第六章 参数估计.ppt

第六章参数估计,第六章参数估计,1抽样分布2点估计3区间估计4一个总体参数的区间估计5两个总体参数的区间估计6样本量,1抽样分布,1.1抽样的基本概念1.2样本均值的抽样分布1.3中心极限定理,1.1抽样的基本概念,在抽样问题中，我们把研究对象的全体称为总体（population），总体的数量特征就是总体参数（Populationparameter）。为了解总体的情况，我们从总体中随机抽取的个个体称为样本（sample），样本的数量特征就是统计量（statistics），它与总体参数相对应。统计量是关于样本数据的函数，它不依赖任何未知参数，利用调查数据，就能直接计算得到统计量的值。,1.1抽样的基本概念,设是从总体中抽取的容量为的一个样本，根据样本构造一个函数，该函数便是一个统计量，也称为样本统计量。当调查得到样本数据的值时，代入，计算出的数值，就得到了一个具体的统计量值。在这里，大写的表示变量，小写的表示变量的具体取值，相应的，表示统计量，而则表示统计量的一个具体结果。,1.1抽样的基本概念,设是从总体中抽取得到一个样本，则：样本均值为样本方差为样本均值和方差是最常见的统计量。,1.2样本均值的抽样分布,设总体服从正态分布，为个互相独立且与总体同分布的随机变量，则样本均值服从期望为，方差为的正态分布。记作：上面的结果表明，样本均值的期望与总体均值相同，而方差则变为原来的，这说明用样本均值去估计总体均值，平均来说没有偏差（因为期望相等），当样本量增加时，样本均值的方差变小，即用样本均值估计总体均值会更加精确。,1.3中心极限定理,设总体的分布未知，但已知均值为，方差为，抽取得到一个容量为的样本，当足够大（我们通常要求）时，则样本均值近似服从期望为，方差为的正态分布。中心极限定理告诉我们：不管总体服从什么样的分布，只要样本量足够大，样本均值都近似服从正态分布。,2点估计,参数估计的方法分为：点估计区间估计点估计：直接以样本统计量的某个取值作为总体参数的估计值区间估计：给出一个区间，说起来留有余地，不像点估计那么绝对,2点估计,2.1点估计2.2点估计优劣的评价标准,2.1点估计,点估计（pointestimation）就是直接以样本统计量的某个取值作为总体参数的估计值。在统计中经常使用的点估计量有：用样本均值直接估计总体均值，用样本比例直接估计总体比例，用样本方差直接估计总体方差等。,2.1点估计,【例6.1】已知某种灯泡的寿命，其中和都是未知的。现随机抽取,10只灯泡，测得寿命（单位：小时）分别为1502，1453，1567，1510，1500,1468,1582,1534,1450,1504，试估计和。,2.1点估计,解：因为是全部灯泡的平均寿命，为样本平均寿命，根据点估计的思想，用估计，用估计。由于所以，和的估计值分别为1507小时和1970.222小时。,2.2点估计优劣的评价标准,评价估计量好坏的标准：无偏性有效性一致性,2.2点估计优劣的评价标准,1.无偏性定义如果的期望等于未知参数，即对一切可能的成立，则称为的无偏估计。,2.2点估计优劣的评价标准,【例6.2】设为从一均值为的总体中抽取的样本，请验证的如下估计量的无偏性：,2.2点估计优劣的评价标准,解：由于，容易验证，。因而，都是的无偏估计。然而，因而它们都不是的无偏估计。,2.2点估计优劣的评价标准,2.有效性定义设和均为参数的无偏估计，如果有则称比有效。当是所有无偏估计中方差最小的那个时，称为最小方差无偏估计。,2.2点估计优劣的评价标准,3一致性定义设是的一个估计量，若依概率收敛于，即对任意的，则称是的一致估计。同时满足上述三条标准的估计量称为一致最小方差无偏估计量。,3区间估计,定义设为总体的一个未知参数，是来自该总体的一个样本，对给定的，确定两个统计量和，若有成立，则称为的置信度为的置信区间。其中，称为置信下限，称为置信上限。为显著性水平，一般取较小的值，如，等。,3区间估计,区间长度则表示估计的范围，即估计的精度，区间长度越短越好。但置信度和区间长度是相互矛盾的。实际中，我们总是在保证置信度的前提下，尽可能地提高精度。,4一个总体参数的区间估计,4.1正态分布总体4.2非正态分布总体4.3比例的估计,4.1正态分布总体,1正态总体，已知当总体服从正态分布且已知时，样本均值的抽样分布均为正态分布，对进行标准化以后的随机变量将服从标准正态分布，即有：从而，总体均值在置信度下的置信区间为：,4.1正态分布总体,【例6.3】从某超市的货架上随机地抽得9包0.5千克装的白糖，实测其重量分别为（单位：千克）：，从长期的实践中知道，该品牌的白糖重量服从正态分布已知，求的置信区间。,4.1正态分布总体,解：经计算，对于显著性水平，查标准正态分布表，可得，于是，的置信区间为,4.1正态分布总体,2正态总体，未知方差未知，且为小样本时，虽然同样可以用样本方差代替来构建总体均值的置信区间，但此时，样本均值经标准化以后的随机变量服从自由度为的分布，即：,4.1正态分布总体,根据分布建立的总体均值在置信度下的置信区间为：其中，为自由度为时，分布中左侧面积为时的值。,4.1正态分布总体,【例6.4】例6.3中，若未知，求的95%的置信区间。解：已知，直接计算可得对于显著性水平，查自由度为的分布表，可得。从而，的95%置信区间为：,4.2非正态分布总体,当总体是非正态分布总体时，在数学上可以证明，当样本足够大时，无论总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值，方差为，其中为总体方差。对进行标准化以后的随机变量将服从标准正态分布，即有：从而，总体均值在置信度下的置信区间为：其中，是标准正态分布左侧面积为时的Z值。,4.2非正态分布总体,如果总体的方差未知，则式中的可用样本标准差代替，此时总体均值的置信区间变为：,4.2非正态分布总体,【例6.5】从某校随机地抽取100名男学生，测得平均身高为170厘米，标准差为7.5厘米，试求该校男学生平均身高95的置信区间。,4.2非正态分布总体,解：由于为大样本，且总体方差未知，又100，170，7.5，1-0.95，查表得1.96，有1701.961701.47因此，该校男学生平均身高的95的置信区间为68.5171.5厘米之间。,4.3比例的估计,大样本情形（，时），比例的抽样分布可用正态分布近似。的数学期望为，的方差为。样本比例经标准化后的随机变量服从标准正态分布，即：,4.3比例的估计,从而，总体比例在置信度下的置信区间为：,4.3比例的估计,值未知的解决办法：用样本比例来代替，总体比例的置信区间可表示为：较为保守的方法：当0.5时，达到最大值。所以用0.5作为的估计值求出的将是最宽的置信区间：当0.30.7时，由这两种方法得到的结果很接近。,4.3比例的估计,【例6.6】从某社区抽取一个由200个家庭组成的样本，发现其中有36的家庭拥有电脑。试问，在99%的置信度下，该社区拥有电脑的家庭所占比例的置信区间是多少？,4.3比例的估计,解：若采用第一种方法，得到的置信区间为：O.362.58O.36O.09=0.27，0.45,4.3比例的估计,若采用第二种方法，则得到置信区间：0362.58O.36O.09=0.27，0.45因此，该社区拥有电脑的家庭所占比例的置信区间是27%，45%。,5两个总体参数的区间估计,5.1独立样本5.2匹配样本5.3比例之差的估计,5.1独立样本,独立样本指的是两个样本从两个总体中独立抽取，一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立。,5.1独立样本,假设有两个总体，它们均值分别为和，方差分别为和，现分别从这两个总体中独立地抽取大小为和的两个样本。在大样本情形下，无论两个总体是否服从正态分布，两个样本均值之差的抽样分布均服从期望为-，方差为的正态分布，即有：,5.1独立样本,对进行标准化，则有,5.1独立样本,当两个总体的方差为、已知时，由，可构造置信度下的的置信区间为当两个总体的方差、未知时，可以用两个样本方差来代替。置信区间为：,5.2匹配样本,匹配样本指的是一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。大样本条件下，使用匹配样本进行估计时，两个总体均值之差的置信度下的置信区间为其中，表示两个匹配样本数据的差值，表示各差值的均值，表示各差值的标准差。,5.2匹配样本,若未知，可用样本数据来代替。而如果是小样本，若两个总体配对的观察值之差服从正态分布，则的置信区间为,5.2匹配样本,【例6.7】某机构对随机抽取的10名小学生采用A、B两套试卷测智力，结果如表6.1所示，试建立这两套试卷平均得分之差的95%置信区间。,5.2匹配样本,解：将每位学生A套试卷的得分与B套试卷得分相差，得到差值列。又查分布表可知，得到这两套试卷平均得分之差的95%置信区间为：,5.3比例之差的估计,两个样本比例之差的抽样分布服从正态分布，将进行标准化，则有,5.3比例之差的估计,通常和是未知的，可以用样本比例和来代替。两个总体比例之差在置信度下的置信区间可构建为,5.3比例之差的估计,【例6.8】H公司委托一家市场调查公司对旗下产品进行调查，以对该公司产品在两个地区的市场占有率进行比较。调查公司从这两个地区分别随机调查了1000人，其中使用过H公司产品的被调查者所占的比例分别为30%和22%，试求这两个地区H公司产品市场占有率之差的95%置信区间。,5.3比例之差的估计,解：，=30%，=22%，故=70%，=78%，查表可得，=1.96。代入算式，得：从而，两个地区产品市场占有率之差的95%置信区间为,6样本量,6.1确定样本量的一般问题6.2一般问题的具体化,6.1确定样本量的一般问题,在置信度下，总体均值的置信区间为，其区间长度为。置信区间长度的一半称为允许误差，表示在一定的置信度下，用样本均值去估计总体均值时所允许的最大绝对误差，用符号表示。允许误差、可靠性系数、总体标准差和样本量之间存在着如下关系：,6.1确定样本量的一般问题,从而有,6.1确定样本量的一般问题,影响样本量的因素主要有：1可靠性系数所需要的样本量与可靠性系数成正比关系2总体方差所需要的样本量与总体方差也成正比关系3允许误差所需要的样本量与允许误差成反比关系,6.2.1估计总体均值1单个总体情形若总体方差未知，则可采用经验值代替。,6.2一般问题的具体化,【例6.9】设某市家庭的月均收入服从正态分布，标准差为l000元，现要对该市家庭的月平均收入进行估计，若置信度为95，允许的估计误差在100元以内，样本量应定为多少？,6.2一般问题的具体化,解：由题意，1000元，100元，1-0.95=0.05，查表得1.96，代入算式，得384.16385385（人）,6.2一般问题的具体化,6.2一般问题的具体化,2两个总体情形对于给定的允许误差和置信度，估计两个总体均值之差所需的样本量为：其中，和为从两个总体中抽取的样本量，和为两个总体的方差。,【例6.10】假定两个总体的标准差分别为，若要求误差范围不超过5，相应的置信度为95%。假定估计两个总体均值之差时所需的样本量为多大？,6.2一般问题的具体化,解：因而，所需的样本量为=57,=57。,6.2一般问题的具体化,6.2.2估计总体比例1单个总体情形与估计总体均值时样本量的确定方法类似，单个总体情形，估计总体比例的允许误差的表达式为,6.2一般问题的具体化,整理可得样本量的确定公式：,6.2一般问题的具体化,【例6.11】如果认为某地区私家车的拥有比例为0.5，且要求在95的置信度下保证这一比例的允许的估计误差不超过3，试问样本量应定为多少？,6