误差理论与数据处理第六版答案

第第 1 章章 绪论绪论 1-1 研究误差的意义是什么？研究误差的意义是什么？简述简述误差理论的主要内容。误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义 （1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 （2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。 （3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理 想的结果。 误差理论的主要内容： （1）讨论形成误差的原因； （2）各类误差的特征及处理方法； （3）对测量结果进行评定。 1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么什么？ 答 1： 测量误差的定义：误差测得值真值。 测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗大误差。 各类误差的特点： （1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性； （2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定大小和符号，或者按一定规律变化； （3）粗大误差：误差值较大，明显地歪曲测量结果。 答 2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机 误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的 规律变化（大小和符号都按一定规律变化） ； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和 符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。 答 1： 相同点：都是测量值与真值之差。 不同点：误差的绝对值都是正值，而绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。 例：某长度的绝对误差为0.05mm，而该误差的绝对值为|0.05|mm0.05mm。 答 2： (1)误差的绝对值都是正数， 只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量， 不反映是“大了”还是“小 了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少 表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后 者是指系统本身标准值未定。 1-4 什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？ 答： （1）测量误差：测得值与被测量真值之差。 （2）修正值：为消除固定系统误差用代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。 （3）经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本身也含有误差。 1-5 测得某三角块的测得某三角块的三个角度之和为三个角度之和为 180 0002 ，试求测量的绝对误差和相对误差。 ，试求测量的绝对误差和相对误差。 解：真值为 180 绝对误差：21802000180 相对误差：%.000310 0660180 2 180 2 1-6 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为，已知其最大绝对误差为 1m，试问该被测件，试问该被测件 的真实长度为多少？的真实长度为多少？ 解：因为 L50mm，0.001mm 所以001000050 0 .LLmm 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力的用二等标准活塞压力计测量某压力的 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa，问二等标，问二等标 准活塞压力计测量值的误差是多少？准活塞压力计测量值的误差是多少？ 解：以 100.5Pa 未约定真值，则二等标准活塞压力计测量值的绝对误差和相对误差为 绝对误差：100.2Pa100.5Pa0.3Pa 相对误差：%. . . 30 5100 30 1-8 在测量某一长度时，读数为在测量某一长度时，读数为 2.31m，其最大绝对误差为，其最大绝对误差为 20m，试求其最大相对误差。，试求其最大相对误差。 解：最大相对误差为 %. m. m m. m 000870 312 1020 312 20 6 1-9 使用凯特摆时，使用凯特摆时，g 由公式由公式 2 21 2 4Thhg 给定。今测出长度（给定。今测出长度（h1h2）为）为（1.04230 0.00005） m， 振动时间， 振动时间 T 为 （为 （2.0480 0.0005） s。 试求。 试求 g 及其最大相对误差。 如果 （及其最大相对误差。 如果 （h1h2） 测出为 （） 测出为 （1.04220 0.00005） m，为了使，为了使 g 的误差能小于的误差能小于 0.001m/s2，T 的测量必须精确到多少？的测量必须精确到多少？ 解：设 l（h1h2） ，则 2 2 4 T l g （1）81049 04802 04230114159344 2 2 2 2 . . . T l g m/s2 （2）根据相对误差的概念： l fll1 0 ， T fTT1 0 其中：fl、fT分别为 l 和 T 的相对误差，如此有： Tl T l ff T l fT fl T l g214 1 1 4 4 2 0 02 2 2 0 02 2 2 所以 g 的相对误差为： %. . . . . fff Tlg 0510 04802 00050 2 042301 000050 2 （3）要求0010.g m/s2，且（h1h2）（1.04220 0.00005）m 根据 Tlg fff2以及 g g fg 可得 0000480 1042209 0010 . . . g g fg 因此0000260 2 1 .fff lgT 又 T T fT ，故000050.TfT T s。所以，T 的测量必须精确到 0.00005s。 1-10 检定检定 2.5 级（即引用误差为级（即引用误差为 2.5%）的全量程为）的全量程为 100V 的电压表，发现的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？为最大误差，问该电压表是否合格？ 解：因为最大误差为 2V，故该表的引用误差为 %.%522 100 2 所以该电压表示合格的。 1-11 为什么在使用微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的为什么在使用微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的 2/3 范围内使用？范围内使用？ 答：对于一个确定的电表，其等级是一定的，此时 最大绝对误差：%sxx mm 最大相对误差：%s x x x x r mm x 由此可见，随着 x（测量读数）增大，相对误差减小，超过 2/3 之后，最大相对误差在可接受范围内。 所以总是希望指针在全量程的 2/3 范围内使用。 1-12 用两种方法分别测量用两种方法分别测量 L150mm，L280mm。测得值各为。测得值各为 50.004mm、80.006mm。试评定两种方。试评定两种方 法测量精度的高低。法测量精度的高低。 解：由于使用两种不同的方法，测量的是两个不同的长度，故只能用相对误差进行比较。 L1：00405000450 1 .mm， 5 1 1 108 50 0040 . L L2：00605000680 2 .mm， 5 2 2 1057 80 0060 . . L 即： 2 2 1 1 LL ，所以对 L2的测量精度较高。 1-13 多级弹道火箭的射程为多级弹道火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过时，其射击偏离预定点不超过 0.1km；在射击场中，优秀射手能；在射击场中，优秀射手能 在距离在距离 50m 远处准确地射中直径为远处准确地射中直径为 2cm 的靶心。试评述哪一个射击精度高？的靶心。试评述哪一个射击精度高？ 解：多级弹道火箭：%. . 0010 10000 10 射手：%. . 020 50 010 比较结果表明，多级弹道火箭的射击精度较高。 1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度若用两种测量方法测量某零件的长度 L1110mm，其测量误差分别为，其测量误差分别为11m 和和9m；而用第三；而用第三 种测量方法测量另一种零件的长度种测量方法测量另一种零件的长度 L2150mm，其测量误差为，其测量误差为12m，是比较三种测量方法精度的高，是比较三种测量方法精度的高 低。低。 解：第一、二种方法测量的是同一个零件的长度，因此，可以直接用其绝对误差进行比较。根据题意， 第二种测量方法精度高于第一种。 第三中采用了其它方法，测量的是另一零件的长度，因此，用相对误差进行比较 因为000080 150 12 0000820 110 9 . mm m . mm m 。 所以， 第三种方法的测量精度最高， 第二种次之， 第一种最低。 1-15 某量值某量值 y 由被测量由被测量 x 表示为表示为xxy24 ，若，若 x 的相对误差为的相对误差为 1%时，求时，求 y 的相对误差是多少。的相对误差是多少。 解：设 x 的相对误差为 fx，则 xx0（1+fx） x x fx fxy 1 2 14 0 0 xx f x fx1 2 14 0 0 x f x x21 2 4 0 0 所以，y 的相对误差为 2fx2%。 1-16 如何根据测量误差的特点来减小或消除测量误差？如何根据测量误差的特点来减小或消除测量误差？ 答： （1）随机误差：由于具有抵偿性，可通过多次测量的算术平均值减小或消除测量误差。 （2）系统误差：A.找出系统误差产生的原因，从根源上消除；B。找出系统误差的变化规律，在最 后结果中加以修正。 （3）粗大误差：直接从测量数据中剔除掉。 1-17 什么是有效数字及数字舍入有哪些规则？什么是有效数字及数字舍入有哪些规则？ 答： （1）有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数 左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。 且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字， 无 论是零还是非零的数字，都叫有效数字。 （2）数字舍入规则： A.若舍去部分的数值大于保留部分的末尾的半个单位，则末尾加 1。 B.若舍去部分的数值小于保留部分的末尾的半个单位，则末尾不变。 C.若舍去部分的数值等于保留部分的末尾的半个单位，则末尾凑成偶数，即末尾为偶数时不变，末 位为奇数时加 1。 1-18 根据数据运算规则，分别计算下是结果：根据数据运算规则，分别计算下是结果： （1）3151.065.87.3260.416152.28？ （2）28.13 0.037 1.473？ 解： （1）以 65.8 为基准，其余各数多取一位，则有 原式3151.065.87.330.42152.283376.833376.8 （2）以 28.13 为基准，其余各数多取一位，则有 原式28.13 0.037 1.4731.0411.473=1.53341.53 1-19 在测量实践中有效数字的作用以及它与测量精度的关系如何？试举例说明之。在测量实践中有效数字的作用以及它与测量精度的关系如何？试举例说明之。 第第 2 章章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理 2.1 试述标准差试述标准差、平均误差、平均误差和或然误差和或然误差的几何意义？的几何意义？ 答： 从几何学的角度出发， 标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数； 从 几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度； 2.2 试述单次测量的标准差试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差和算术平均值的标准差 x ，两者的物理意义及实际用途有何不同两者的物理意义及实际用途有何不同? 答：单次测量标准差指测量列的标准差，描述的是测量列各测量点偏离测量列平均值的程度，计算可以 通过贝塞尔公式得到；算术平均值标准差指不考虑系统误差的情况下测量列的平均值偏离真实值的程 度；它们之间的关系可以用公式获得。 2.3 试分别求出服从正态分布、反正试分别求出服从正态分布、反正弦弦分布、均匀分布误差落在分布、均匀分布误差落在2,2中的概率？中的概率？ 2.4 测量某物体重量共测量某物体重量共8次，测得数据（单位为次，测得数据（单位为g）为）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48， 236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。，求其算术平均值及其标准差。 【解】选参考值00.236 0 x，计算差值00.236 0 iii xxxx、 0 x和残差 i v等列于表中。 序号 xi xi vi vi2 1 236.45 0.45 0.02 0.0004 2 236.37 0.37 -0.06 0.0036 3 236.51 0.51 0.08 0.0064 4 236.34 0.34 -0.09 0.0081 5 236.39 0.39 -0.04 0.0016 6 236.48 0.48 0.05 0.0025 7 236.47 0.47 0.04 0.0016 8 236.40 0.40 -0.03 0.0009 求和 1891.41 3.41 -0.03 0.0251 测量次数 平均值 平均值 8 236.43 0.43 参考值 236.00 43.26343. 000.263 00 xxx 43. 0 8 1 8 1 0 i i xx 或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：)(43.236/ 1 gnlx n i i 计算标准差：用贝塞尔公式计算:)(0599. 0 18 0251. 0 1 1 2 g n v n i i 2.5 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-4的标准差，并比较之。的标准差，并比较之。 【解】（1）用别捷尔斯法计算 )(0687. 0253. 1253. 1 78 41. 0 )1( 1 g nn v n i i （2）用极差法计算 8个测量数据的极差为： 17. 034.23651.236 43minmax xxxx n 查教材P20表2-4，n=8时85. 2 n d 0596. 0 85. 2 17. 0 n n d (g) （3） 最大误差法计算 8个测量数据的最大残差为：09. 0 4 max vvi 查教材P20表2-5，n=8时， /1 n k0.61 0549. 061. 009. 0 max n i k v 2.6 测量某电路电流共测量某电路电流共5次，测得数据（单位为次，测得数据（单位为mA）为）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求，试求 算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 【解】选参考值x0=168.5，计算差值5 .168 ii xx、 0 x和残差 i v等列于表中。 序号 xi xi vi vi2 |vi| 1 168.41 -0.09 -0.078 0.006084 0.078 2 168.54 0.04 0.052 0.002704 0.052 3 168.59 0.09 0.102 0.010404 0.102 4 168.40 -0.10 -0.088 0.007744 0.088 5 168.50 0.00 0.012 0.000144 0.012 求和 842.44 -0.06 0.000 0.02708 0.332 算术平均值 168.488 -0.012 或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：488.168 5 1 i xx（mA） 计算标准差：用贝塞尔公式计算：0823. 0 4 02708. 0 1 5 1 2 n v i i ( mA) 若用别捷尔斯法计算：0930. 0253. 1253. 1 45 332. 0 )1( 5 1 nn v i i 用极差法计算：n=5时dn=2.33，0815. 0 33. 2 40.16859.168 n n d (mA) 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据： 或然误差：0549. 00823. 0 3 2 3 2 ( mA )； 平均误差：06584. 00823. 0 5 4 5 4 ( mA) 算术平均值的标准差 x ：037. 0 5 0823. 0 n x 算术平均值或然误差R：0247. 0037. 0 3 2 3 2 x R ( mA) 算术平均值平均误差T：0296. 0037. 0 5 4 5 4 x T ( mA) 2.7 在立式测长仪上测量某校对量具， 重复测量在立式测长仪上测量某校对量具， 重复测量5次， 测得数据 （单位为次， 测得数据 （单位为mm） 为） 为20.0015， 20.0016， 20.0018， 20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。的置信概率确定测量结果。 【解】 序号 xi vi vi2 |vi| 1 20.0015 0.0000 0.00000000 0.0000 2 20.0016 0.0001 0.00000001 0.0001 3 20.0018 0.0003 0.00000009 0.0003 4 20.0015 0.0000 0.00000000 0.0000 5 20.0011 -0.0004 0.00000016 0.0004 求和 100.0075 0.0000 0.00000026 0.0008 平均 20.0015 求算术平均值x： 0015.20/ 5 0075.100 1 nxx n i i (mm) 求残余误差：各次测量的残余误差依次为0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。 求测量列单次测量的标准差 用贝塞尔公式计算： 000255. 0 15 1026 1 8 1 2 n v n i i （mm） 用别捷尔斯公式计算：000244. 0253. 1253. 1 45 0008. 0 )1( 1 nn v n i i （mm） 求算术平均值的标准差 000144. 0 5 000255. 0 n x ； 0001. 0 5 000244. 0 n x 求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2(t)=99%，则(t)=0.495，查附录表1正态分布积分 表，得置信系数t=2.6。故： 单次测量的极限误差： 00066. 0000255. 06 . 2 lim tx 算术平均值的极限误差：0003. 0000144. 06 . 2 lim x tx 求得测量结果为：0003. 00015.20 lim x txxxx（mm） 2.8 对某工件进行对某工件进行5次次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差=0.005mm，若要求测量结果的置，若要求测量结果的置 信概率为信概率为95%，试求其置信限。，试求其置信限。 【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t分布求置信限（极限误差）。 已知：P=95%，故显著度=1P0.05；而自由度n1514。 根据显著度=0.05和自由度查附录表3的t分度表，得置信系数ta=2.78。 所以算术平均值的置信限为： 00622. 078. 2 5 005. 0 lim x tx （mm） 2.9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差=0.004mm，若要求，若要求测量结果的置信测量结果的置信 限为限为 0.005mm，当置信概率为，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。时，试求必要的测量次数。 【解】 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率：P=99%， 查正态分布表有：t=2.6， 则置信限为： 005. 06 . 2 004. 0 lim nn x ttx （给定值） 求得：n=4.32，取n=5. 若测量误差符合t分布 已知置信概率：P=99%，则显著度=0.01， 由置信限： 005. 0 lim n x ttx 有关系： 125. 125. 1vnt 当显著度=0.01时，=7，查t分度表，有ta=3.50，满足上述等式。 即求得：n=+1=8为必要的测量次数。 2.10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差=0.001mm，若要求测量的允许极限误差为，若要求测量的允许极限误差为 0.0015mm，而置信概率，而置信概率P为为0.95时，应测量多少次。时，应测量多少次。 【解】本题与2-9相似。 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96， 则极限误差为： 0015. 09 . 1 001. 0 lim nn x ttx （给定值） 求得：n=1.7，取n=2. 若测量误差符合t分布 已知置信概率：P=0.95，则显著度=0.05， 由极限误差： 0015. 0 lim n x ttx 有关系：15 . 15 . 1vnt 当显著度=0.05时， =3，查t分度表，315 . 118. 3vt（不合要求） =4，查t分度表，354. 315 . 178. 2vt（满足要求） 即求得：n=+1=4+1=5 为必要的测量次数。 2-11 已知某仪器测量的标准差为已知某仪器测量的标准差为0.5m。 若在该仪器上， 对某一轴径测若在该仪器上， 对某一轴径测量一次， 测得值为量一次， 测得值为26.2025mm， 试写出测量结果。试写出测量结果。若重复测量若重复测量10次，测得值（单位为次，测得值（单位为mm）为）为 26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022， 试写出测量结果。试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中中10次重复测量的测量值，写出次重复测量的测量值，写出 上述上述、的测量结果。的测量结果。 【解】 序号 xi xi vi vi2 1 26.2025 0.0005 0.0000 0.00000000 2 26.2028 0.0008 0.0003 0.00000009 3 26.2028 0.0008 0.0003 0.00000009 4 26.2025 0.0005 0.0000 0.00000000 5 26.2026 0.0006 0.0001 0.00000001 6 26.2022 0.0002 -0.0003 0.00000009 7 26.2023 0.0003 -0.0002 0.00000004 8 26.2025 0.0005 0.0000 0.00000000 9 26.2026 0.0006 0.0001 0.00000001 10 26.2022 0.0002 -0.0003 0.00000009 求和 262.025 0.005 0.0000 0.00000042 算术平均值 26.2025 0.0005 参考值 26.202 测量次数 10 若按正态分布，tx lim ，xxx lim ，取t=3 mmxxx)0015. 02025.26( lim 若按正态分布，tx lim ，xxx lim ; 单次测量的标准差0005. 0mm 算术平均值的标准差 n x =0.000158mm 算术平均值的极限误差 x tx lim =0.000474mm 因此，取t=3，测量结果：mmxxx)0005. 02025.26( lim 。 根据贝塞尔公式 1 10 1 2 n v i i ，可以求得 单次测量的标准差 1 10 1 2 n v i i =0.000216025mm=0.000216mm 算术平均值的标准差 n x =0.000683mm 单次测量的极限误差tx lim 算术平均值的极限误差 x tx lim 因此，取t=3，对，测量结果：mmxxx)0006. 02025.26( lim 对，测量结果：mmxxx)0002. 02025.26( lim 。 2.12 某时某地由气压表得到的读数（单位为某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65， 101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平，试求加权算术平 均值及其标准差。均值及其标准差。 【解】 序号 xi pi pixi vi vi2 pivi2 |vi| 1 102523.85 1 102523.85 495.51 245530.16 245530.1601 495.51 2 102391.3 3 307173.90 362.96 131739.962 395219.8848 362.96 3 102257.97 5 511289.85 229.63 52729.9369 263649.6845 229.63 4 102124.65 7 714872.55 96.31 9275.6161 64929.3127 96.31 5 101991.33 8 815930.64 -37.01 1369.7401 10957.9208 37.01 6 101858.01 6 611148.06 -170.33 29012.3089 174073.8534 170.33 7 101724.69 4 406898.76 -303.65 92203.3225 368813.29 303.65 8 101591.36 2 203182.72 -436.98 190951.52 381903.0408 436.98 求和 816463.16 36 3673020.33 平均 102057.895 102028.34 加权 102028.34 236.44 1905077.147 由计算加权算术平均值及其标准差的公式直接计算。 加权算术平均值为： )(34.1020283425.102028 36 33.3673020 24687531 36.101591269.101724401.101858633.101991865.102124797.10257530.102391385.1025231 1 1 a p xp p x m i i m i ii 加权算术平均值的标准差的计算，先求各测量结果的残余误差（见上表中）： 算术平均值的标准差为： 147.1905077)98.436(2)65.303(4)33.170(6 )01.37(831.96763.229596.362351.4951 222 222222 1 i m i iv p 13 )(95.86 36)18( 147.1905077 )1( 1 2 a pm vp x p i m i i m i ii 2-13 测 量 某 角 度 共 两 次 ， 测 得 值 为测 量 某 角 度 共 两 次 ， 测 得 值 为633124 1 ， 241324 2 ， 其 标 准 差 分 别 为， 其 标 准 差 分 别 为 8 .13,1 . 3 21 ，试求加权算术平均值及其标准差。，试求加权算术平均值及其标准差。 【解】：961:19044 1 : 1 : 2 2 2 1 21 pp 351324 96119044 4961 1619044 201324 x 0 . 3 96119044 19044 1 . 3 2 1 i i i xx p p i 2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角一锥体的锥角各重复测量各重复测量 5 次，测得值如下：次，测得值如下： ;5127 ,0227 ,5327 ,037 ,0227: 甲 ;5427 ,0527 ,0227 ,5227 ,5227: 乙 试求其测量结果。试求其测量结果。 【解】甲： 20 60 35 20 15 7 27 230 5 x 甲 5 2 1 5 1 i i v 22222 甲 （-10）（30） 5 （-10）（-15） 4 1 8 . 4 x 1 8 . 4 8 . 2 3 55 甲 甲 乙： 25 25 20 50 45 7 27 233 5 x 乙 5 2 1 13 5 1 i i v 22222 乙 （-8）（-8）（）（17）（12） 4 13.5 x 13.5 6.04 55 乙 乙 2222 xx 1111 :3648:6773 8.236.04 pp 乙 乙甲 甲 3648 30 6773 33 7 2 36486773 p xp x x pp 甲乙 乙甲 乙甲 7 232 78 . 4 67733648 3648 32 . 8 乙甲 甲 甲 pp p xx 15 32 273 x xX 2.15试证明试证明n个相等精度测得值的平均值的权乘以任一个测量值的权。个相等精度测得值的平均值的权乘以任一个测量值的权。 2.16 重力加速度的重力加速度的20次测量具有平均值为次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为、标准差为0.014m/s2。另外。另外30次测量具有平均值次测量具有平均值 9.802m/s2、标准差为、标准差为0.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准次测量的平均值和标准 差。差。 【解】已知20次测量的标准差1=0.014(m/s2)，30次测量的标准差2=0.022(m/s2)，由此可确定其权的大 小。 2222 12 1111 12 0.0140.022 :121:49pp 然后再按不精度测量有关公式直接计算。 50次测量的加权算术平均值： 2 2 1 1 2 1 121 9.811 49 9.802 121 49 9.8084 i i i i p v p x (m/s2) 50次测量的加权算术平均值的标准差： 1 1 121 1121 49 0.0140.012 m i i p xx p 或： 2 1 49 2121 49 0.0220.012 m i i p xx p 2.17 对某量进行对某量进行10次测量，测得数据为次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0， 试判断该测量列中是否存在系统误差。试判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值：14.96x 。各测量数据的残余误差分别为： 序号 xi vi vi2 |vi| 1 14.7 -0.26 0.0676 0.26 2 15.0 0.04 0.0016 0.04 3 15.2 0.24 0.0576 0.24 4 14.8 -0.16 0.0256 0.16 5 15.5 0.54 0.2916 0.54 6 14.6 -0.36 0.1296 0.36 7 14.9 -0.06 0.0036 0.06 8 14.8 -0.16 0.0256 0.16 9 15.1 0.14 0.0196 0.14 10 15.0 0.04 0.0016 0.04 求和 149.6 0.0 0.624 2 平均 14.96 从表中可以看出： 1 0.26v 2 0.04v 3 0 . 2 4v 4 0 . 1 6v 5 0 . 5 4v 6 0.36v 7 0.06v 8 0.16v 9 0.14v 10 0.04v 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断 该测量列无变化的系统误差存在。 采用不同公式计算标准差比较法。 按贝塞尔公式： 2 10.624 1110 1 0.263 n i i v n 用别捷尔斯法计算： 12 2 (1)10 9 1.2531.2530.264 n i i v n n 令： 2 1 0.264 0.263 1.0041 u 因为： 22 110 1 0.6670.004 n u ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值为 510 16 0.4(0.4)0.8 ij ij vv 两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。 （为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差-这就提醒我们在判 断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。） 2.18 对一线圈电感测量对一线圈电感测量10次，前次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得次是和另一个标准线圈比较得 到的，测得结果如下（单位为到的，测得结果如下（单位为mH）：）：50.82，50.83，50.87，50.89，50.78，50.78，50.75，50.85，50.82， 16 50.81。 试判断前试判断前4次与后次与后6次测量中是否存在系统误差。次测量中是否存在系统误差。 序号 xi vi vi2 |vi| 1 50.82 0.00 0.0000 0.00 2 50.83 0.01 0.0001 0.01 3 50.87 0.05 0.0025 0.05 4 50.89 0.07 0.0049 0.07 5 50.78 -0.04 0.0016 0.04 6 50.78 -0.04 0.0016 0.04 7 50.75 -0.07 0.0049 0.07 8 50.85 0.03 0.0009 0.03 9 50.82 0.00 0.0000 0.00 10 50.81 -0.01 0.0001 0.01 求和 508.20 0.00 0.0166 0.32 平均 50.82 【解法一】 用t检验法进行检验 前4次测量的算术平均值： 1 4 50.8525xx 后6次测量的算术平均值： 1 6 50.7983yy 2 2 1 4 ()0.00082 xi xx 22 1 6 ()0.00105 yi yy 1 212 22 1212 (2)4 6(4 6 2) (4 6)(4 0.00082 6 0.00105) ()() ()(50.852550.7983)2.44 xy n nnn nnnn txy 由=4+6-2=8及取=0.05，查t分布表，得ta=2.31。 因2.442.31tt，可判断两组数据可能存在系统误差。 【解法二】用秩和检验法进行检验。将两组数据按从小到大混合排列成下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 50.82 50.83 50.87 50.89 yi 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 50.85 已知：n1=4，n2=6；计算秩和T：Tx=5.5+7+9+10=31.5，Ty=1+2+3+4+5.5+8=23.5(取测量次数较少一组 的秩) 查表：T-=14，T+=30； 因：T=31.5 T+=30，可判断两组数据可能存在系统误差。 【解法三】用计算数据比较法检验。两组数据的算术平均值和标准差分别为： 第一组数据： 1 4 50.8525xx ； 2 3 13 . 7 2 5 71 0 141 0 . 0 3 3 n i i v xn 第二组数据： 1 6 50.7983yy ； 2 4 16 2 . 8 3 3 41 0 161 0 . 0 3 5 n i i v yn 注：若以极差法计算标准差，计算结果也相近： 50.89 50.82 12.06 0.034 n n d ； 50.85 50.75 22.53 0.04 n n d 两组数据算术平均值之差为：50.8525 50.79830.0542xy 其标准差为： 2222 12 0.0330.0350.0481 因： 22 12 0.054220.0962 ，故两组数据间无系统误差。 （以上计算，本人经过多次推导，应该无误！解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结论，原因何在？ 请同学们仔细分析。） （本人分析原因如下：所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布，因此不能用 t 检验法检验； 解法三在计算标准差时，因测量次数少，用贝塞尔公式计算标准差误差大；极差法计算标准差也是要求 测量误差服从正态分布；解法二适合非正态分布的误差，得出的结论正确；以上几种系统误差的判 别法具有一定的适应范围，有局限性。） 2.19 等精度测得某一电压等精度测得某一电压 10 次，测得结果（单位为次，测得结果（单位为 V）为）为 25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02， 26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而判明是否因接触不良而 引入系统误差，将接触改善后，又重新做了引入系统误差，将接触改善后，又重新做了 10 次等精度测量，测得结果（单位为次等精度测量，测得结果（单位为 V）为）为 25.93，25.94， 25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。试用。试用 t 检验法（取检验法（取 =0.05）判断两组测量）判断两组测量 值之间是否有系统误差。值之间是否有系统误差。 【解】计算两组测量结果的算术平均值： 1 组 2 组 序号 xi vi vi2 |vi| 序 号 xi vi vi2 |vi| 1 25.94 -0.06 0.0036 0.06 1 25.93 -0.04 0.0016 0.04 2 25.97 -0.03 0.0009 0.03 2 25.94 -0.03 0.0009 0.03 3 25.98 -0.02 0.0004 0.02 3 25.98 0.01 0.000