12 二次函数的基本应用3教师2015暑假 初三数学培优进度一

第十二讲 二次函数的基本应用（3）【二次函数与三角形】以二次函数为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成特殊三角形，有以下常见的基本形式：抛物线上的点能否构成等腰三角形；抛物线上的点能否构成直角三角形；抛物线上的点能否构成相似三角形解这类问题的基本思路是：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察【二次函数与四边形】以二次函数为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成特殊四边形，有以下常见的基本形式：抛物线上的点能否构成平行四边形；抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；抛物线上的点能否构成梯形特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键【例题1】 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段（1）求点的坐标；（2）求经过、三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【例题2】 已知二次函数的图象经过点并且与轴相交于点和点，顶点为（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上一点，满足，求点D的坐标【例题3】 已知二次函数的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线 上（1）求此二次函数的解析式；（2）若此二次函数的图象开口方向不变，顶点在直线上移动到点时，图象与轴恰好交于、两点，且，求这时的二次函数的解析式 【例题4】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求m的值【例题5】 如图，点是坐标原点，点是轴上一动点以为一边作矩形，点在第二象限，且矩形绕点逆时针旋转得矩形过点的直线交轴于点，抛物线过点、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点（1）求的值；（2）点位置改变时，的面积和矩形 的面积的比值是否改变？说明你的理由【例题6】 如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点的横坐标是，点的横坐标是（1）求二次函数的表达式；（2）设点在二次函数图象的段上，求四边形面积的最大值【例题7】 如图，已知二次函数的图象经过、两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数与轴另一交于点为，连接、，求的面积； （3）设该二次函数的顶点为，过点作直线交抛物线的对称轴于求证：四边形是平行四边形【例题8】 如图，已知二次函数的图象经过点和点，点是函数图象与轴的公共点、过点作直线（1）求这个二次函数的解析式；（2）求直线的表达式；（3）如果点在直线上，且四边形是等腰梯形，求点D的坐标【作业1】 如图，抛物线经过、三点（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标【例题9】 如图1，中，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点的抛物线的一部分（如图2所示）（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么表示当时，的长与矩形面积的对应关系赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了请根据上述对话，帮他们解答这个问题 1. 已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于、两点，其中点在轴上（如图示）（1）求该二次函数的解析式；（2）为线段上一动点（、两端点除外），过作轴的垂线与二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求