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文档简介

,2,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内,3,二.平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2.设D是单连通开区域,在D,内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,4,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,与路径无关,只与起止点有关.,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,5,(3)在D内是某一函数的全微分,即,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,与路径无关,只与起止点有关.,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,设,6,(3)在D内是某一函数的全微分,即,(4)在D内每一点都有,证明(3)(4),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,7,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有,(4)在D内每一点都有,设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为,(如图),因此在上,利用格林公式,得,证明(4)(1),8,二.平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2.设D是单连通开区域,在D,内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,9,说明:,若在某区域内有,则,(2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,(3)求全微分Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,(1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,10,解：因为,即不含原点的单连通域，积分与路径无关。,取新路径,11,其参数方程为,12,例2.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,13,例3.验证,在右半平面(x0)内存在原函数,并求出它.,证:令,则,由定理2可知存在原函数,。,。,14,。,。,或,15,故积分路径可取圆弧,例4.设质点在力场,作用下沿曲线L:,由,移动到,求力场所作的,功W.(其中),解:,令,则有,曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关,思考：积分路径是否可以取为什么？,16,设函数平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分,与路径无关，并且对任意t恒有,解：由积分与路径无关的条件知,17,两边对t求导得,18,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关,在D内有,对D内任意闭曲线L,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,19,20,思考与练习,1.设,且
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