2017_18学年高中数学第三章3.4曲线与方程3.4.1曲线与方程课件.pptx

3.4.1曲线与方程,1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的基本思想.2.体会解析几何的本质,用坐标法研究几何图形的知识,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,进而通过研究方程来研究曲线的性质.3.掌握求曲线方程的一般方法,进一步体会曲线与方程的关系,感受解析几何的思想方法.,1.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解满足以下关系:如果曲线C上点的坐标(x,y)都是这个方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.,【做一做1-1】已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线l与直线l的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.斜交解析:点P1(x1,y1)在直线l:f(x,y)=0上,f(x1,y1)=0.f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即l为f(x,y)=-f(x2,y2).点P2(x2,y2)在直线l外,f(x2,y2)=k0.l为f(x,y)=-k,即f(x,y)+k=0.答案:A【做一做1-2】已知曲线x2+y2=Ax+By+C过原点,则必有.答案:C=0,2.点在曲线上的充要条件如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.说明:证明方程的曲线或曲线的方程需证明两条:(1)曲线上点的坐标都是方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.可设曲线上任意一点的坐标,依据曲线的性质,写出该点坐标满足的条件,看是否与方程一致;同时还要看以方程的任一解为坐标的点是否适合曲线上的点的要求.方程与曲线从两个不同的方面反映两个量x,y的同一关系.,A.1B.2C.3D.4答案:C【做一做2-2】“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B,3.求曲线方程的基本方法求曲线方程一般有下列五个步骤:(1)建立适当的直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M);(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式(必须是等价变形);(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简记为:建系设点、列式、代换、化简、证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思把点的坐标代入方程检验点是否在方程表示的曲线上时,一定要注意方程有限制条件的情况.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,解:方程(1)是表示直线l的方程,而(2)(3)(4)都不是表示直线l的方程.理由如下:方程(2)中,直线上的点的坐标不全是方程的解,如点(-1,-1)不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论;方程(3)中,虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”,但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在直线l上,如点(2,-2)不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论;方程(4)既不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”,也不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】证明:圆心为P(a,b),半径为r的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.证明:设点M(x0,y0)是圆上任意一点,所以点M到圆心P的距离等于r,所以=r,也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2,即(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解;设(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解,题型一,题型二,题型三,题型四,则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2,两边开方取算术平方根,得即点M(x0,y0)到点(a,b)的距离等于r,所以点M(x0,y0)是这个圆上的点.综上可知,(x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为P(a,b),半径为r的圆的方程.,反思证明方程的曲线或曲线的方程须证明两点:(1)曲线上的坐标都是方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.分析一:设M(x,y),利用kPAkPB=-1建立等式求解.分析二:利用直角三角形的性质,|PM|=|AB|,建立等式求解.分析三:由A,O,B,P四点共圆,则有|OM|=|PM|.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(方法一)如图所示,设点M的坐标为(x,y).M为线段AB的中点,点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y).l1l2,且l1,l2过点P(2,4),PAPB,kPAkPB=-1.整理,得x+2y-5=0(x1).当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),也满足方程x+2y-5=0.综上可知,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,(方法三)如图所示,设点M的坐标为(x,y),连接PM,OM.由l1l2,知A,O,B,P四点共圆,AB为圆的直径,M为圆心,则有|OM|=|MP|.化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.反思求曲线的轨迹方程,事实上就是探求动点横纵坐标之间满足的关系式.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】如图所示,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P向x轴作垂线段PP1,P1为垂足,延长P1P到点Q,使得|P1P|=|PQ|,求当点P在圆上运动时,动点Q的轨迹方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点方程变形不等价,造成范围扩大【例4】点M与点P(2,2)连线的斜率是它与点Q(-2,0)连线斜率的2倍,求点M的轨迹方程.错解:设点M的坐标为(x,y),化简整理,得点M的轨迹方程为xy+2x-6y+4=0.错因分析:因为直线PM和直线MQ的斜率都存在,所以在中,x2,但在中却有x=2,此时P(2,2)和Q(-2,0)在方程表示的曲线上,其原因是从到是非等价变形,使x的范围扩大了.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:设点M的坐标为(x,y),当x=2时,直线PM的斜率不存在;当x=-2时,直线MQ的斜率不存在,均不合题意;当x2时,由已知得化简整理,得点M的轨迹方程为xy+2x-6y+4=0(x2).,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】已知一条曲线,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.分析:由已知点A(0,2)可知本题已有确定的坐标系,此时应注意所设点到x轴的距离应等于所设点纵坐标的绝对值,而不等于所设点的纵坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:如图所示,设曲线上任一点M的坐标为(x,y),|MA|为点M到点A(0,2)的距离,|MB|为点M到x轴的距离.根据题意,动点M所满足的关系式为|MA|-|MB|=2.A(0,2),当y0时,上式可化简为x2=8y;当y0时,上式可化简为x=0.