双曲方程基于matlab的数值解法

双曲型方程基于MATLAB的数值解法（数学1201,陈晓云,41262022）一：一阶双曲型微分方程的初边值问题 精确解为 二：数值解法思想和步骤2.1:网格剖分为了用差分方法求解上述问题，将求解区域作剖分。将空间区间作等分，将时间区间作等分，并记。分别称和为空间和时间步长。用两簇平行直线将分割成矩形网格。2.2：差分格式的建立 2.2.1：Lax-Friedrichs方法对时间、空间采用中心差分使得 则由上式得到Lax-Friedrichs格式截断误差为所以Lax-Friedrichs格式的截断误差的阶式令：则可得差分格式为其传播因子为： 化简可得： 所以当时，,格式稳定。* 2.2.2：LaxWendroff方法用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为，是二阶精度；当时，格式稳定。在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs 方法进行简单对比。2.3差分格式的求解因为时格式稳定，不妨取 ，则s=0.9差分格式写成如下矩阵形式：则需要通过对k时间层进行矩阵作用求出k+1时间层。对上面的矩阵形式通过matlab编出如附录的程序求出数值解、真实解和误差。2.5 算法以及结果 function P U E x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,type)format long%一阶双曲型方程的差分格式 %P U E x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type) %方程:u_t+C*u_x=0 0 = t = uT, 0 = x 1 disp(|C*r|1，Lax-Friedrichs差分格式不稳定！) end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j)/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2; P(i,j+1)=cos(pi*(x(i)+t(j+1); E(i,j+1)=abs(U(i,j+1)-cos(pi*(x(i)+t(j+1); end end %Lax-Wendroff差分格式 case LaxWendroff if abs(C*r)1 disp(|C*r|1，Lax-Wendroff差分格式不稳定！) end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2+C2*r2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j)/2; P(i,j+1)=cos(pi*(x(i)+t(j+1); E(i,j+1)=abs(U(i,j+1)-cos(pi*(x(i)+t(j+1); end end otherwise disp(差分格式类型输入有误！) return; endU=U;P=P;E=E;%作出图形 精确解mesh(x,t,P); title(一阶双曲型方程的精确解图像); xlabel(空间变量 x); ylabel(时间变量 t); zlabel(一阶双曲型方程的解 P)%作出图形 数值解mesh(x,t,U); title(type 格式求解一阶双曲型方程的解的图像); xlabel(空间变量 x); ylabel(时间变量 t); zlabel(一阶双曲型方程的解 U)return; 命令窗口输入：uX=1;uT=1;M=90;N=100;C=-1;phi=inline(cos(pi*x);psi1=inline(cos(pi*t);psi2=inline(-cos(pi*t);type=LaxFriedrichs或type=LaxWendroff;P U E x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,type)从 matlab的数值解法结果中抽出一部分数据进行比较表1LaxFriedrichs格式jk（x,t）数值解真实解误差4611(0.5,0.1)-0.308981-0.3090170.0000364621(0.5,0.2)-0.587647-0.5877850.0001384631(0.5,0.3)-0.808731-0.8090170.0002864641(0.5,0.4)-0.950609-0.9510560.0004484651(0.5,0.5)-0.999409-1.0000000.0005914661(0.5,0.6)-0.950496-0.9510570.0005604671(0.5,0.7)-0.808539-0.8090170.0004784681(0.5,0.8)-0.587437-0.5877850.0003484691(0.5,0.9)-0.308833-0.3090170.00018446101(0.5,1.0)-0.000002-0.0000000.000002表2LaxWendroff格式jk（x,t）数值解真实解误差4611(0.5,0.1)-0.309005-0.3090170.0000124621(0.5,0.2)-0.587765-0.5877850.0000204631(0.5,0.3)-0.808995-0.8090170.0000224641(0.5,0.4)-0.951040-0.9510560.0000164651(0.5,0.5)-0.999999-1.0000000.0000014661(0.5,0.6)-0.951074-0.9510570.0000174671(0.5,0.7)-0.809051-0.8090170.0000344681(0.5,0.8)-0.587833-0.5877850.0000484691(0.5,0.9)-0.309074-0.3090170.00005746101(0.5,1.0)-0.000006-0.0000000.000006备注：本来，但是由于matlab中下标必须从大于0开始，所以在程序中图像分析:结果分析：从表1和表2可以