自控2.1微分方程.ppt

Monday,June8,2020,1,第二章系统的数学模型,Monday,June8,2020,2,本章的主要内容,控制系统微分方程建立传递函数控制系统的框图和传递函数控制系统的信号流图,Monday,June8,2020,3,概述,数学模型：描述系统中各变量（物理量）之间关系的数学形式和方法。叫做系统或元件的数学模型。建模：了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型。物理模型：任何元件或系统都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。,Monday,June8,2020,4,常用的数学模型：微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。,建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。,Monday,June8,2020,5,数学模型的几种表示方式,Monday,June8,2020,6,系统中变量的关系,Monday,June8,2020,7,静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化缓慢，以至于它们对时间的变化率（导数）可忽略不计时，这些变量之间的关系称为静态关系。称系统处于静态。,表示静态关系的数学表达式中没有变量对时间的导数项。处于静态的系统，知道了系统的输入量即可确定系统的输出量及其它变量。,Monday,June8,2020,8,动态关系或动态特性：系统中的变量对时间的变化率不可忽略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性。系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型。,对于动态系统，为了确定输出量和其它变量，仅仅知道输入量是不够的，还必须知道一组变量的初始值。,Monday,June8,2020,9,控制理论研究的是动态系统。动态系统的数学基础是微分方程，又称为动态方程或运动方程。,建立数学模型的方法,对于一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。,Monday,June8,2020,10,分析法：根据系统中各元件所遵循的物理、化学、生物等各种科学规律和运行机理，列出微分方程式。又称理论建模。,实验法：人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼进。,Monday,June8,2020,11,实验法基于系统辨识的建模方法,已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当的阶次参数估计-最小二乘法模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近,Monday,June8,2020,12,数学模型建立后，研究系统主要指研究系统所对应的数学模型，以数学模型为基础，分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。,Monday,June8,2020,13,2.1控制系统微分方程的建立,Monday,June8,2020,14,微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。,（211）,Monday,June8,2020,15,采用解析法建立系统微分方程的一般步骤：,根据研究问题的需要，确定系统的输入量和输出量;,根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程，可增设中间变量，对实际系统进行适当简化；,例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。,Monday,June8,2020,16,标准化，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数项按阶次由高到低的顺序排列。可将各项系数归化成具有一定物理意义的形式。,消去中间变量，整理出只含有输入量和输出量及其各阶导数的方程；,Monday,June8,2020,17,1.电气系统由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。,无源器件：本身不含有电源的器件。电阻、电感、电容,有源器件：本身含有电源的器件。运算放大器,Monday,June8,2020,18,无源网络：仅由无源器件组成的电气网络。,有源网络：包含有源器件或电源的电气网络。,Monday,June8,2020,19,Monday,June8,2020,20,2机械系统机械系统：存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。,机械运动,Monday,June8,2020,21,其中，,为物体所受到的力,为物体质量,是线位移,是时间。,Monday,June8,2020,22,表示恒值摩擦力，又库仑摩擦力。,其中，,为位移,为黏性阻尼系数，,Monday,June8,2020,23,其中，,M为物体所受到的力矩,为物体的,转动惯量,为角位移。,转动的物体遵循牛顿转动定律：,(217),Monday,June8,2020,24,为恒值摩擦力矩。,为黏性阻尼系数，,其中，,为黏性摩擦力矩，,Monday,June8,2020,25,Monday,June8,2020,26,根据电压平衡方程，可得：,由（1）式得：,（5）,将（5）代入（2）可得：,（6）,Monday,June8,2020,27,又由（4）得：,整理可得所求无源网络的微分方程：,Monday,June8,2020,28,例2-2：由RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。,Monday,June8,2020,29,由、得,解：设回路电流分别为i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：,Monday,June8,2020,30,由导出,将i1、i2代入、，则得,Monday,June8,2020,31,这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。,Monday,June8,2020,32,Monday,June8,2020,33,解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以:,式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得,Monday,June8,2020,34,式中：ym的位移（m）；f阻尼系数（Ns/m);K弹簧刚度（N/m)。,将上式的微分方程标准化,是二阶线性定常系统。,Monday,June8,2020,35,试证明图(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。,例2-4：,Monday,June8,2020,36,对电气网络(b)，列写电路方程如下：,解：对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式,Monday,June8,2020,37,利用、求出代入将两边微分得网络(b)方程:,与机械网络(a)方程比较：,Monday,June8,2020,38,力-电压相似,机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统.因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。,Monday,June8,2020,39,图所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速m（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。,例2-4：,Monday,June8,2020,40,解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的,电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程,Monday,June8,2020,41,电枢回路电压平衡方程：,Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即Ea=Cem（t）Ce反电势系数（v/rad/s）,Monday,June8,2020,42,电磁转距方程：,-电动机转距系数（Nm/A）是电动机转距系数-是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）电动机轴上的转距平衡方程：Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）kgmfm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）,Monday,June8,2020,43,、求出ia(t)，代入同时亦代入得：,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化为,电动机机电时间常数（s）,Monday,June8,2020,44,如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时还可进一步简化为,电动机的转速与电枢电压成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。,Mond