布朗运动和伊藤引理的运用

布朗运动与伊藤引理的应用唐雨晨31123512013统计2107一、导言1827年，英国植物学家布朗发现悬浮在液体中的花粉粒有不规则的运动，这被称为布朗运动。1900年，法国数学家巴切莱特在他的博士论文投资理论中给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动，这意味着股票价格可能取负值，所以股票价格不遵循算术布朗运动。为此，萨缪尔森提出股票收益率服从算术布朗运动，即股票价格服从算术布朗运动。在库兰特研究所著名数学家麦肯的帮助下，萨缪尔森获得了一个明确的欧式看涨期权定价公式，但该公式包含一些个人主观因素。1973年，布莱克(F.Black)和斯科尔斯(M.Scholes)发表了一篇名为期权和公司负债定价的论文，并推导出著名的布莱克-斯科尔斯公式，即标准欧式期权价格显式解。这个公式中的所有变量都是客观变量。哈佛大学教授默顿在他的文章期权的理性定价理论中提出了一个类似于布莱克-斯科尔斯的期权定价模型，并进行了一些重要的推广，从而开辟了金融研究的一个新领域。二、相关概念和公式推导1.布朗运动导论布朗运动是指悬浮在流体中的粒子由于流体分子和粒子之间的碰撞而产生的不可阻挡的随机运动。然而，用于描述布朗运动随机过程的定义是由Winner给出的，所以布朗运动也被称为维纳过程。(1)标准布朗运动假设它代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间上的变化，并遵循标准布朗运动的两个特征：特征1:和之间的关系满足以下公式：(2.1)其中，它代表标准正态分布的随机值(即平均值为0、标准差为1.0的正态分布)。特征2:对于任何两个不同的时间间隔，的值彼此独立。从特征1可以看出，它也具有正态分布特征，平均值为0，标准差为0，方差为0。从特征2可以看出，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。现在让我们检查变量z在标准布朗运动之后在很长一段时间T内的变化。我们用z(T)-z(0)来表示变量z在T内的变化，它可以被认为是z在n个小的长度时间间隔内的总变化，其中，因此，(2.2)标准正态分布的随机抽样值在哪里？从特征2可以看出，它们彼此独立，因此z(T)-z(0)也具有正分布特性，平均值为0，方差为，标准差为。由此我们可以发现两个特征：在任意长度的时间间隔t内，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从正态分布，平均值为0，标准差为0。对于相互独立的正态分布，方差是可加的，而标准差不是可加的。那时，我们可以得到最终的标准布朗运动：(2.3)(2)普通布朗运动为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率是指单位时间内变量Z平均值的变化值。差异率是指单位时间的差异。标准布朗运动的漂移率和方差率分别为0和1.0。漂移率为0意味着z的平均值在未来任何时候都等于其当前值。方差率为1.0意味着在一段时间长度为t的情况下，z的方差为。我们使漂移率的期望值和方差率的期望值为，然后我们可以得到变量x的普通布朗运动：(2.4)其中，A和B是常数，dz遵循标准布朗运动。这个过程表示变量x相对于时间和dz的动态过程。第一项adt是一个确定项，这意味着x的预期漂移率是每单位时间。第二项bdz是一个随机项，它表示加到x的动态过程中的噪声。这个噪声是由维纳过程的因子B给出的。从上述等式(2.1)和(2.4)可以看出，经过一段短时间后，X值的变化值为：因此，它也具有正态分布的特征，具有均值、标准差和方差。同样，x值在任意时间长度t后的变化也具有正态分布的特征，平均值为，标准差为，方差为。2.伊藤引理普通布朗运动假设漂移率和方差率是常数。如果变量X的漂移率和方差率作为变量X和时间T的函数，我们可以从公式(2.4)得到伊藤过程。其中dz是标准布朗运动，a和b是变量x和t的函数，变量x的漂移率是a，方差率是。在Ito过程的基础上，Ito进一步推导出，如果变量x遵循Ito过程，则变量x和t的函数g将遵循以下过程：(2.5)其中，dz是标准的布朗运动。由于和是x和t的函数，函数g也遵循伊藤过程，其漂移率为：方差率为。方程(2.5)是著名的伊藤引理。3、证券价格变动过程证券价格的变化过程可以用伊藤过程来表示，具有漂移率和方差：(2.6)如果两边同时被s分开：(2.7)其中，S代表证券的价格、以单位时间连续复利表示的证券预期收益率、证券收益率的单位时间方差、证券收益率的单位时间标准差以及证券的波动率。方程(2.7)也称为几何布朗运动。从等式(2.7)可以看出，经过一段短时间后，证券价格比率的变化值为：可以看出，它也具有正态分布的特征，具有均值、标准差和方差。换句话说其中，用平均值m和标准偏差s表示正态分布。在等式(2.7)中，我们指两个符号sum，其大小取决于时间测量的单位。在本文中，年是时间的度量单位。根据资本资产定价原则，价值取决于证券的系统性风险、无风险利率水平和市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，决定本身就更加复杂。接下来，我们将证明衍生证券的定价与基础资产的预期收益率()无关。相反，证券价格的波动性()对衍生证券的定价相当重要。证券价格的波动可以理解为证券价格的“缓和”。我们可以通过历史数据观察各种证券的“脾气”大小，然后通过公式(2.7)确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，等式(2.7)将其视为常数，事实上，它将随时间而变化。4、证券价格的自然对数变化过程利用Ito引理分析了证券价格随自然对数lnS变化的随机过程。设G=lnS，由于，根据等式(2.5)，我们可以得出证券价格的对数g所遵循的随机过程如下：(2.8)由于和是常数，上述公式表明证券价格的对数G也遵循普通布朗运动，它具有常数漂移率和常数方差率。从前面的分析可以看出，当前时间t和未来某个时间t之间的g的变化是正态分布，其均值和方差为。假设时间T G的值为lnS，时间T G的值为lnST，其中S表示时间T(当前时间)的证券价格，ST表示时间T(未来时间)的证券价格，则时间T-t期间G的变化为：这意味着：(2.9)换句话说，证券价格的对数变化呈现正分布。根据正态分布的特征，可以从方程(2.9)中得到：(2.10)3.布朗运动的伊藤引理的应用基于布朗运动和伊藤引理，选取云南白药(000538)1993年的收盘价和13年的收盘价进行数据分析。数据来自：信达。经计算，云南白药股价的年波动率为99.92%，年预期收益率为21.33%，2013年5月16日的市场价格为87.88元。1.假设股票不分红，计算一周后股票价格变化的概率分布。因为，它的股价过程是：短时间间隔后的股价变化如下：由于一周等于0.0192年，因此上述公式表明，一周后股票价格的增加值是正态分布的随机样本，平均值为0.3603元，标准差为12.147元。2.假设股票在6个月内没有分红，计算6个月后ST价格的概率分布。根据等式(2.10)，6个月后st价格的概率分布为：因为当置信水平为95.45%时，正态分布变量的值落在平均值附近的两个标准偏差内的概率为95.45%；因此，云南白药6个月后股价在56.3397元至102