椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则性质三证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。例1. 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.例1解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而例2.已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 解：设，则，故选答案A.例3.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又，故选D.1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 解：，.故选D.2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 解：设，.故选A.3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 解：，设， ，当的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，.故答案选D.4已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D 解：，又，从而.故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，且c/a=5/3，求椭圆的标准方程.解：设，则. ，又，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.专题2：离心率求法：1若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.1.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则B2OF2为等腰直角三角形，.2若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.2.解析：选B.由题意知2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20.5c22ac3a20.5e22e30.e或e1(舍去)3若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为_3.解析：依题意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，椭圆的离心率为e. 答案：4.已知A为椭圆1(ab0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|AF2|31，求该椭圆的离心率4.解：设|AF2|m，则|AF1|3m，2a|AF1|AF2|4m.又在RtAF1F2中，|F1F2|2m.e.5如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率 5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21， e.法二