《机械优化设计》习题及答案

机械优化设计课题及参考回答1-1 .简述优化设计问题的数学模型的表现形式。答：优化问题的数学模型实际上是优化设计问题的数学抽象。 在明确了设计变量、约束条件、目标函数后，优化设计问题可以用一般的数学形式表示。 求设计变量向量且满足制约条件2-1 .什么是函数的梯度？ 坡度对设计优化有什么意义？a :二元函数f(x1，x2 )在x0点的方向导数的公式改写如下令称为函数f(x1，x2 )在x0点的梯度。(1)梯度方向是函数值变化最快的方向，梯度模型是函数变化率的最大值。(2)梯度与切线方向d垂直，梯度方向推定为同值面法线方向。 梯度方向是函数的变化率最大的方向，即最快的上升方向。 负梯度-方向是函数变化率最小的方向，即最快的下降方向。2-2 .求出二项函数f(x1，x2)=2x12 x22-2x1 x2时，函数变化率最高大的方向和数值。解：函数的变化率最大的方向为梯度的方向，因此在此用单位向量p表示，函数的变化率为最大和数值时的梯度的模。 求出f(x1、x2)在x0点的坡度方向和数值，计算如下=2-3 .求出目标函数的点x0= 1，0 t处的最下降方向，并求出沿该方向移动单位长度后的新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导函数函数在x0= 1，0 t下的最快下降方向是此方向的单位向量如下新的一点是新点的目标函数值2-4 .什么是凸集、凸函数和凸计划？ (要求分配图)答：如果连接点集(或区域)中任一点x1、x2的线都包含在此集中，则该点集称为凸集，否则称为非凸集。函数f(x )是凸集合定义域内的函数，并且对于任何和凸集合域内的任何两点x1，x2，存在以下不等式f(x )是图集中定义的凸函数。约束优化问题如果是凸函数，就把这个问题称为凸规划。3-1 .简述一维搜索区间消去法的原理。 (需要配图)a :搜索区间(a，b )决定后，逐渐缩短搜索区间，找到极小点的数值近似解。 假设取搜索区间(a、b )内的任意两点a1、b1、a1b1，计算函数值f(a1)、f(b1)。 有三种可能性：1)f(a1)f(b1 )函数为单谷，因此极小点必须在区间(a，b1 )内2)f(a1)f(b1 )也同样，极小点应位于区间(a1、b )内3)f(a1)=f(b1 )这个极小点应该在(a1，b1 )内3-2 .简述黄金分割法的探索过程和程序框图。其中，是未定常数。3-3 .如果给出了函数的搜索区间，则写入金分割法是求极小点的前三次搜索过程。 (需要列表)黄金分割法的探索过程序列号a.aa1a2乙组联赛y1.y1比较Y20-5-1.181.185-0.96763.75241-5-2.639-1.181什么？1.686-0.9672什么？-1.18-0.2791.18-0.9676-0.483-2.639-1.737-1.181什么？-0.457-0.4823-4 .用二次内插法求出f(x)=sin(x )的区间 2，6 的极小点，写出计算顺序和反复式，给出的初始点x1=2，x2=4，x3=6，=10-4。解答：1234x1244.555555574.55555557x244.555555574.736564.72125x36664.73656y1.y10.-0-0-0y2-0-0-0-0y3-0-0-0-0xp系列4.555555574.736564.721254.71236yp-0-0-0-1重复次数K=4，极小点为4.71236，最小值为-1、收敛条件：简述了无约束优化方法中梯度法、共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。a :梯度法使用负梯度方向作为搜索方向，最快递减函数值，并且相邻两个迭代点的函数彼此垂直，即，相邻两个搜索方向彼此垂直。 也就是说，在梯度法中，迭代点接近函数的极小点的过程将遵循曲折的路径。 这次的检索方向与上次的检索过程正交，成为“no”字的锯齿状。 从直观上来看，在远离极小点的位置，函数值会在每次迭代中大幅下降。 但是，在接近极小点的位置，由于之字形现象，每次反复进行的距离变短，收敛速度变慢。 这种情况似乎与“最速下”的名称相矛盾，其实不是因为梯度是函数的局部性质。 从局部来看，在一点附近函数的下降是最快的，但是从整体来看，由于走的曲线很多，函数的下降不是很快。共轭梯度法是共轭方向法的一种，因为在该方法中各个共轭的量依赖于反复点的负梯度构成，所以称为共轭梯度法。 将该方法最初的搜索方向作为负梯度方向，这是最下降法。 其馀每一步的搜索方向将负梯度偏转角度，即修改负梯度。 因此，共轭梯度法是实质上最快下降法的改进，也称为旋转梯度法。鲍威尔方法是直接利用函数值构建共轭方向的共轭方法，是在研究正则矩阵g的二次函数的极小化问题时形成的。 其基本思想是不使用导数在迭代中逐步构造g的共轭方向。 在该算法中，每次迭代，都将原矢量组的第一个矢量与其“好坏”无关地置换为连接起点和终点的搜索方向。 因此，在改进的算法中，首先判断是否需要置换原向量组。 如果需要置换，则进一步判断原向量组中的哪个向量为最差，将该最差的向量置换为新生成的向量，保证依次生成共轭方向。4-2 .如何确定无约束优化问题的最低速度方法的搜索方向？a :优化设计要求目标函数值最小，所以搜索点的方向d采用该点的负梯度方向。 在那一点附近把函数值降低得最快。 沿着该定律继续行走，形成以下迭代算法(k=0，1，2，)由于最速下降法以负梯度方向为搜索方向，所以最速下降法被称为梯度法沿搜索方向搜索目标函数值-为了获得最大下降值，步长系数必须采取一维搜索的最佳步长。 即有由单元函数极值的必要条件和多元复合函数求出导出式或写由此可见，最速下降法中，相邻的2个反复点的函数梯度是相互垂直的。 另一方面，由于搜索方向为负梯度方向，因此相邻的2个搜索方向相互正交。 也就是说，最速下降法是反复点接近函数的极小点的过程。4-3 .给出初始值x0=-7，11 t，用牛顿法求函数的极小值点和极小值。解：梯度函数、赫塞矩阵分别为(2分)(4分)假设初始值x0=-7，11 t则(1分钟)(2分)则(1分钟)x1满足极值的必要条件，海赛矩阵正定，因此为极小点的双曲馀弦值。 (2分)4-4 .以二项函数为例，说明单形置换法的基本原理。a :取图像平面上不在同一直线上的3个点x1、x2、x3，将它们作为顶点构成简单的形状。计算各顶点的函数值，若设为f(x1)f(x2)f(x3)，则表示x3点最好，x1点最差。为了寻找极小的点，一般来说。 必须搜索到最接近的相反方向，即穿过x1并且穿过x2x3中点x4的方向。 在这个方向上取点x5设定x5=x4 (x4-x1 )将x5点称为相对于x4点的x1点的反射点，如果计算反射点的函数值f(X5)，则有可能产生以下情况1)f(x5)f(x1)表示反射点比最接近的点差，并且收缩量应该大。 将新点缩短到x1x4之间5) f(x)f(x1)表示x1x4方向上的所有点都比最近的点差，并且不能在该方向上进行搜索。5-1 .简述约束优化方法的分类。 简述了约束优化问题的直接解法、间接解法的原理、特点和主要方法。 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析:直接解法通常应用于仅包含不等式约束的问题，其基本思路是在由m个不等式约束决定的可执行域中选择初始点、确定可执行的搜索方向d，并以适当的步骤在d方向上进行搜索，以获得降低目标函数值的可执行的新点，即完成迭代。 以新的点为起点，重复上述搜索过程，在满足收敛条件后结束迭代。 可执行搜索方向是指，当设计点向该方向稍微移动时，目标函数值降低，不超过可执行区域。 生成可能搜索方向的方法由直接解法中的各种算法确定。直接解法原理简单，方法实用。 其特征是：1)求解过程整体在可行域内进行，因此迭代计算可以随时得到比初始点更好的设计点。 2 )保证目标函数为凸函数，如果可能区域为凸集合，则得到全局的最佳解。 否则，由于存在多个局部最佳解，因此在所选择的初始点不同的情况下，可能搜索不同的局部最佳解。 因此，为了从多个局部最佳解的求解中选择最佳解，总是在可执行区域内选择几个差异大的初始点进行计算。 3 )要求可执行域是有界的非空集，即有界可执行域内存在满足所有约束的点，并且定义了目标函数。直接解法有随机方法、复合形法、可行方法、广义的简约梯度法等。间接解法有不同的解决方案，其中一种基本方法是对约束优化问题的约束函数进行特殊加权处理，然后将该约束优化问题转换为一个或一系列无约束优化问题，通过与目标函数相结合以构建新的目标函数。 对新的目标函数进行无约束优化计算，间接地探索原约束问题的最优解。间接解法是目前在机械优化设计中广泛应用的有效方法。 其特点是：1)由于无约束优化方法的研究越来越成熟，已经研究了许多有效的无约束优化方法和程序，为间接解法奠定了可靠的基础。 目前这种算法的计算效率和数值稳定性也大