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,用同样的方法可推得Bezier曲面的矩阵表达式,其中,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,B-Spline曲面,第1节计算机几何造型基础知识,5.自由曲面建模理论基础,其中,用同样的方法可推得B-Spline曲面的矩阵表达式,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,Hermite曲线、Bezier曲线、B样条曲线的比较:,第1节计算机几何造型基础知识,几种曲线、曲面的比较,共同的矩阵表示形式；,三种曲面的特点？p39,各自优越性？p39,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,几何图形（或形体）按某种规则变换成另一几何图形（或形体）的过程称为几何变换。,第2节设计模型变换基本算法,设计模型变换的基本概念,设计模型变换的理论基础是几何变换，也称图形变换。包括二维、三维几何变换和它们的组合变换。,投影变换是与画法几何理论有关的图形变换，包括正投影变换、轴测投影变换、透视投影变换等。,线框图形（或形体）的变换以顶点的变换为基础。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,基本几何变换,按照几何变换的特点可分为：,齐次坐标几何变换,用来研究和实现几何变换的数学工具是线性代数，主要是矩阵理论,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,变换后的位置向量,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,举例：三角形通过其顶点的位置向量来表示；,二维图形可以通过点集的矩阵来表示；,我们试图找到一个方法，使某一点的位置向量（坐标）,变换矩阵,变换前的位置向量,不妨令,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,恒等变换,基本几何变换,例如,坐标没有变化,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,比例变换,基本几何变换,中的,例如：,x、y坐标值均放大了,进行比例变换，各点的坐标值，以坐标原点为中心，进行放大或者缩小,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,镜像变换,基本几何变换,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y=x轴对称,关于任意直线对称,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,错切变换,基本几何变换,使图形沿X轴或者Y轴错移,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换基本算法,1.平面图形的变换,旋转变换,基本几何变换,指图形绕坐标原点进行旋转的变换,角度：逆时针方向旋转为正向旋转,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,关于图形平移问题：,图形的平移是否为几何变换？如何实现它？,由此引入齐次坐标的概念,请思考,需要用什么样的方法解决这一新问题呢？,能否像比例、旋转等变换一样，用22的T矩阵实现平移变换？,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,定义：用N+1维位置向量表示N维位置坐标的方法称为位置向量的齐次坐标表示法，对应的变换矩阵称为齐次坐标变换矩阵，用齐次坐标变换矩阵进行的几何变换称为齐次坐标几何变换。,齐次坐标几何变换,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,平移变换,齐次坐标变换,齐次坐标及其变换,可以保证,比例、平移、旋转等变换的齐次坐标表示？,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,齐次坐标变换,齐次坐标变换矩阵的一般形式,齐次坐标变换表达式的一般形式,左上角2X2矩阵控制基本变换,左下角1X2矩阵控制平移变换,右上角2X1矩阵控制透视变换,右下角1X1矩阵控制全比例变换,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,组合变换,问题：如何通过几何变换实现平面图形绕平面上的任意一点旋转？,需要通过多次基本几何变换解决问题。定义：连续多次采用基本几何变换解决问题的方法称为组合变换或级联变换(CompositeTransformation)注意:组合变换的先后次序与变换的顺序对应,不能交换位置,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,1.平面图形的变换,例题：平面图形绕平面内任意一点旋转（图240）,组合变换,解题思路,最后得出一个变换矩阵,移动坐标原点是否可行？,如果可行，其变换矩阵又将是怎样的呢,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,在二维变换的基础上进行,有4X4齐次变换矩阵,矩阵中各元素在几何变换中有什么作用？,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,三维比例变换,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,三维错切变换,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,三维镜射变换,思考：关于YOZ的变换矩阵又是怎样？XOZ呢？,这是关于XOY面的镜像变换矩阵；,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,三维平移变换,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,绕坐标轴（X轴、Y轴、Z轴）旋转,有三种情况,注意Ty与Tx、Tz之间的区别,如果绕空间任意轴选择呢？,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,例题：空间P点绕任意直线AB逆时针旋角度到P*，试求P点的新坐标。已知立方体的长宽高分别为a、b、c，A点坐标,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第一步,将原来的坐标oxyz原点O平移到A，从而形成新的坐标系Axyz,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第二步,如何求？,AB绕xA旋转一个角度到AB2（逆时针）,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第三步,AB2绕yA旋转一个角度到AB4（顺时针）,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第四步,此时的AB4与Az重合，P点绕AZ（即AB4）逆时针旋转一个角度,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第五步,原路返回,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,第六步,所有矩阵相乘，即为所求的变换矩阵,注意:在AB旋转过程中，P点始终跟随旋转,绕过原点的任意轴旋转，其变换矩阵如何求？,故有,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,2.三维模型的几何变换,几何变换的两类问题,第一类问题：已知变换要得到的结果，求变换矩阵解题方法：确定变换过程，写出矩阵，计算结果，绘出图形。,第二类问题：已知变换的过程，求变换得到的结果解题方法：写出描述变换过程的矩阵，计算结果，绘出图形。,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正投影变换：方法与画法几何原理相对应，结果是得到六个基本视图（主视图、俯视图、左视图等）,轴测投影变换：依据轴测投影原理进行变换，得到正轴测投影图或斜轴测投影图,透视投影变换：依据透视投影原理进行变换，得到一点透视、二点透视、三点透视投影图,07.06.2020,第2章CAD建模的理论基础,第2节设计模型变换的基本算法,3.三维图形的投影变换,正投影变换,正投影是指在多面投影体系中H、V、W面上的投影,在多面投影体系中，