12初一数学闵行自招贺老师班 勾股定理及逆定理学生版

1 / 9 第第十十二二讲讲 勾股定理勾股定理 【知识点归纳】【知识点归纳】 1 1、定理定理：在直角三角形中，斜边：在直角三角形中，斜边直角边。直角边。 2 2、勾勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 已知如图，已知如图，ABCRt 中，中， 90C，求证：，求证： 222 bac 。 传说传说中毕达哥拉斯的证法：如图中毕达哥拉斯的证法：如图1，左边的正方形是由左边的正方形是由1个边长为个边长为a的正方形和的正方形和1个边长为个边长为b的正的正 方形以及方形以及4个直角边分别为个直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c的直角三角形拼成的。右边的正方形是由的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为个边长为c的的 正方形和正方形和4个直角边分别为个直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等（边的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等（边 长都是长都是ba ），所以可以列出等式：），所以可以列出等式：abcabba 2 1 4 2 1 4 222 ，化简得，化简得 222 bac 。 3 3、勾勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和， 那么这个三角形是直角股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和， 那么这个三角形是直角 三角形。三角形。 4 4、如果如果正整数正整数 a 、b、c，满足满足 222 cba ，那么，那么a、b、c叫做勾股数组。叫做勾股数组。 （1 1）常见的勾股数组有：常见的勾股数组有： 3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 8、15、17； 9、40、41等。等。 （2 2）勾股数组的正整数倍也是勾股数组。）勾股数组的正整数倍也是勾股数组。 如如3、4、5的的3倍：倍：9、12、15；又如；又如5、12、13的的2倍：倍：10、24、26；都是勾股数组。；都是勾股数组。 （3 3）以勾股数组中的三个数分别为三边长的三角形是直角三角形。）以勾股数组中的三个数分别为三边长的三角形是直角三角形。 2 / 9 【例题与练习】【例题与练习】 1. 如图，在三角形如图，在三角形 ABC 中，中，AB=AC=m，P 为为 BC 上任意一点，上任意一点，求求PCPBPA 2 的值的值。 2. 如图，三角形如图，三角形 ABC 中，中，AB AC，AHBC，M 为为 AH 上异于上异于 A 的一点，的一点，试试比较比较 ABAC 与与 MBMC 的大小的大小。 3 / 9 3. 如图，三角形如图，三角形 ABC 中，中，BACC,900的平分线交的平分线交 BC 于于 D，且，且 CD=15，AC=30，求求 AB 的的 长度长度。 4. 一个三角形，三边长均为整数，且面积也是整数，如果它的一边长为一个三角形，三边长均为整数，且面积也是整数，如果它的一边长为 21，周长为，周长为 48，求求它的最短它的最短 边的长。边的长。 4 / 9 5. 如图，三角形如图，三角形 ABC 中，中，AB=AC=20，BC=32，ADAC，AD 交交 BC 于于 D，求求 BD 的值。的值。 6. 如图，在三角形如图，在三角形 ABC 中，中，AB=AC=8，BA 5 2 ，求求 BC。 5 / 9 7. 如图，已知如图，已知 00 90,60DBA，AB=2，CD=1，求求 BC、AD 的长。的长。 8. 如图，已知三角形如图，已知三角形 ABC 中，中，BC=28，AC=25，AB=17，求求三角形三角形 ABC 的面积。的面积。 6 / 9 9. 如图，在三角形如图，在三角形 ABC 中，中， 0 90C，若三角形内有一点，若三角形内有一点 O，使得三角形，使得三角形 OAB，三角形，三角形 OAC 和和 三角形三角形 OBC 的面积彼此相等，则的面积彼此相等，则 222 50COBOA。 10. 如图，已知三角形如图，已知三角形 ABC 中，中，AB=AC，DE/BC，求证：，求证：DEBCECBE 22 。 7 / 9 11. 已知平行四边形已知平行四边形 ABCD 的周长为的周长为 52， 自顶点， 自顶点 D 作作 DEAB 于于 E， DFBC 于于 F， 若， 若 DE=5， DF=8， 求求 BE+BF 的大小。的大小。 12. 如图， 在等腰直角三角形如图， 在等腰直角三角形ABC中，中， 0 90ACB， CA=CB， P， Q在斜边在斜边AB上， 且上， 且 0 45PQC ， 求证：求证： 222 BQAPPQ。 8 / 9 13. 如图， 已知三角形如图， 已知三角形 ABC 中，中， 0 90BAC， E、 D 是是 BC 的三等分点。 求证：的三等分点。 求证： 222 9 5 BCADAE。 9 / 9 【课后作业【课后作业】 1. 如图，三角形如图，三角形 ABC 中，中，,900CAD 平分平分, 5,DBBA