应力与应变间的关系.ppt

7-7应力与应变间的关系,一、单向应力状态下应力与应变的关系,横向线应变与纵向线应变成正比，比值为泊松比，而符号相反。,E为材料的弹性模量，单位为N/m2.,二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系,或,G为剪切弹性模量，单位为N/m2.,（1）符号规定,1、各向同性材料的广义胡克定律,(a)三个正应力分量：拉应力为正压应力为负。,三、复杂应力状态下应力与应变的关系,(b)三个剪应力分量:若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致,或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力为正,反之为负。,图中表示的均为正方向,线应变:以伸长为正,缩短为负。剪应变:使直角减小者为正,增大者为负。,xOyyOzzox。,在xyz分别单独存在时,x方向的线应变x依次为:,2、各向同性材料的广义胡克定律,(1)线应变的推导,在xyz同时存在时,x方向的线应变x为,在xyz同时存在时,y,z方向的线应变为,剪应变xy,yz,zx与剪应力xy,yz,zx之间的关系为,(2)剪应变的推导,3、特例（1）平面应力状态下(假设Z=0),（2）广义胡克定律用主应力和主应变表示时三向应力状态下：,(7-7-6),平面应力状态下设3=0,则,材料的三个弹性常数E,G,间存在如下关系:,解：,一，一对应。,由于构件自由表面，所以主应力2=0。所以该点为平面应力状态。,由,解得,该点处另一主应变2的数值为,2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的外法线方向。,四、各向同性材料的体积应变,（2）各向同性材料在空间应力状态下的体积应变,（1）概念:构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用表示。,设单元体的三对平面为主平面,其三个边长为dx,dy,dz变形后的边长分别为dx(1+,dy(1+2,dz(1+3,因此变形后单元体的体积为:,2,dz,体积应变为,将广义胡克定律,代入得,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x，y，z有关。仿照上述推导有,在平面纯剪切应力状态下：,代入得,可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。,例题7-7边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力.体积应变以及最大剪应力。,a,a,a,P,y,x,z,解：铜块上截面上的压应力为,y,y,由,解得,铜块的主应力为,体积应变和最大剪应力分别为,例题9-8壁厚t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点处与其轴线成45和135角即x,y两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶,如图所示已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa和=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且max=80MPa,试求k点处的线应变x,y以及变形后的筒壁厚度。,D,t,x,y,m,k,可求得:,解:从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示