函数的奇偶性.ppt

,函数的奇偶性,徐绍伟,在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。,除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？,而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。,观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？,1,-1,f(x)=x2,（1）,（2）,例如：对于函数f(x)=x3,有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1,f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x),-x,x,结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x),-x,x,f(-2)=(-2)2=4f(2)=4,而函数f(x)=x2，却是另一种情况，如下：,f(-1)=(-1)2=1f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x),结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x),而函数f(x)=x2，却是另一种情况，如下：,函数奇偶性的定义:,偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.,奇函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.,对于奇、偶函数定义的几点说明:,(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。,（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。(4)如果函数f（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则必有f（0）=0,（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x)具有奇偶性。,练习:说出下列函数的奇偶性:,f(x)=x4_,f(x)=x_,f(x)=x-2_,f(x)=x5_,f(x)=x-3_,f(x)=x-1_,奇函数,奇函数,奇函数,奇函数,偶函数,偶函数,对于形如f(x)=xn()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。,例1.判断下列函数的奇偶性,(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a,解:定义域为Rf(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数,解:定义域为Rf(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)f(x)为偶函数,说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:,先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.,再判断f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.,思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,-1,分析：函数的定义域为R但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。,(1)f(x)=(2)f(x)=x2x-4,4),解:定义域不关于原点对称或f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.f(x)为非奇非偶函数,解:定义域为0,+)定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数,思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？,思考3：,在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？,有。例如：函数f(x)=0,是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。,x,y,0,1,f(x)=0,-1,练一练：,判断函数的奇偶性:,奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数,根据奇偶性,函数可划分为四类:,本课小结:,两个定义:对于函数f(x)定义域内的任意一个x,两个步骤:（判断函数的奇偶性）,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。,（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。3，掌握利用奇偶性求函数解析式的方法,检测:,1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x),2.判断函数的奇偶性:,3.已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x);当x0,f(x)等于().,x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x),4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x)=af(x)+b