2009年高考理科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案

2009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷全国卷 I 理科数学（必修理科数学（必修+选修选修） 本试卷分第本试卷分第。卷（选择题）和第卷（选择题）和第。卷（非选择题）两部分第卷（非选择题）两部分第。卷卷 1 至至 2 页，第页，第。卷卷 3 至至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第第卷卷 考生注意：考生注意： 1答题前，考生在答题卡上务必用答题前，考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 参考公式：参考公式： 如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式 ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径 ()( )( )P A BP A P BAA球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 3 4 3 VR n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 一、选择题一、选择题 【2009/理/1】 设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 U=AB，则集合 () u AB I 中的元素共有（A） （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 解：3,4,5,7,8,9AB ，4,7,9()3,5,8 U ABCAB故选故选 A。也可用摩根。也可用摩根 律：律：()()() UUU CABC AC B 【2009/理/2】已知 1i Z =2+i,则复数 z=（B ） （A）-1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i 解：解：(1) (2)1 3 ,1 3ziiizi 故选故选 B。 【2009/理/3】不等式 1 1 X X 1 的解集为（ D ） （A） x 011xx x (B)01xx （C）10 xx (D)0 x x 解：验 x=-1 即可。 【2009/理/4】设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲 线的离心率等于( C ) （A）3（B）2（C）5 （D）6 解：设切点 00 (,)P xy，则切线的斜率为 0 0 |2 x x yx .由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得: 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa . 【2009/理/5】甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、 乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 112 536 225CCC种选法; (2) 乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC种选法.故共有 345 种选法.选 D 【2009/理/6】设a、b、c是单位向量，且ab0，则 acbc的最小值为 ( D ) （A）2（B）22 （C）1 (D)12 解: , ,a b c 是单位向量 2 ()acbca bab cc AA | | | 12cos,121 |abcab c A故选 D. 【2009/理/7】已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面边长都相等， 1 A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与 1 CC所 B C B C A1 1 1 A D 成的角的余弦值为（ D ） （A） 3 4 （B） 5 4 （C） 7 4 (D) 3 4 解：设BC的中点为 D，连结 1 AD，AD，易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所成的 角,由三角余弦定理，易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB .故选 D 【2009/理/8】如果函数cos 2yx3的图像关于点 4 3 ，0中心对称，那么|的最 小值为（A） （A） 6 （B） 4 （C） 3 (D) 2 解: 函数cos 2yx3的图像关于点 4 3 ，0中心对称 4 2 32 k 13 () 6 kkZ 由此易得 min | 6 .故选 A 【2009/理/9】已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (,)P xy，则 0000 ln1,()yxayx,又 0 0 1 |1 x x y xa 000 10,12xayxa .故答案选 B 【2009/理/10】已知二面角 -l- 为60o ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为3， Q 到 的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值 为（ C ） (A) (B)2 (C) 2 3 (D)4 解:如图分别作,QAA AClC PBB于于于 PDlD 于，连,60 ,CQ BDACQPBD 则 2 3,3AQBP，2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP ，即AP点与点重合时取最小值。故答案选 C。 【2009/理/11】函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( D ) (A) ( )f x是偶函数 (B) ( )f x是奇函数 (C) ( )(2)f xf x (D) (3)f x是奇函数 解: (1)f x与(1)f x都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x ， 函数( )f x关于点(1,0)，及点( 1,0)对称，函数( )f x是周期21 ( 1)4T 的周期函 数.(14)(14)fxf x ，(3)(3)fxf x ，即(3)f x是奇函数。故选 D 【2009/理/12】已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交 C于点B，若3FAFB ,则|AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3 解:过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3FAFB ,故 2 | 3 BM .又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 BF |2AF.故选 A 第第 II 卷卷 二、填空题：二、填空题： 【2009/理/13】 10 xy的展开式中， 73 x y的系数与 37 x y的系数之和等于 。 解: 373 101010 ()2240CCC 【2009/理/14】设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 72S ,则 249 aaa= 。 解: n a是等差数列,由 9 72S ,得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 【2009/理/15】直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上，若 1 2ABACAA, 120BAC，则此球的表面积等于 。 解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC ,由正弦定理,可得ABC外接 圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为O，在RT OBO中，易得球半径5R ，故此 球的表面积为 2 420R. 【2009/理/16】若 42 x ，则函数 3 tan2 tanyxx的最大值为 。 解:令tan,xt1 42 xt , 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 【2009/理/17】 （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效） 在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知 22 2acb，且 sincos3cossin,ACAC 求 b 分析分析:此题事实上比较简单此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手但考生反应不知从何入手.对已知条件对已知条件(1) 22 2acb左侧是左侧是 二次的右侧是一次的二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件而对已知条件(2) sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经甚至有的学生还想用现在已经 不再考的积化和差不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分导致找不到突破口而失分. 解法一：在解法一：在ABC中中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有: 222222 3, 22 abcbca ac abbc AA化简并整理得：化简并整理得： 222 2()acb.又由已知又由已知 22 2acb 2 4bb.解得解得40(bb或舍）. 解法二解法二:由余弦定理得由余弦定理得: 222 2cosacbbcA.又又 22 2acb,0b 。 所以所以2 cos2bcA 又又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACAC sin()4cossinACAC，即，即sin4cossinBAC 由正弦定理得由正弦定理得sinsin b BC c ，故，故4 cosbcA 由由，解得解得4b 。 评析评析:从从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高在备考中应注意总结、提高 自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考另外提醒：两纲中明确不再考 的知识和方法了解就行，不必强化训练。的知识和方法了解就行，不必强化训练。 【2009/理/18】 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD， 2AD 2DCSD，点 M 在侧棱SC上，ABM=60 （I）证明：M 在侧棱SC的中点 （II）求二面角SAMB的大小。 （I）解法一：作MNSD交CD于 N，作NEAB交AB于 E， 连 ME、NB，则MN 面ABCD，MEAB,2NEAD 设MNx，则NCEBx, 在RT MEB中，60MBE3MEx。 在RT MNE中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x ，从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M. 解法二:过M作CD的平行线. 解法三:利用向量处理. 详细可见 09 年高考参考答案. （II）分析一分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了 三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定 理的方法求作二面角。 过M作MJCD交SD于J,作SHAJ交AJ于H, 作HKAM交AM于K,则JMCD,JM 面SAD,面 SAD面MBA,SH 面AMBSKH即为所求二面角 的补角. 分析二分析二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点 F，则点F为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证GFAM，则GFB即为所求 二面角. 分析三分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可。 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 【2009/理/19】 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。 分析分析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很 可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 【2009/理/20】 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 在数列 n a中， 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （I）设 n n a b n ，求数列 n b的通项公式 （II）求数列 n a的前n项和 n S 分析分析：（I）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式: 1 1 2 2 n n b ( * nN) （II）由（I）知 1 2 2 n n n an , n S= 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而 1 (2 )(1) n k kn n ,又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S=(1)n n 1 2 4 2n n 评析评析：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一 线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有 意识降低难度和求变的良苦用心。 【2009/理/21】（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相 交于A、B、C、D四个点。 （I）求r得取值范围； （II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标 分析：分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr的方 程联立，消去 2 y，整理得 22 7160 xxr （） 抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的 充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.易得 15 (,4) 2 r.考生利用数形结 合及函数和方程的思想来处理也可以 （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入 的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为 11 ( ,)A xx、 11 ( ,)B xx、 22 (,)C xx、 22 (,)D xx。 则由（I）根据韦达定理有 2 1212 7,16xxx xr， 15 (,4) 2 r 则 21122112 1 2 |() |() 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令 2 16rt，则 22 (72 ) (72 )Stt 下面求 2 S的最大值。 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有 时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值 类似。 22 1 (72 ) (72 )(72 )(72 )(144 ) 2 Sttttt 33 1 7