第7章多项式矩阵理论.ppt

线性系统的复频率域理论,经典控制理论中频域法以传递函数（频率特性）为基础，研究单输入/单输出线性定常系统，它和时域法比较有如下优点：1)计算量小（相对于微分方程的求解）2）物理意义强；3）可用图形表示，直观地进行分析；4）可通过实验建模。,状态空间表达式为数模，研究多输入/多输出系统的状态空间理论，建立了系统能控能观测的概念，提出了状态反馈，状态观测器。与此同时，在线性系统状态空间法影响下，以多项式矩阵理论为基础的复频域理论应运而生，Kalman探讨并提出最优控制问题的频域描述，H.H.Rosenbrock的“逆奈奎斯特阵列设计多变量系统”和W.A.Wolovich提出的特征轨迹设计法等开创了复频域理论。该方法既可用于SISO系统又适应MIMO系统；既可提供系统性能分析又可揭示系统结构特性；还可用于系统补偿器综合。,第7章多项式矩阵理论,7.1多项式矩阵以多项式为元组成的矩阵,其中，的S多项式,7.2奇异和非奇异,方多项式矩阵Q(s)如果detQ(s)=0,则称Q(s)为奇异多项式矩阵；如果detQ(s)=0,则称Q(s)为非奇异多项式矩阵。Q(s)有逆的充分必要条件为Q(s)为非奇异的，且存在,7.3线性相关和线性无关多项式向量组为线性相关，当且仅当存在一组不全为零的多项式使成立,等价于,奇异与线性无关Q(s)非奇异方多项式矩阵等价于Q(s)行/列多项式向量线性无关。,线性相关性/无关性对组合系数属性的依赖性多项式向量组线性相关/无关不仅依赖于向量本身，而且同时依赖于标量组的取值的域（有理分式域或实数域。,7.4秩定义：如果至少存在一个子式不恒等于零，而所有等于和大于的子式恒等于零，则称多项式矩阵Q(s)的秩为r.即rankQ(s)=r1)秩的取值范围：对一多项式矩阵Q(s),2)满秩与降秩,3）秩和线性无关性rankQ(s)=rQ(s)中有且仅有r个线性无关的列/行向量,4）秩和奇异性Q(s)非奇异rankQ(s)=n,秩的性质：1）对任意非零多项式矩阵Q(s),任取非奇异阵P(s)和阵R(s),则必有rankQ(s)=rankP(s)Q(s)=rankQ(s)R(s)2)Q(s)为，R(s)为多项式矩阵，则必成立,7.5单模矩阵(unimodularmatrices)定义：方多项式矩阵Q(s)为单模矩阵，当且仅当行列式detQ(s)=c为独立于s的非零常数。性质：1.一个方多项式矩阵为单模矩阵，当仅当其逆阵也为多项式且是单模的；2.单模矩阵具有非奇异多项式矩阵的基本属性，但反命题不成立；,3.任意两个同维单模矩阵的乘积也为单模矩阵；4.单模阵的逆也为单模阵；5.奇异，非奇异，单模矩阵,7.6初等变换第一种初等变换（行初等变换或列初等变换）：功能：任意交换多项式矩阵的两行或两列。实现：初等矩阵的生成,对Q(s)作行2和行5的交换：,第二种初等变换功能：用非零常数c乘于多项式矩阵Q(s)的某行或某列。实现：初等矩阵的生成：,第三种初等变换功能：将非零多项式d(s)乘于多项矩阵Q(s)的某行/某列所得结果加于另某行/另某列。实现：初等矩阵的生成：,初等矩阵的性质：1）初等矩阵均是可逆的；2）初等矩阵均为单模矩阵。单模变换和初等变换定义：对的多项式矩阵Q(s)，设的多项式矩阵R(s)和的多项式矩阵T(s)为任意单模矩阵，则称R(s)Q(s),Q(s)T(s),R(s)Q(s)T(s)为Q(s)的单模变换。,推论1：初等矩阵的乘积阵为单模阵，对矩阵Q(s)作行初等变换等价于Q(s)左乘相应的单模阵，即相应于左单模变换；对矩阵Q(s)作列初等变换等价于Q(s)右乘相应的单模阵，即相应于右单模变换。推论2：对矩阵Q(s)左乘单模阵，即左单模变换，可等价的化为对Q(s)的相应一系列行初等变换；对矩阵Q(s)右乘单模阵，即右单模变换，可等价的化为对Q(s)的相应一系列列初等变换。,推论：对给定单模阵Q(s),设“使Q(s)按列初等变换化为单位阵I”的各初等矩阵依次为，其逆为，则单模阵Q(s)的初等矩阵乘积表达式为,推论：对给定单模阵Q(s),设“使Q(s)按行初等变换化为单位阵I”的各初等矩阵依次为，其逆为，则单模阵Q(s)的初等矩阵乘积表达式为初等矩阵乘积表达式不唯一。,推论3：单模变换与初等变换的关系R(s)Q(s)对Q(s)作等价一系列行初等变换Q(s)T(s)对Q(s)作等价一系列列初等变换R(s)Q(s)T(s)对Q(s)同时作等价一系列行和列初等变换。推论4：如果Q(s)经有限次初等变换变成B(s）则称Q(s)与B(s)是等价的，且rankQ(s)=rankB(s),7.7埃尔米特形埃尔米特（Hermite)形是多项式矩阵的一种规范形。行埃尔米特形：设多项式矩阵Q(s),rankQ(s)=rmin(m,n)，则行埃尔米特形QHr(s),列埃尔米特形设多项式矩阵Q(s),rankQ(s)=rmin(m,n)，则列埃尔米特形QHc(s)的形式对偶于行埃尔米特形QHr(s)对于多项式矩阵Q(s)，其行埃尔米特形可由单模阵V(s)左乘Q(s)得到，其列埃尔米特形可由单模阵U(s)右乘Q(s)得到，即,例：采用初等变换法，化Q(s)为行埃尔米特形,变换阵,7.8公因子和最大公因子,最大公因子的定义：最大右公因子gcrd:,最大右公因子gcrd:,公因子和最大公因子是不唯一的。,最大公因子的构造定理首先，任意两个列数相同的多项式矩阵D(s),N(s)的最大右公因子总是存在的。,结论7.11gcrd构造定理对列数相同的两个多项式矩阵D(s),N(s)，如果可找到的一个单模阵U(s),使成立则导出的多项式矩阵R(s)就为D(s),N(s)的一个最大右公因子。,证明：（1）R(s)为D(s),N(s)的右公因子。单模阵U(s)的逆为V(s),(2)证明D(s),N(s)的任一其它右公因子均为R(s)的右乘因子。R(s)就为D(s),N(s)的一个最大右公因子。,具体求取方法：,例：,再利用gcrd不唯一属性，任取于R(s)同维的一个单模阵则导出给定D(s),N(s)的另一个gcrd,结论7.12gcld构造定理对行数相同的两个多项式矩阵DL(s),NL(s)，如果可找到的一个单模阵U(s),使成立则导出的多项式矩阵RL(s)就为DL(s),NL(s)的一个最大左公因子。,最大公因子的性质1）最大公因子的不唯一性结论7.13令多项式矩阵R(s)为具有相同列数p的多项式矩阵对的一个gcrd，则对任意单模矩阵W(s)R(s)也必是的gcrd.证明：gcrd构造定理，,U(s)为单模阵，现构造另一个单模阵,结论7.14令多项式矩阵R1(s)和R2(s)为具有相同列数p的多项式矩阵对的任意两个gcrd，则有,2)最大公因子在非奇异性和单模性上的唯一性,3）最大公因子非奇异的条件结论7.15对于具有相同列数p的多项式矩阵对，当且仅当,结论7.16令多项式矩阵R(s)为具有相同列数p的多项式矩阵对的一个gcrd，则必存在多项式矩阵X(s)和Y(s)，有R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)证明：由gcrd构造定理，得R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)令U11(s)=X(s),U12(s)=Y(s),4)最大公因子的基于矩阵对表达式,结论7.17对多项式对d(s),n(s)，其gcrdr(s)的次数必小于d(s)和n(s)的次数。对相同列数p的多项式矩阵对其最大公因子gcrd，则必存在多项式矩阵R(s)的元多项式次数可能大于D(s)和N(s)的元多项式次数。,5)最大公因子在次数上的特点,例：,若取单模阵,根据gcrd的不唯一性，知W(s)R(s)也是D(s),N(s)的gcrd.,R1(s)中元的次数显然大于D(s),N(s)中元多项式的次数。,7.9互质性（co-primeness)定义：7.13右互质列数相同的多项式矩阵为右互质，如果其最大右公因子gcrd为单模阵。定义：7.14左互质行数相同的多项式矩阵为左互质，如果其最大左公因子gcld为单模阵。互质性的常有判据1）贝佐特(bezout)等式判据,结论7.18列数相同的多项式矩阵D(s)和N(s)为右互质，当且仅当存在多项式矩阵X(s),Y(s)，是贝佐特等式成立：X(s)D(s)+Y(s)N(s)=Ip,结论7.19行数相同的多项式矩阵DL(s)和NL(s)为左互质，当且仅当存在多项式矩阵X(s),Y(s)，是贝佐特等式成立：DL(s)X(s)+NL(s)Y(s)=Iq,证明（1）必要性。即已知D(s)和N(s)为右互质，证明贝佐特等式成立。,（1）充分性。即已知贝佐特等式成立，证明D(s)和N(s)为右互质。,秩判据结论7.20右互质秩判据对列数相同多项式矩阵D(s),N(s)，其中D(s)为非奇异，则有,推论：,结论7.21左互质秩判据对行数相同多项式矩阵DL(s),NL(s)，其中DL(s)为非奇异，则有,推论：,不存在使判别式全部多项式矩阵同时降秩的s值，D(s),N(s)为右互质,3）行列式次数判据结论7.22右互质行列式次数判据对列数相同多项式矩阵D(s),N(s)，其中D(s)为非奇异，则D(s)和N(s)为右互质，当且仅当存在多项式矩阵A(s)和B(s)，使同时成立：,结论7.23左互质行列式次数判据对行数相同多项式矩阵DL(s),NL(s)，其中DL(s)为非奇异，则DL(s)和NL(s)为左互质，当且仅当存在多项式矩阵A(s)和B(s)，使同时成立：,所以，D(s),N(s)非右互质。,所以，D(s),N(s)非右互质。,所以，D(s),N(s)非右互质。,左互质性,所以，D(s),N(s)左互质。,不存在使D(s),N(s)同时降秩的s，所以D(s)和N(s)左互质。,所以，D(s),N(s)左互质。,最大公因子构造关系式性质的进一步讨论gcrd构造关系式,D(s)为非奇异多项式矩阵，N(s)为多项式矩阵，矩阵U(s)为单模阵，U11(s)为阵，U12(s)为阵，U21(s)为阵，U22(s)为阵。,推论7.10行数相同的多项式矩阵U22(s)和U21(s)为左互质,推论7.11多项式矩阵U22(s)为非奇异，且成立：,推论7.12D(s)和N(s)为右互质，当且仅当,证明：U(s)为单模阵，其逆一定存在，设,7.10列次数和行次数定义7.15多项式向量的次数对列或行多项式向量其次数定义为组成向量的元多项式次数的最大值，即,定义7.16列次数和行次数对多项式矩阵：M(s)的列次数定义为其列向量mj(s),j=1,2p的次数，M(s)的行次数定义为其行向量mj(s),j=1,2p的次数，即,列次表达式和行次表达式结论7.24列次表达式对多项式矩阵M(s),令列次数为，再表,则可表M(s)为列次表达式：,例：,7.11既约性（reducedproperty)既约性反应多项式矩阵在次数上的不可简约。定义7.17方阵的既约性给定方非奇异多项式矩阵M(s)，为列次数和行次数，则称,定义7.18非方阵的既约性给定非方多项式矩阵M(s)，,例：,M(s)为列既约但非行既约,既约性判据（1）列次/行次系数矩阵判据结论7.26方多项式矩阵情形给定方多项式矩阵M(s)，令Mhc和Mhr为列次系数和行次系数矩阵，kci和kri为列次数和行次数，i=1,2,.p.则M(s)列既约列次系数矩阵Mhc非奇异M(s)行既约行次系数矩阵Mhr非奇异,结论7.27非方多项式矩阵情形给定非方满秩多项式矩阵M(s)，令Mhc和Mhr为列次系数和行次系数矩阵，kcj和kri为列次数和行次数，i=1,2,.q.j=1,2,.p则M(s)列既约且rankMhc=pM(s)行既约且rankMhr=q,例：,（2）多项式向量判据结论7.28方多项式矩阵情形给定方多项式矩阵M(s)，kci和kri为列次数和行次数，i=1,2,.p.则1）M(s)列既约当且仅当对所有多项式向量使如下构成的多项式向量满足关系式,（2）M(s)行既约当且仅当对所有多项式向量使如下构成的多项式向量满足关系式,结论7.29既约矩阵的属性在一定限制下（列次数/行次数序列满足非降性），列既约矩阵的列次数和行既约矩阵的行次数在单模变换下保持不变。,非既约矩阵的既约化,结论7.30非既约矩阵的集约化给定非既约矩阵非奇异阵M(s)则必可找到一对单模阵U(s)和V(s)，使M(s)U(s)和V(s)M(s)为列既约或行既约。,7.12史密斯形（Smith)Smith标准形式多项式矩阵的一种重要规范形，常用来分析多项式矩阵的零点，求最大公因子，判断互质性等等。定义7.19给定多项式矩阵：,其史密斯形为通过相应维数单模矩阵对V(s),U(s)变换，导出的如下的多项式矩阵：,史密斯形构成的算法：参见p417,史密斯形的特性（1）不变多项式结论7.31给定多项式矩阵Q(s)：,（2）史密斯形的唯一性结论7.32给定多项式矩阵Q(s)：,（3）史密斯形的单模变换的不唯一性结论7.33给定多项式矩阵Q(s)：,基于史密斯形的互质性判据结论7.37右互质秩判据对列数相同多项式矩阵D(s),N(s)，为右互质的充分必要条件：,7.13波波夫形（Popovform)定义7.20：称方多项式矩阵为波波夫形，如果具有如下特性：（1）为列既约，且列次数非降即有；,（2）对列j,存在主指数使主元满足如下条件：,（1）检验D(s)的列既约