椭圆的参数方程(教案)VIP

8.2 椭圆的几何性质(5)椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中 翟慎佳 2002.10.25一 目的要求：1 了解椭圆参数方程，了解系数a、b、含义。2 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。3 培养理解能力、知识应用能力。二 教学目标：1 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。2 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。3 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。三 重点难点：1 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。2 难点：椭圆参数方程的推导及应用。四 教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。五教学过程：（一）引言（意义）人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关）1 求曲线方程常用哪几种方法？答：直接法，待定系数法，转换法代入法，参数法。2 举例：含参数的方程与参数方程例如：y=kx+1（k参数）含参方程，而（t参数）是参数方程。3 直线及圆的参数方程？各系数意义？（三）推导椭圆参数方程1 提出问题（教科书例5）例题如图，以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半径作两个圆。点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M。求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。2 分析问题本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法参数法。引导学生阅读题目，回答问题：（1）动点M是怎样产生的？M与A、B的坐标有何联系？（2）如何设出恰当参数？设AOX=为参数较恰当。3 解决问题（板演）解：设点M的坐标(x,y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角，取为参数，那么 x=ON=|OA|cos， y=NM=|OB|sin 即 引为点M的轨迹参数方程，为参数。4 更进一步（板演：化普通方程）分别将方程组的两个方程变形，得 两式平方后相加，消去参数得方程由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程是椭圆的参数方程。为参数，为离心角，常数a、b分别是椭圆长半轴和短半轴长。5 加深理解（1） 椭圆参数方程（为参数），参数有明显几何意义。离心角与MOX一般不同。参数方程提供了设点的方法。（2） 椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参消参”。（3） 椭圆的参数方程也可由（ab0）三角换元直接得出，即令，。双曲线也有类似换元。（4） 可仿P95例3，将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程（四）参数方程的应用（例题分析）例1 参数方程普通方程互化（1） （2）例2. 练习：参数方程普通方程互化 （1） （2）例3在椭圆上求点P，使P到L：x-y+4=0的距离最小。分析1：（目标函数法）设P(x,y)为椭圆上任一点，由得，则P到L的距离 再想办法求最值，但太繁不可取。 分析2：（几何法）把直线L平移到L1与椭圆相切，此时切点P为所求的点。即设L1：x-y+m=0, yL xL1由，整理得9y2-2my+m2-8=0.由=4m2-49(m2-8)=0得m=3.如图可知m=3时最小. 可计算平行线间的距离，此时P（-）分析3：（参数法）设P（2cos,sin），则有 ，其中当时，d有最小值，则， 即P（-） 方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单 （2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程例4P(x,y)为椭圆上任一点，求2x+y的最大值。例5设椭圆上一点P，使OP与x轴正向所成角POX=，求P点坐标。分析：本题容易产生错误：认为=，代入椭圆参数方程x=2,y=3，从而P（2，3）。事实上，若注意P对应参数与POX关系，可避免此误。解：设P（，），由P与x轴正向所成的角为，即tan=2. 而sin0,cos0,cos=, sin= P点坐标为（，）。（四）教学小结： 1坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了a、b、的几何意义2通过学习，完善了对椭圆的认识。椭圆的两个定义及两种方程都是等价的。3 参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。4通过学习增强运用参数解题的意识。（五）补充练习1点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x-3y-16=0的距离的最大值为（ ）A B. C. D. 2P是椭圆上任意一点，F1、F2是两个焦点，且满足PF1PF2的点P有（ ）A1个 B.2个 C.3个 D.4个 3已知直线y=kx-1与椭圆相切，则k,a之间关系式为（ ）Aa+4k2=-1 B. 4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1 4点P（0，1）到椭圆上点最大距离是_5设a为大于0的常数，椭圆x2-2ax+a2y2=0的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为 A B. C. 2或 D. 26已知点P在圆x2+(y-4)2=1