3带有最小风险准则的两阶段模糊运输模型

C o m p u t e r E n g i n e e r i n g a n d A p p l i c a t i o n s 计算机工程与应用 带有最小风险准则的两阶段模糊运输模型 袁国强1,2肖 倩 ， 刘 强 Y UA N G u o q i a n g I I 2 ， XI AO Q i a n ， L I U Q i a n g 1 河北金融学院 基础部 ， 河北 保定 0 7 1 0 5 1 2 河北省科技金融重点实验室， 河北 保定 0 7 1 0 5 1 3 中国地质大学长城学院 现代教育技术中心， 河北 保定 0 7 1 0 0 0 1 F u n d a me n t a l De p a r t me n t ， He b e i F i n a n c e Un i v e r s i t y， Ba o d i n g， He b e i 0 71 0 5 1 ， Ch i n a 2 S c i e n c e and T e c h n o l o g y F i n an c i a l Ke y L a b o r a t o r y o f He b e i P r o v i n c e， Ba o d i n g， He b e i 0 7 1 0 5 1 ， Ch i n a 3 Mo d e m E d u c a t i o n T e c hn o l o g y Ce n t e r ， Ch i n a Un i v e r s i ty o f Ge o s c i e n c e s Gr e a t Wa l l Co l l e g e ， Ba o d i n g ， He b e i 0 7 1 0 0 0 ， C h i n a YU A N Gu o q i a n g 。 XI AO Qi a n ， L I U Qi a n g T w o s t a g e f u z z y t r a n s p o r t a ti o n mo d e l w i t h mi n i mu m r i s k c r i t e r i a Co mp u t e r E n g i n e e r i n g a n d Ap p l i c a ti o n s 。 2 0 1 1 ， 4 7 ( 3 5 ) ： 6 3 6 6 Ab s t r a c t ：Ba s e d o n c r e d i b i l i t y t h e o ry a n d t wo - s t a g e f u z z y o p t i mi z ati o n me t h o d， t h i s p a p e r p r e s e n t s a n e w c l a s s o f tw o s t a g e f u z z y t r ans p o r t a t i o n mo d e l wi th mi n i mu m r i s k c rit e ria S i n c e the p r o p o s e d t r an s p o r t a t i o n p e o b l e m i n c l u d e s f u z z y v a r i a b l e p a - r a me t e r s wi th i n fin i t e s u p p o r t s i n t h i s p a p e r ， i t i s i n fi n i t e d i me n s i o n a l o p t i mi z a t i o n p r o b l e mI n o r d e r t o s o l v e thi s f u z zy p r o g r a mmi n g p r o b l e m ， the a p p r o x i ma t i o n a p p r o a c h o f tw o - s t a g e f u z zy tran s p lo r t a t i o n p r o b l e m i s d i s c u s s e d and e mb e d e d i n t o a g e n e t i c a l g o r i t h m t o p r o d u c e h y b rid Mg o dt h m f o r s o l v i n g the p r o p o s e d tw o - s t a g e f u z zy trans p o rta t i o n p r o b l e m wi t h mi n i - mu m r i s k c ri t e ria A n u me r i c a l e x a mp l e i s g i v e n t o s h o w t h e p r a c t i c a l i ty o f the d e s i g n e d mo d e l a n d a l g o rit h m Ke y wo r d s ：trans p o r t a t i o n p r o b l e m ； tw o s tag e f u z z y o p t i mi z a t i o n； a p p r o x i mi o n a p p r o a c h； mi m mum r i s k c ri t e ria ； g e n e ti c a l g o ri t h m 摘要 ： 基于可信性理论和两阶段模糊优化方法， 提出一类新的带有最小风险准则的两阶段模糊运输模型。由于提 出的模糊运 输问题 包 含带有无限支撑的模糊变量参数， 因此它是一个无限维的优化 问题。为了求解这个模糊优化 问题， 这里将讨论两阶段 模糊运输问题的逼近方法并且将逼近方法嵌套到遗传算法中产生一个基于遗传算法的混合智能算法求解提出的带有最小风险 准则的两阶段模糊运输问题。给出一个数值例子来表明所设计模型和算法的实用性。 关键词： 运输问 题； 两阶 段模糊优化； 逼近方法； 最小风险准则； 遗传算法 DO I ： 1 0 3 7 7 8 i s s n 1 0 0 2 8 3 3 1 2 0 1 1 3 5 0 1 9 文章编号： 1 0 0 2 8 3 3 1 ( 2 0 1 1 ) 3 5 0 0 6 3 0 4 文献标识码： A 中图分类号： O1 5 9 1 研究背景介绍 运输问题起源于人们在 日常生活中把某些物品从一些地 方转运到另一些地方 ， 要求所用的运输路线或运输方案是最 经济的， 即运输总费用是最低的。一般来说 ， 传统运输问题就 是指在个有供求关系的系统中， 存在若干个供应点和销售点。 在给定的运输约束条件下， 将物品从供应点运到销售点， 使得 运输的总费用最省。但是， 随着科技的不断进步 ， 现代的运输 产业得以迅速地发展， 如何科学合理地运用时间、 人力、 物力、 财力以及现代运输信息更多地创造社会价值 ， 给现代的运输 计划问题提出了新的要求和挑战。科学有效地组织物源并且 合理地设计运输方案使得现代运输问题变的 日 益复杂 ， 但其 基本思想仍然是将现有的各种运输资源进行最优化配置。因 此， 合理安排运输计划在现代运输中 是一项非常重要的任务。 近几十年来 ， 运输问题在现实生活中已经得到广泛的研 究和有效的应用。由于概率论的迅速发展 ， 各种随机运输模 型和相应的求解算法应运而生 1- 4 。另一方面 ， 随着模糊集理 论 的产生与不断完善 ， 模糊决策方法 几乎已经渗透到了 所有的科学和技术领域 ， 尤其在现代的运输问题 中， 模糊性的 存在很大程度地影响着人们对运输问题的分析与研究。基于 模糊集的相关理论 ， 众多学者相继建立了各种模糊运输模型 并且研究了各种模型的相关性质与相应的求解算法n 。虽 然在模糊运输问题的研究中人们已经建立许多有效的实用模 型并设计了相应的求解算法。但是， 近来大量的研究表明n ， 在模糊集理论的研究领域中， 可信性函数无论在理论上还是 在应用上都起着重要的作用。因此 ， 将可信性理论作为模糊 优化的基础来研究带有最小风险准则的模糊运输计划问题。 首先 ， 基于可信性理论和两阶段模糊优化方法 ， 提出一个带 有最小风险准则的两阶段模糊运输计划模型； 然后， 讨论两阶 段模糊运输计划模型的逼近方法。进一步将设计的逼近方法 嵌套到遗传算法中产生一个基于遗传算法的混合智能算法求 解提出的带有最小风险准则的两阶段模糊运输计划模型。最 后 ， 给出个数值算例来表明所设计模型和算法的实用性。 基金项目： 河北省高等学校 自 然科学研究青年基金项目( N o 2 0 1 0 1 2 4 ) ； 河北省自 然科学基金( N o A 2 0 0 8 0 0 0 5 6 3 ) 。 作者简介： 袁国强( 1 9 7 8 一) ， 男， 讲师， 主要研究领域： 模糊优化， 智能算法； 肖倩( 1 9 8 4 一) ， 女 ， 助教； 刘强( 1 9 7 9 一) ， 男， 讲师。E - ma i l ： y g g q q 1 2 6 c o m 收稿日 期： 2 0 1 0 - 0 8 2 0 ； 修回日期： 2 0 1 1 - 0 4 - 1 4 ； C N K I I 版： 2 0 1 1 - 0 2 - 2 4 ； h t t p ： w w w c n k i n e t k c m s d e t a i l 1 1 2 1 2 7 T E 2 0 1 1 0 2 2 4 1 5 4 6 0 2 8 h t ml C o m p u t e r E n g i n e e r i n g a n d A p p l i c a t i o n s 计算机工程与应用 2 可信性理论的基本概念 窒 靛 H 仑 域， 尸 ( 厂 ) 是 厂的幂集， P o s 是 个 义 在 P ( 13 上的集函数。P o s 称为一个可能性测度 ， 若满足下面的条件 ： ( 1 ) P o s ( O) =0， P o s ( r ) =1 ； c寸 于 P ( 厂 ) 白 勺 I li ， ) P o s f UA 1 = s u p P o s (A ) ， ， 其中 是任意的指标集。这里称三元组 ( P ( 13， P o s ) 为可能 性空间。最近 ， 基于可能性测度， L i u 和 L i u 定义了 自对偶集 函数 c ， ， 即若三元组 ( ， ， P ( 厂 ) ， 尸 ) 是一个可能性空间， 则： C r ( A ) ： ( 1 +P o s ( A ) 一 P o s ( A 。 ) ) ， A尸 ( 1 3 这里， 集函数 是事件 的可信性测度并且 是集合 的 补集。 这里称三元组 ( 厂 ， P ( 厂 ) ， O r ) 为可信性空间 “ 。 若 三 元 组 ( F ， P ( 13， C r ) 是 一 个 可 信 性 空 间 并 且 =( ， ， ， ) 是一个从 厂到实数空间 91 上的集函数 ， 则称 是定义在可信性空间上的模糊向量。特别地， 当 n =1 时， 称为模糊变量。 若 ， ， ， 是定义在可信性空间 ( 厂 ， P ( 3 ， c ”上的一 组模糊变量并且对于 贸上的任意子集 ， ， ， 满足： c r y I O ) B l， ( y ) 2 ， ， O ) B = m in C r r 4 ,( r )B 则称模糊变量 ， ， ， 是相互独立的。 假设 是一个m维的 模糊向量， 其中 定义g是模糊向量 的 支撑， 这里 是 吼 的子集 ( f 1 ， t 2 ， ， t ) ( f l ， t 2 ， ， f ) 0 的闭包， 即 量是 中满足 y l ( 占 = 1 的最小闭子集。 若 是一个 m维的模糊向量 ， 并且它的支撑 三是 的一个 有界子集， 则称 是一个有界的模糊向量。 3 两阶段模糊运输最小风险模型 基于可信性理论和两阶段模糊优化方法 ， 将建立一个带 有最小风险准则的两阶段模糊运输计划模型。 在以下的讨论中， 假没有m个物资生产地点A ( f = 1 ， 2 ， ， m ) 可供应某种物资 ， 其相应的供应量分别为 a i “ = 1 ， 2 ， ， m ) ； 另有 n 个物资销售地 B ( ， =1 ， 2 ， ， ) ， 其物资需求量分别为 6 ， = 1 ， 2 ， ， n ) ， 从物资生产地 到物资销售地 运输单位 物资的运费为 c 为了建立带有最小风险准则的两阶段模糊 运输计划模型， 将采用下面的指标、 参数和决策变量。 ：第i 个物资生产地 ； a ： 第 i 个物资生产地的物资供应量； ：第 ， 个物资销售地； b ： 第 ， 个物资销售地的物资需求量； X 从第i 个物资生产地 向第 ， 个物资销售地 运输 物资的数量； 从第 i 个物资生产地 向第 ， 个物资销售地 ， 运输 单位物资的运费； ， J十 ： 第 ， 个物资销售地 的物资库存量； ：第 ， 个物资销售地 ， 的物资缺货量； h ：第 ， 个物资销售地 的库存物资单位管理费； k ： 第 ， 个物资销售地 ， 的缺货物资的单位费用。 由于在现实的运输问题 中存在着大量的不确定性因素 ( 主要考虑模糊因素) ， 例如 ， 物资的运输费用、 物资的库存费 用、 物资的市场需求以及物资的运输方式等。决策者在有限 的信息条件下只能得到有限数量的不确定性信息资源。因 此， 要想准确合理地描述现实的运输环境， 决策者就需要对运 输问题中出现的各种不确定性信息进行合理且有效的分析。 基于以上这些因素， 考虑将物资销售地的市场需求 b 和库存 物资的单位管理费用 h 分别看作连续型三角模糊变量。于是 可以得到模糊变量系数 6 ， ( y ) ( ， =1 , 2 ， ， ， z ) 和 ， ( y ) U= l ， 2 ， ， ) 这里假设以上的各个模糊变量是相互独立的。进一步使用上 面给出的记号 ， 可以建立一个带有最小风险准则的两阶段模 糊运输模型。在这个两阶段模糊运输模型中， 决策者需要解 决两个优化问题。第一阶段优化问题中的决策变量 x 应在模 糊事件 y 实现之前决定 ； 第二阶段优化问题中的决策变量 ， 和 ， 应在模糊事件 y 实现以后决定。下面 ， 假设已经取定了 第一阶段中的决策变量 X 和模糊事件 ， 然后就可以建立以 下两阶段模糊运输最小风险模型的第二阶段问题： Q i ， = m in h i l ： + k i 】 s _t + + = 6 ， O ) I I 1 ， 0 ， 0 = 1 ， 2 ， ， n 这里， 对于任意的 f 1 ， 2 ， ， m， ， = 1 ， 2 ， ， n， 决策向 量 - ( x 2 ， ， ) ， 并且模糊向量 ( y ) = ( 1 ， h E ( y ) ， ， O ) ， b ) ， b ： O ) ， ， 6 ) 是定义在可告陛空间( ， P ( 13， C r ) 上的 模糊向量。另外， 库存 和缺货 不能并存， 即 = 0 。 这 里， 定 义z ( x ， 力 ) = c + ， 力 ) 。 若 取定 i =1 j =1 i ：1 一 个风险水平 Z ， 即一个理想的运输总费用， 则可以定义下面 的可信性函数： r m n n 1 Q (x ) = y r lZ Z c + Z Q ( x ， ( y ) ) Z 0 = L 1 1 J 1 J c y ， lz ( x ， ( ) z 0 上面定义的可信性函数是用来衡量运输总费用 z ( x ， ) ) 不 超过决策者事先给定的风险水平 的可借陛。 进一步为了使得 运输的总费用 z ( x ， ( y ) ) 不超过决策者事先给定的风脸水平z 。 的 可信性最大， 给出下面两阶段模糊运输模型的第一阶段问题 ： ma x Q ) s t x 口f J I 二 ， X 0 i =1 ， 2 ， ， m， J =1 ， 2 ， ， n 下面， 合并问题( 1 ) 和( 2 ) 就可以得到下面的两阶段模糊 运输模型： ma x O ( s - t Xij ai J ： 1 J ， 0 i =1 ， 2 ， ， m， J =1 ， 2 ， - - - ， n 袁国强， 肖 倩， 刘 强： 带有最小风险准则的两阶段模糊运输模型 2 0 1 1 ， 4 7 ( 3 5 ) 6 5 这里 = C r y r lz ( x ， ) z o ) ， 并且： ， ) =m i n + ( y ) s t + F+ = (y ) l l l ，I Q ， =1 ， 2 ， ， n 对于任意的 y F和 i l ， 2 ， ， r ) ， 从模糊变量 的定 义可以得出： 一 1 z 0 ， 并且： ， ， ) ) = mi n + s t 。 + + ( 6 ) I o，l =I ， 2 ， ， n 问题( 5 ) 和( 6 ) 中的模糊向量 ( y ) 一般带有无限的支撑。 因此 ， 这个优化问题常常是一个无限维的优化问题并且利用 经典的算法难以求解 。为了求解这样的一个优化问题 ， 通常 依靠智能计算和逼近方法把它转化为一个有限维的优化问 题。因此 ， 在下一章将讨论求解两阶段模糊运输最小风险模 型( 5 ) 和( 6 ) 的逼近方法和启发式算法。 4 两阶段模糊运输最小风险问题的逼近方法与智能 算法 在上一章提出的两阶段模糊运输最小风险模型( 5 ) 和( 6 ) 中， 模糊向量 带有无限的支撑， 这样就导致利用传统的优 化算法难以对其进行求解。为此将利用带有有限支撑的模糊 向量来逼近带有无限支撑的连续型模糊向量 O ) 。下面， 将 逼近方法嵌套到遗传算法中产生一个含有逼近方法、 神经网 络和遗传算法的混合智能算法来求解上一章提出的两阶段模 糊运输最小风险问题( 5 ) 和( 6 ) 。 4 1 连续型模糊向量的逼近方法 将讨论带有无限支撑连续型模糊向量的逼近方法。关于 模糊向量的逼近方法在模糊优化中应用的更多细节内容， 有 兴趣的读者可以参阅文献 2 3 】 。 为了讨论方便， 假设模糊运输问题( 5 ) 和( 6 ) 中的模糊向量 = ， ， ) ( 其中r = 2 n ) 且 带 有 无 限 的 支 撑 = 兀 ， 6 】 ， f = 1 这里 【 a ， b 】 是连续型模糊变量莓的支撑， 下面将利用一列模 糊向量 ) 的可能性分布来逼近模糊向量 的可能性分布， 这里的模糊向量 = ( ， ， ， ， ， ) 。 对于任意的 i 1 ， 2 ， ， ， 和 m= 1 ， 2 ， ， 定义模糊变量 = g 删 ) ， 这里： ， LI L 、 g ， f( U i) = Z ， s _ 其中， z表示整数集合且 U e a ， b 】 。 I 一 专 O ) I m 由于 和 都是 ， 维的模糊向量， 和 分别是它们相 应的第i 个分量， 故对任意的 y E F， 有 ： _ - ： 广 II 一 lI = f ( 一 (y ) ) 詈 I 1 。 。 其中， 上式中的 是 上的欧几里德模。因此， 上式表明模 糊向量序列 一致收敛到模糊向量 。 4 2 智能算法与数值算例 已经讨论了两阶段模糊运输最小风险问题的逼近方法， 由于问题( 5 ) 和( 6 ) 的目 标函数一般不是线性规划也不是凸规 划， 因此不能运用传统的优化算法求解这个模糊优化问题。 众所周知， 近几十年来 ， 遗传算法在复杂的工程优化方面得到 了广泛的研究和应用 。因此， 将逼近方法嵌套到遗传算法中 产生一个混合智能算法来求解上面提出的两阶段模糊运输最 小风险问题( 5 ) 和( 6 ) 。基于逼近方法的混合智能算法如下 ： 智能算法 、 步骤 l初始产生p o p 个染色体； _ s i z e 步骤2通过交叉和变异操作对染色体进行更新； 步骤 3利用上面提出的逼近方法计算所有染色体的目 标 函数值 ； 步骤4根据得到的目 标函数值， 计算每个喜 舱 l体的适应度； 步骤 5通过旋转赌轮的方式选择染色体； 步骤 6重复步骤2 至步骤5 到给定的循环次数； 步骤 7最好的染色体作为最优解。 下面将给出个数值算例说明 匕 述模型和算法的可行性和 实用性。遗传算法中具体的各个参数设置如下： 种群规模为3 0 ， 交叉概率 P = O 3 ， 变异概率 P = O 2， 基于序的评价函数中， 参 数 a = 0 0 5 。这里假设某种物资有6 个产地 A ( f =1 ， 2 ， ， 6 ) ； 5 个物资销售地 B ， U=1 ， 2 ， ， 5 ) 。表 1 给出了两阶段模糊运 输期望值问题的相关数据 ， 其中这里将用三角模糊变量分别 表示各种物资的库存费用系数 ， 和物资的需求6 ， ( y ) ， 并且 4 M - 模糊变量是相互独立的。 表1 两阶段模糊最小风险运输问题的相关数据 物资销售地局 B 。 岛 历 鼠 风 物资需求岛 ( y ) ( 8 ， 9 ， l 5 ) ( 3 ， 6 ， 9 ) ( 7 ， 9 ， l o ) ( 4 ， 6 ， 9 ) ( 7 ， 8 ， 9 ) A 。 1 0 0 ( c ) 1 1 0 ( c ： ) 1 2 0 ( c 。 ， )l l 0 ( c ) 1 3 0 ( c ， ) A ： 1 0 o ( c 2 ) 8 0 ( ) 1 2 5 ( c ) 1 2 0 ( c ) 1 2 0 ( c 2 ， ) A ， 1 0 0 ( c ) 1 2 o ( c ) 1 2 o ( c ” ) 1 3 5 ( c H ) 1 3 5 ( c ” ) A l 0 0 ( c 4 。 ) 9 0 ( ) 1 2 0 ( c ) 1 l O ( c “ ) l 0 o ( ) A 5 1 0 5 ( c ) 1 0 0 ( c ,2 ) 9 0 ( c , ， ) 1 2 5 ( c ) l 2 5 ( ) A 1 l O ( c ) 1 0 o ( ) l 0 o ( )l O 5 ( c ) 1 0 5 ( c ) 物资库存 费 ( y )( 6 o ， 7 0 ， 8 o )( 5 o ， 6 0 ， 7 o )( 1 o ， 2 0 ， 3 5 )( 2 5 ， 3 5 ， 4 5 )( 3 5 ， 4 o ， 5 5 ) 物资缺货费岛 3 O ( ) 2 5 ( ) 3 5 ( 屯) 4 5 ( ) 6 5 ( 岛) 物资产量 1 5 ( a ， ) 2 O ( 口 ) 1 5 ( a ， ) 2 0 ( 4 I ) 2 o ( a ) 基于以上假设， 若个决策者选取的风险水平 Z 0 = 3 2 0 0 0， 则建立以下两阶段模糊运输最小风险模型： 6 6 2 0 1 1 ， 4 7 ( 3 5 ) C o m p u t e r E n g i n e e r i n g a n d A p p l i c a t i o n s 计算机工程与应用 mi l l C ) f l 1 + 1 2 + x 1 3 + x 1 4 + x 1 5 1 5 l x 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 2 0 1 3 1 + 3 2 + 3 3 + x 3 4 + 3 5 1 5 s t 4 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 5 0 =1 ， 2， ， 5 通过运行本节所设计的混合智能算法( 逼近方法产生5 0 0 0 个样本点， 5 0 0 0 代遗传算法) 求解两阶段模糊运输最小风险问 题( 7 ) 和( 8 ) ， 得到最优的目 标函数值0 0 5 3 9 。由于得到的结果 表明两阶段模糊运输问题的运输总费用Z ( x ， ) 超过3 2 0 0 0 的最小可信性是 0 0 5 3 9 ， 再由可信性测度的自对偶性得到运 输总费用 z ( x ， ) 不超过3 2 0 0 0 的最大可信性是0 9 4 6 l 。最 后， 两阶段模糊运输最小风险模型的最优解见表2 。 表l2 两阶段模糊最小风险运输问题的最优解 5 结论 。 提出了一类新的带有最小风险准则的两阶段模糊运输模 型。由于这个模糊运输问题包含带有无限支撑的模糊变量 ， 因此它是一个无穷维的优化问题。为了求解这个无穷维的优 化问题， 利用有限支撑的模糊向量序列逼近带有无限支撑的 模糊向量 ， 然后， 将逼近方法嵌套到遗传算法中设计一个混合 智能算法求解两阶段模糊运输最小风险问题 。最后， 给出一 个数值算例表明所设计模型与算法的可行陛与实用性。 t 0 ( 参考文献： 【 1 】L e o n C T h e s t o c h a s t i c t r a n s p o r t a ti o n - l o c a ti o n p rob l e m J Co mp me m a n d Ma t h e ma t i c s wi t h Ap p l i c a t i o n s ， l 9 7 8 ， 4 ： 2 6 5 - 2 7 5 2 An g e l a D F， Ni c o l a S On mo d e l l i n g u r b a n t r a n s p o r t a ti o n n e t wo r k s v i a h y b ri d P e t r i n e t s J C o n t r o l E n g i n e e r i n g P r a c t i c e ， 2 0 0 4， 1 2 ： 1 2 2 5 1 2 3 9 【 3 】L i u C Z， F a n Y Y， F e mand o OA t wo s t a g e s t o c h a s t i c p r o g r a m一 rui n g mo d e l f o r tr a n s p o r t a t i o n n e two r k p r o t e c t i o n J C o mp u t e r s an d Ope r a t i O ns Re s e a r c h， 2 0 0 9， 3 6： 1 5 8 2 - 1 5 9 0 4 G a b r e l V， Mu r a t C ， R e m l i N， e t a 1 R e c o u r s e p r o b l e m o f t h e 2 - s t a g e r o b u s t l o c a t i o n t r ans p o rt a t i o n p r o b l e m J E l e c t r o n i c No t e s i n D i s c r e t e Ma t h e ma t i c s ， 2 0 1 0 ， 3 6 ( 1 ) ： 1 6 7 1 7 4 5 】Z a d e h L A F u z z y s e t s J I n f o r ma t i o n and Co n t r o l ， 1 9 6 5 ， 8 ： 3 3 8 3 5 3 6 】Z a d e h L A F u z z y s e t s a s a b a s i s for a t h e o r y o f p o s s i b i l i t y J 】 F u z z y S e t s and S y s t e ms ， 1 9 7 8 ， 1 ( 1 ) ： 3 2 8 7 】Wang E F u z z y c o n t a c t a b i l i ty a n d f u z zy v a r i a b l e s J F u z z y S e t s a n d S ys t e m s ， 1 9 8 2， 8： 8 1 9 2 8 Na h mi a s S F u z zy v a ri a b l e s J F u z zy S e t s a n d S y s t e ms ， 1 9 7 8 ， 1 ： 9 7 1 0 1 9 S t e f a n C，D o r o t a KF uzz y i n t e g e r tr a n s p o r t a t i o n p r o b l e m J F uz zy S e t s a n d S y s t e ms ， 1 9 9 8， 9 8： 2 9 1 - 2 9 8 1 0 S h i h L H C e me n t tr ans p o r t a t i o n p l a n n i n g v i a f u z zy l i n e ar p r o g r a mmi n g J I n t e r n a t i o n a l J o u rna l o f P r o d u c t i o n E c o n o mi c s 1 9 9 9 ， 5 8 ： 2 7 7 2 8 7 1 1 安玉伟- 大规模定制产品平台更新熵权模糊物元决策 J 1 _计算机 工程与应用， 2 0 0 9 ， 4 5 ( 1 0 ) ： 1 6 1 9 1 2 】 包方， 潘永惠， 须文波基于神经一模糊控制系统的移动机器人动 态路径规划 J 1 计算机工程与应用， 2 0 0 9 ， 4 5 ( 1 0 ) ： 2 2 1 2 2 5 【 1 3 Wa i e l F， Ab d E W， S a n g M L I n t e r a c t i v e f u z zy g o a l p r o g r a m- mi n g f o r mu l ti o b j e c t i v e tr ans p o r t a t i o n p r o b l e ms J Ome g a ， 2 0 06， 3 4： 1 5 8 1 6 6 1 4 Liu S T， K a o C S o l v i n g f u z z y t r a n s p o rt a t i o n p r o b l e ms b a s e d o n e x t e n s i o n p ri n c ip l e J E uro p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l Re s e arc h， 2 0 0 4， 1 5 3： 6 6 1 6 7 4 f l 5 】O j h a A， Da s B， Mo n d a l S， e t a 1 An e n tr o p y b a s e d s o l i d tr ans p o r t a t i o n p r o b l e m f o r g e n e r a l f uz zy c o s t s an d t i me wi t h fuz z y e q u a l i ty J Ma the f n a t i c a l a n d Co mp u t e r Mo d e l l i n g ， 2 0 0 9 ， 5 O： 1 6 6 1 7 8 1 6 】 h a A， D a s B， Mo n d a l S， e t a 1 A s o l i d t r a n s p o r t a ti o n p r o b l e m f o r an i t e m wi t h fix e d c h arg e ， v e c h i c l e c o s t a n d p ric e d i s c o u n t e d v a r y i n g c h a r g e u s i n g g e n e t i c a l g o ri t h m J Ap p li e d S o f t