第4章 连续体结构分析的有限元方法—平面问题有限元分析.ppt

在第四章连续体结构分析的有限元法中，杆梁结构由于其固有的连接关系可以自然离散，而连续体则不同，由于其内部没有固有的连接节点，必须通过人工划分节点来完全离散，从而成为近似离散。有限元方法的真正意义或价值在于它成功地处理了连续体(场)问题。1943年，作为公认的有限元方法的先驱之一，Courant在处理连续体问题时使用了三角形区域的分段连续函数和最小势能原理。“有限元”这个名称是克劳夫在1960年处理平面连续体问题时正式提出的。本章将全面讨论和研究连续体问题的有限元方法。4.1连续体结构分析的基本力学原理、连续体问题的三种变量、连续体问题的三种方程和边界条件、平面问题的4.2三节点三角形单元和平面问题的三节点单元是平面问题有限元分析中最基本的单元，也是最重要的单元之一，因为它们具有简单的几何特征和很强的描述能力。单元几何和节点描述，单元有6个节点位移自由度，所有节点位移成一个阵列，为QE；类似地，所有节点上的所有力也形成一个数组，表示为Pe。然后，利用函数插值、几何方程、物理方程和势能计算公式，单元的所有力学参数(u(x，y)、(x，y)、(x，y)和 e)可以用节点位移阵和相关插值函数表示，并进行如下具体推导。单元位移场的表达式，平面三节点三角形单元，每个节点有两个位移，所以有6个节点位移。考虑到待定系数的简单性、完备性、连续性和唯一确定性的原则，单元中各方向的位移模式分别选择如下：从节点条件(x=xi，y=yi)出发，存在待定系数，可通过将上述公式代入上述公式来求解，即在上述公式中，上述公式中的符号(1，2，3)表示下标旋转，如1 2，2 3，3 1同时被替换。重写位移函数，以节点位移的形式表示，包括，单元应变场的表达式，单元应力场的表达式，单元势能的表达式，单元刚度方程，常用的等效节点外载荷阵(平面三节点三角形单元)。当单元承受非节点荷载时，如果它承受边线上的分布荷载，则应根据外力功的计算公式求得节点荷载的等值。常见的平面问题3节点三角形单元节点等效外荷载阵列如下表所示。平面三节点三角形单元位移的坐标变换问题不存在坐标变换问题，因为该单元的节点位移由整个坐标系中的x方向位移u和y方向位移v定义。平面三节点三角形单元的常系数应变和应力是常系数，因为单元的位移场是线性关系，系数ai、bi和ci只与三个节点的坐标位置(xi、yi)有关。因此，得到的单元B(x，y)和S(x，y)是常数矩阵，不随x和y变化。根据相应的公式，单元中任何点的应变和应力都是常数。因此，三节点三角形单元称为恒应变CST单元。在实际使用过程中，对于应变梯度较大(即应力梯度较大)的区域，细胞分裂应进行适当加密，否则无法反映应变(应力)的真实变化，导致误差较大。4.3平面问题的4节点矩形单元，单元几何和节点描述，单元位移场表达式，单元应变场表达式，单元应力场表达式，单元势能表达式，4节点矩形单元的线性应变和应力。从单元位移表达式可以看出，四节点矩形单元的位移在x和y方向上呈线性变化，所以称之为双线性位移模式，正是因为它在单元边界x=a和y=b上，位移呈线性变化，相邻单元的公共节点有一个公共节点位移值，这可以保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的。该单元位移模式完整、协调，应变和应力线性变化一次，精度高于三节点恒应变单元。4.4三角形单元和矩形单元计算精度的比较。从上面的计算可以看出，应变场和应力场在单元中是恒定的，因为形式函数是一个完整的一阶形式。四边形单元的形状函数具有二次型。计算的应变场和应力场都是坐标的主要函数，但它们不是完整的主要函数，这对提高计算精度有一定的作用。根据最小势能原理，势能越小，整体计算精度越高。比较两种单元计算的系统势能，可以看出，在节点自由度相同的情况下，矩形单元的计算精度高于三角形单元。例1:平面三节点三角形单元用于分析。如图所示，它是一个矩形薄板。右端受集中力f=100000 n，材料常数为：弹性模量E=1107Pa，泊松比=1/3，板厚t=0.1m，试根据平面应力问题计算各节点位移和支座反力。例2:平面四节点矩形单元用于分析。