西南大学2018年秋季网教作业0772中学代数研究

西南大学 网络与继续教育学院课程代码： 0772 学年学季：20182窗体顶端单项选择题1、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（ ）. 稠密性. 可数性. 完备性2、高中代数课程的基本主线是（ ）. 方程. 不等式. 函数. 数列3、下列哪一个数，用尺规是可以做出的（ ）. 根号2. 圆周率. 欧拉数e4、对有理数运算中的“负负得正”，可以用（ ）给予解释. 复数坐标表达式的乘法运算. 复数向量表达式的乘法运算. 复数三角函数表达式的乘法运算5、幂数列属于（ ）. E. 等比数列. 高阶等差数列. 等差数列6、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，后者不具有（ ）. 反身性. 对称性. 传递性7、复数集按照“字典排序”关系，是一个. 复数域. 全序集. 有序域8、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为. 结构. 序偶. 关系. 对偶9、下列说法，哪个是正确的（ ）. A. 复数可以排序. 复数集是一个有序域. 复数可以比较大小10、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（ ）. 韦达定理. 代数基本定理. 正弦定理. 孙子定理11、 用实数的（ ）的定义，可以较好地解释0、999.=1. 无穷小说定义. 有理数区间套定义. 有理数基本序列说. 戴德金分割说12、 三角形余弦定理同（ ）有内在联系. 二维柯西不等式. 二维均值不等式. 加权平均不等式. 二维排序不等式13、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（ ）. 形式推导. 恒等变换. 直观理解14、二维柯西不等式同（ ）有内在联系. 基本不等式. 平面三角不等式. 二维排序不等式15、自然数公理系统是（ ）的逻辑基础. 数学归纳法. 反证法. 定义法16、下列说法，哪一个是错误的（ ）. 有理数具有可数性. 有理数具有完备性. 有理数具有稠密性17、复数集按照“字典排序”关系，是一个（ ）. 数域. 序域. 数集. 序集判断题18、给定两个长为a,b的线段，用尺规可以作出a与b的和、差、积、商。. A. B.19、有理数对极限运算是封闭的。. A. B.20、不定方程求解的算理依据是辗转相除法。. A. B.21、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。. A. B.22、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a, b)。. A. B.23、1、在高中数学中，算法应作为一种核心观念贯穿于高中数学教学的始终。. A. B.24、中学代数应当“以方程为纲”。. A. B.25、一元5次及其以上次代数方程有根式解。. A. B.26、“三等分角”是可解的。. A. B.27、1、形式化是数学的基本特征之一。. A. B.28、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。. A. B.29、孙子算经、周髀算经、九章算术并称为我国最古老的数学三大名著。. A. B.30、对于有限数列来说，并不一定存在一个多项式函数，来表示它的通项。. A. B.31、自然数公理系统直接保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以把数学归纳法当作公理来看待。. A. B.32、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。. A. B.33、有理数集能与自然数集建立一 一对应关系。. A. B.34、中学代数教学应强调形式化的计算。. A. B.35、实数集是可数的无穷集合。. A. B.36、1、方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。. A. B.37、1、在数学学习中，所谓“理解”实际上基本等同于“建立直观形象”。. A. B.38、函数的“对应说”比“变量说”更高级。. A. B.39、1、在自然数公理系统中“1”和“”是两个没有实质意义的形式符号。. A. B.40、1、 复数可以排序。. A. B.41、在讨论复数的乘法运算时，复数的三角表达式比坐标表达式有更多的好处。. A. B.42、1、初等代数学，是研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法。. A. B.43、我国传统的“中学代数”体系，主要内容有：数和数系；方程；函数；不等式；排列组合。. A. B.44、构造式思维方式是在已有知识性质的基础上进行的直接推理。. A. B.45、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。. A. B.46、群是古典代数研究的对象。. A. B.47、一元5次及其以上次代数方程有根式解。. A. B.48、给定两个长为a,b的线段，用尺规可以作出a与b的和、差、积、商。. A. B.49、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义，两种定义方法在本质上是一致的。. A. B.50、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。. A. B.51、1、算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因。. A. B.52、数学归纳法具有两个缺一不可的性质：即归纳性、演绎性。. A. B.53、1、每一个重大的数学进展都和数学符号的创造性运用是分不开的。. A. B.54、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。. A. B.55、在实数的定义方法上，“无穷小数定义说”和“有理数区间套定义说”并没有本质区别。. A. B.56、函数的“对应说”定义比“变量说”定义更高级。. A. B.57、对于任一有限项的数列，都可以给出通项表达式。. A. B.58、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。. A. B.59、在数学学习中，所谓“理解”实际上基本等同于“建立直观形象”。. A. B.60、对于任一有限项的数列，都可以给出通项表达式。. A. B.61、不定方程求解的算理依据是辗转相除法。. A. B.主观题62、试证明三维形式的均指不等式.docx参考答案：a3+b3+c33abc(a0,b0,c0,当a=b=c时取等号）我们用“分析法”（或“执果索因法”）来证明：要证a3+b3+c33abc(a0,b0,c0,当a=b=c时取等号)只需证a3+b3+c3-3abc0因为a3+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-ac-bc只需证a+b+ca2+b2+c2-ab-ac-bc0因为，a+b+c0，只需证a2+b2+c2-ab-ac-bc0因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac将上三个不等式相加，得2（a2+b2+c2）2（ab+ac+bc）,此式与所要证明的不等式a2+b2+c2-ab-ac-bc0，当a=b=c时取等号，故原要证不等式得证。63、在三角形ABC中排序不等式证明.docx参考答案：在三角形ABC中，a,b,c为角A,B,C 所对的边，求证：证：不妨设abc，则ABC，由排序不等式，得aA+bB+cCbA+cB+aC,aA+bB+cCcA+aB+bC,又aA+bB+cC=aA+bB+cC,三式相加得，3aA+bB+cCa+b+cA+B+C=a+b+c,即64、试证欧拉数e不是一个有理数参考答案：证明（反证法）：假设e=pmm1，因Sn=1+11!+12!+1n!当nm,有 Sn=Sm+1m+1!+1m+2!+1n!=Sm+1m+1!1+1m+2+1m+3m+2+1nn-1m+2Sm+1m+1!1+1m+1+1m+12+1m+1n-m-1Sm+1m+1!.11-1m+1=Sm+1m.1m!即，SmSnSm+1m.1m!，令n无限增大，而m保持不变，有SmeSm+1m.1m! , 在上式两段乘以m!,得m!smpm-1!m!sm+1mm!sm+1,但是，m!sm是一个整数，因此整数pm-1!将位于两个相继的整数之间，而这是不可能的，故e不是有理数。65、试证没有一个有理数的平方等于5。参考答案：66、试述算法学习的意义和作用参考答案：答案要点：算法是计算机理论和实践的核心，也是是数学的最基本内容之一。可以这样说，数学学习的主要作用之一是形成“算法思维”。算法有着悠久的发展历史，中国古代数学曾经以算法为特色，取得了举世瞩目的辉煌成就。在已经逐步进入信息化社会的今天，算法的基本知识、方法、思想日益融入人们社会生活的方方面面，已经也应该成为现代人所应具备的一种基本素质。高中数学课程中的算法有以下几个方面的作用：（1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力在某种意义上，问题是数学的核心，对于很多数学问题，不论是代数问题还是几何问题，算法框图可以准确、清晰、直观地展示解决问题的过程。一个算法常常可以解决一类问题。因此，算法，一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。将解决具体问题的思路整理成算法的过程是一个条理化、精确化、逻辑化的过程，这有助于培养学生的逻辑思维能力。（2）算法学习有助于提高学生的信息素养信息技术正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式，掌握和使用信息技术已是现代人必备的素养，高中数学课程中已开设了信息技术课程。信息技术以计算机技术为核心，而计算机技术的核心则是算法。因此，算法的学习有助于学生理解信息技术的本质，提高学生的信息素养。 67、试述“中学代数研究”的研究方法？参考答案：答案要点：长期以来，对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向，即对中学代数知识用成熟的数学语言系统，逻辑地建立起来，中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化，毕竟这有助于对数学知识有更深入地认识和了解，但是单纯地为严格化而严格化，就失去了中学代数研究的重要目的。正如F.克莱因指出的，我们当然要用较高的观点处理初等数学知识，只有观点越高，事物越显得简单；另外，还要为中学数学教学服务，数学知识的讲授应当顾及到学生的心理，不应只讲究系统。为此，我们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手：(1) .从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的本质理解；例：为什么复数不能比较大小在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部。如果问：两复数不等时，它们有没有大小关系？其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。那么为什么复数不能比较大小呢？要弄清这个问题，必须要弄清什么是大小关系？什么是有序域？在以后的学习中，我们会知道大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。(二).用有机联系的观点来研究，丰富对中学代数知识的理解；数学各知识间具有有机联系性，这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间，而且在数学知识的各分支中，尤其是“数”与“形”的联系。在以后有关不等式的学习中，我们会突出这一点，即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。我们从几何的角度去处理代数知识或反过来，当把这种方法用于教学中时，学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。这体现了“中学代数教学”的一个基本原则：形式化与直观理解相结合。(三).适当注意对解题的研究，强化对中学代数知识理解的应用性。数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对数学解题方法的研究而已。 68、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？参考答案：有理数与循环小数的关系如果有理数p/q不是有限十进位小数，那么通过不断地作除法能表示为一个无限的十进位小数。在这一过程中，每次必然有一个非零的余数，否则这十进位小数是有限的。在除的过程中出现的所有不同余数将是1和q-1之间的整数，所以最多只能有q-1个不同的余数值，这意味着，最多除q次，某个余数k将第二次出现。但由此随后而来的所有余数，将按照余数k第一次出现后它们出现的同样次序重复。这说明任何有理数的十进位小数表示式是循环的；开始出现有限个数码，随后同样的一个数码或一组数码将无限次地出现。例如，1/6=0.16666666；1/7=0.142857142857；1/11=0.09090909等等。那些能表示为有限小数的有理数，也可以认为是一个循环小数，它在有限个数码之后，只是无限次地重复着数0。反之，所有循环小数都是有理数。例如，取无限循环小数P=0.3322222，我们有p=33100+10-32(1+10-1+10-2+)。括号中的表达式是一个无穷等比级数1+10-1+10-2+10-3+=11-110=109因此p=33100+10-32109=2970+209103=29909000=299900对一般情形的证明在实质上是一样的。所以，我们说，任何有理数的十进位小数表示式都是循环的；反之，所有循环小数都是有理数。69、方程的定义是什么？并说出这样定义的好处？参考答案：答案要点： 目前中学数学教科书通用的方程定义是：含有未知数的等式叫做方程。这个定义用的是“种+属差”的逻辑定义方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知数的”等式。由于它简洁明了，能为大家所认同和接受。 这个定义注重外观的描述，指出方程是通过已知数“求”未知数而产生的等量关系。但是“种+属差”的定义方式往往只能识别一个对象是不是方程，但是却无法从中获得方程的思想实质。识别不同于认识和理解。打个比方，我们可以通过照片识别一个人的外貌，却无法了解一个人的全部特质以及他的精神世界。 这里我们给出一个可以取代的定义： “方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系”。 这样定义的好处是： （1）它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； （2）陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系； （3）方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。 70、试述函数概念的历史发展，以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求，并简要阐述函数概念引入的教学策略。参考答案：答：函数概念的历史发展先后经历了函数的“变量说”、“对应说”、“关系说”等逐步精确化、形式化的过程；高中以函数为课程主线的具体体现和要求表现在以下几个方面：（1）在函数一般定义的基础上结合具体的函数模型，加深对函数的认识；（2）在研究函数的变化特征中刻画函数的几种性质，丰富对函数的理解；（3）将函数与其他内容相联系，突出函数思想的应用。在进行高中函数概念的教学中，根据学生的认知规律，可采用以下的教学策略：（1） 在函数概念建构之前，通过引发学生的认知冲突，实现认知结构的“顺应”；（2）在建构函数概念时，需要选择适宜的数学原型，利用数学原型归纳概括概念；（3）在剖析函数概念时，将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中，请学生思考；（4）在巩固函数概念时，提供类型丰富的题目（如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等），根据学生程度，设计有梯度的练习。71、什么是数学表达能力？请在算法的教学中举一例说明如何培养学生的数学表达能力？参考答案：所谓数学表达能力，是指将自己解决数学