2015年高考浙江理科数学试题

.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2015年浙江，理1】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故选C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键（2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积，故选C【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力（3）【2015年浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因为成等比数列，所以，化简得，故选B【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础题（4）【2015年浙江，理4】命题“ 且的否定形式是（ ）（A）且 （B）或（C）且 （D）或【答案】D【解析】全称命题，的否定是，所以命题的否定为：， 或，故选D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础（5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线的方程为，又由抛物线定义知，故选A【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键（6）【2015年浙江，理6】设是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数（ ） 命题：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；命题：对任意有限集，（A）命题和命题都成立 （B）命题和命题都不成立（C）命题成立，命题不成立 （D）命题不成立，命题成立【答案】A【解析】由题意，命题：，命题成立命题：由维恩图易知命题成立，下面给出严格证明：，因为且，故命题成立，故选A【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题（7）【2015年浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】选项A：当时，；当时，； 选项B：当时，；当时，；选项C：当时，；当时，；或为偶函数，然而并不是偶函数；选项D：，令得，再令，则，故函数可以满足要求，故选D【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难（8）【2015年浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若，则当时，排除D，当时，排除A，C，故选B解法二：当时，；当时，如图，点投影在上，连接，易得，即综上所述，故选B【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 （9）【2015年浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 【答案】；【解析】，焦距，焦距为，渐近线【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础（10）【2015年浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】0；【解析】；当时，（当时取最小值）当时取最小值，当时，的最小值为【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题（11）【2015年浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】；【解析】，所以最小正周期；单调递减区间：，化简得，单调递减区间：【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题（12）【2015年浙江，理12】若，则 【答案】【解析】由可知，即，所以【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题（13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 _【答案】【解析】取的中点，因为，则为异面直线，所成的角，又，【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力（14）【2015年浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 【答案】【解析】，即，如图，直线将直线分成了两部分：在阴影区域内的满足，即，此时，利用线性规划可知在处取得最小值3； 在阴影区域外的满足，即， 此时， 利用线性规划可知在处取得最小值3 综上，当，时，的最小值为3【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题（15）【2015年浙江，理15】已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则 ， ， 【答案】，【解析】，不妨设，则由题意知，解得，由题意，当，时，取到最小值1，此时，故【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题三、解答题：本大题共5题，共74分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在中，内角所对边分别为已知，（）求的值；（）若的面积为7，求的值解：（）由及正弦定理得，故又由，即，得，解得（）由得，又，故，由正弦定理得，又，故，故【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，为的中点（）证明：平面；（）求二面角的平面角的余弦值解：解法一：（）设为的中点，连由题平面，故因，故， 从而平面由分别的中点，得且，从而，且，所以为平行四边形，故又平面，故平面（）作于，连，由题，得由，得由，得，因此为二面角的平面角由，得，由余弦定理得解法二：（）如图，以中点为原点，方向为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，易知，又，又，平面（）设平面的法向量为，知，则取，设平面的法向量为，则，则取，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题（18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数，记是在区间上的最大值（）证明：当时，；（）当满足，求的最大值解：（）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，因此当时，故，即；当时，故，即综上，当时， （）由得，故，由，得当，时，且在 的最大值为2，即，故的最大值为3 【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解是在区间上的最大值，以及利用三角不等式变形（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称（）求实数的取值范围；（）求面积的最大值（为坐标原点）解：（）由题知，可设直线：，代入椭圆方程并整理得 因直线与椭圆有两个不同的交点，故 将中点代入直线方程得 由得或 （）令，则，且到的距离为，故的面积，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考