赵凯华 电磁学 第三版 第一章 静电场 129 pages.ppt

EnteringthewordofEM,一、关于教材1)著者曾任北大物理系主任曾任中国物理学会教学委员会主任曾任国家教委高等学校理科物理学与天文学教学指导委员会委员曾任国家教委高等学校理科基础物理教学指导组组长曾任中国物理学会副理事长2)教材种类及版本电磁学：第一版（1978）、第二版（1985）、第三版（2011）新概念物理教程*电磁学：第一版（2003）、第二版（2006）3）不同教材区别及选择非新概念类：起点合适，循序渐进（教材中的知识点连接好！）新概念类：在电磁学知识讲授中，增加了对称性原理和守恒量的讨论。两类特点：内容丰富、课后习题量大，备有答案。我们选择非新概念类教材的主要原因：课时少，仅为48学时。4)教材应用被广泛选为教材，是多数院校指定为考研参考书,课程介绍,二、讲授安排1)不完全讲授带星号的章节原则上不讲授复杂电路（不讲授）交流电路（不讲授）某些章节的部分内容（不讲授）,2)详讲与略讲详讲：重要的基础部分略讲：a)高中已熟悉；b)相对容易接受；c)次要内容,三、作业思考题全做，不交作业作业要求：(a)独立完成;(b)清晰、必要的步骤；(c)及时完成!关于书后答案是检查结果是否正确的依据作业题难度：平均大于期末考题难度四、电子教案的特点、注意点讲授速度快；版面小,换面速度快；内容同时出现时，容易产生视觉影响。,集中精力！,五、第一周开课带来的问题数学问题：矢量，面积分，二重积分。希望与建议：提前学习掌握第一章附录中的数学知识六、往届经验课程后期出现积重难返现象七、电磁学课程的特点：物理概念多；对数学的要求“相对高”；学时少，讲授快（每节课平均14页面,每页面约3分钟）。八、课程讲授努力致力于科研的思维方式提出、分析问题致力于提炼、形成清晰的图像、思路（知识模块）九、联系方式Email:zfdingTel:84709795-24Office:低温等离子体工程中心204室,绪论,1)电磁学的研究内容电磁学是经典物理的一部分。主要研究电荷、运动电荷产生电场、磁场的规律，电场、磁场的相互关系，电场对电荷、电流的作用、电磁场对物质的各种相互作用,（建议：学前、课程结束后各读一遍）,2）应用应用之多、领域之广，不胜枚举。几个应用例子：（a）电磁轨道炮,RailGunsarebyfarthemostspectaculartypeofelectromagneticacceleratorseverdeveloped.Theyholdtherecordforfastestobjectacceleratedofasignificantmass,forthe16km/sfiring电流值：百万安培,（b）胶囊机器人（1）简单原理外磁场驱动小磁针；磁场方向改变，小磁针方向改变。（2）应用领域：肠胃病治疗。（3）胶囊机器人大小：外径12mm，长度约3.5mm。（4）功能：可以运动（随肠胃蠕动运动）、转动（镶嵌条形永久强磁体，由外部磁场驱动）；能摄像:通过微型摄像机，能图像传输：无线发射图像信号（直播）。（5）优点：无创检查和小损伤手术。（比较：内窥镜透视、放射造影或手术检查）,3）电磁现象的普遍性,(b)电磁作用力是四种基本相互作用的一种：四种基本相互作用：电磁，引力，强相互作用，弱相互作用,(a)各种宏观接触力（如摩擦力、弹力等）的微观本质是电、磁作用力；,（c）无线电、热、光、X射线、伽马射线都是电磁辐射,独立的电学、磁学电磁学,孤立的静电孤立的静磁,动电（电流）动磁or变磁o产生电？,生物电、电池的发现,麦克斯韦电磁理论，物理学的第二次综合，开创电气时代,电流磁效应,电磁感应现象,4）电磁学的发展概要,第一章静电场（Electrostaticfield）,1.静电的基本现象和基本规律（1）静电研究是电磁学的基础；（2）电荷静止时，没有磁场，可以独立研究静电力、静电场。略讲:(原因)已学过，也容易理解掌握，重点：（1）电荷作用规律；（2）静电感应；（3）电荷守恒；（4）库仑定律。,作业（P18-19）：1.14、5、9、10每两周交一次！,1)带电现象：人类很早就发现了摩擦起电现象：能吸引轻小物质在希腊文中电与琥珀同义。带电的定义：物质经摩擦后能够吸引轻小物质的性质。定义的科学性：在四种基本力中，只有电力有此特性。,所有物质摩擦都可起电，有多少种类电？,2)只存在两种电荷如何证明？,1.1两种电荷,同种电荷的验证：排斥力异种电荷的验证：吸引力,只有两种力只有两种电荷,3）两种电荷定义:正、负电荷,4）电量:定义：电荷的多少测量方法：验电器（静电测量，如何测量流动的电荷量？）电量量子化：1906-1917年，密立根用液滴法首先从实验上证明了，微小粒子带电量的变化不连续。,数学表达：,（1）摩擦起电过程：电子得、失；（2）静电感应：电荷重新分配。,电荷守恒定律具体表现,1.3导体、绝缘体、半导体按照传导、转移电荷的能力，将物体进行分类。导体：能把电荷从产生地方迅速地转移或传导到其它地方。一般导体金属、石墨、电解液绝缘体：电荷被原子、分子束缚，运动范围小、其上的电荷能长久存在。例：电脑的开机加电模式。半导体：转移电荷的能力介于上述两种物质之间精确的定义:由电导率划分导体：108106西门子米；半导体：10510-6西门子米；绝缘体：10-810-18西门子米,1.4物质的电结构-揭示电性质的物质基础物质结构：分子、原子（原子核+电子）基本电荷：电子、质子由物质电结构可以解释：a)带电；b)摩擦带电；c)静电感应；d)各类物质的导电模型导体：电荷在其中可以自由移动（自由电荷）绝缘体：电荷只能在原子分子尺度内微小位移，是束缚电荷，自由电子少半导体：导电粒子为空穴、电子,分P型N型,在库仑定律发现前的2000年内，静电学处于初sdsssccccc级现象研究阶段。库仑定律是第一个电学定量定律，是电磁学的ccccc基石实验时间：1784-1785年（清朝乾隆年间）实验装置：库伦扭称（1782年，库伦当选院士的成果之一，用以测量微小力）。实验原理：,：可计算,可知,：可测,1.5库仑定律(CoulombLaw),文字表述：在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,实验结论：库仑定律,（1）只有在真空中，库仑定律才成立？（2）作用力如何产生？库仑的物理图像：电荷电荷，正确？（3）库仑实验没有得到了作用力方向，而是根据对称性分析得到得到。,数学表述,电荷1受电荷2的力:,库仑定律中K的取值一般情况下，类似物理问题的处理方式有两种：1)如果关系式中除K以外，其它物理量的单位已经确定,那么由实验确定K值K是具有量纲的量如：万有引力定律中的引力常量G就是有量纲的物理量G=km1m2/r22)如果关系式中还有别的量尚未确定单位则令：K=1(如牛顿第二定律中的K)a=F/m,第二种高斯制中电量的单位尚未确定令K=1,库仑定律的常用形式,令,有理化,库仑定律的k值确定(两种方法)第一种国际单位制中,真空介电常量,要求今后使用该表达式！,目前使用率低,1)库仑定律是基本实验规律由宏观实验条件得到；微观（单个电子、离子等）亦适用2)点电荷：理想模型3）电力叠加原理,库仑定律矢量公式,2电场电场强度作业p31-33(6,9,13,14）,2.1电场(electricfield！),1.静电场的基本性质对放其内的任何电荷都有作用力电场力对移动的电荷可以作功,静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场，是电磁场的一种特殊形式（最单纯形式）,力的性质？,2.电作用力的性质-电荷间的作用力似乎是“远距”作用,远距作用：特点：相隔一段距离也能发生作用不需要时间，不需要物质传递观察“例子”：电作用力、磁作用力（磁铁）、万有引力（重力）隔空打穴？近距作用：两个物体之间作用力需要物质传递例子：推力现代物理学的观点：不存在远距作用。即所有的作用都需要物质传递，均需要需要作用时间。,如何解释电作用力的近距作用？,引入一种传递电磁作用的媒质,以太假说-不合理；不存在,电磁场具有物质性（电磁场理论）电磁场的物质性表现：a）电磁场能独立存在b）电磁场具有能量动量电荷动量+电磁场动量=C（守恒）,电作用力必须借助物质才能完成，物质何在？,电荷电场电荷,2.2电场强度(electricfieldstrength),1.研究电场强度的实验依据、方法：实验依据:电场对电场内的电荷有作用力方法：电场内放入试探电荷，求试探电荷受电场力,电场强度：电场的强弱,试探电荷q0放到场点P处，,比值,电荷q产生电场，求其电电场强度,试探电荷q0受力,矢量场,国际单位制量纲,量纲、单位,点电荷的场强公式根据库仑定律和场强的定义,球对称！（图示见下页）,由库仑定律,由场强定义,从源电荷指向场点,场强方向：正电荷受力方向,2.电场强度的计算,x,z,y,o,j,q,A,球对称！静电场基本特性的原因！,任意带电体的场强,（a）如果带电体由n个点电荷组成,整理后得,或,方法：电力叠加原理场强定义,（b)电荷连续分布的带电体,方法：把带电体看作是由电荷元dq（点电荷！）组成，然后利用场强叠加原理,体电荷密度,面电荷密度,线电荷密度,电荷密度一般是位置的函数,方法：点电荷电场叠加,例1等量异号电荷的电场电荷之间的距离为l。,则这一对等量异号电荷称为电偶极子,电偶极矩:,推导：,同理,（1）特殊情况(a)连线上，正电荷右侧一点P1的场强,(b)在中垂线上P2点的场强,方向?,方向?下页分析,情况（b）中电场强度方向的矢量合成分析,相符,例2长为2l均匀带电直线，带电量为q,求中垂面上P点的电场强度。,解：a)选坐标！电场具有轴对称性，以屏幕平面为例分析,割对称线元,b)线源分割（带电微元）及元电场分析,所产生的元电场关于中垂线对称，在垂直于op方向的电场相互抵消，op方向的合场强为,c)元电场积分：,包括上下对称电荷元的贡献，积分范围为半根棒长,（1）细棒为无限长时,即：,（2）场点充分靠近细棒时,即：细棒可视为无限长,由对称性分析知:垂直x轴的场强为0,点电荷电场（下页讨论）,(1)理想模型条件:,（d）无限大带电面,(2)不同带电体的电场特征:,（b）点电荷,（a）电偶极子,（d）无限大带电面,（c）无限长带电线,（e）均匀带电球体内,(3)带电体系电场解题小结:,对称分析：选择坐标系，简化计算；,连续分别电荷处理(a)元电荷分割（微分）；(b)元电场分析：方向、表达式、分量、合成(c)分量积分（注意积分区域、技巧）,3.带电粒子在电场中受力及运动,简单重要的例子：电偶极子在电场中的受力分析,介质极化的机理解释,(a)受力,(b)力矩,(c)结论,-受力平衡,L最大，,L最小。,高斯定理-引言已掌握的知识、方法电荷分布电场分布场中电荷的受力、运动电学问题已经完全尽知？问题（1）已知电场分布，反过来分析电荷分布电场与电荷之间的基本关系；（2）一般条件下，电荷运动电荷分布变化电场分布变化电荷运动变化电场分布变化：为方程问题，需要知道电场分布与电荷分布之间的关系。如何由电场分布分析电荷分布？（1）对场（矢量）的特点、性质进行分析（2）对矢量进行数学计算电、磁矢量场的性质以及电磁矢量场的数学计算,（1）静电场,特性（结论）：静电场的电场矢量线在电荷处发射、汇聚矢量的数学计算：通过一个闭合面的通量（电场线的根数）高斯定理,（2）恒定磁场,特性（结论）：恒定磁场的磁场沿环路闭合回路环行矢量的数学计算：计算沿环路的环向流量流环路定理问题：静电场可以计算环向流量？恒定磁场计算通量？,3高斯定理作业p(49,50)4,7,12,14一.电场线用一族空间曲线形象地描述电场场强分布，通常把这些曲线称为电场线(electricfieldazline),为什么要引入电场线？,为什么要规定大小、方向？,1.规定（or电场线性质）电场方向：场线上每一点的切线方向；电场大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电场线数目，即电场线数密度，等于该点场强的量值。,若面元dS不垂直与E不垂直,如何求穿过面元dS的电场线条数？,由图可知,通过,和,电场线的条数相同,局部电场均匀,分析,电场线根数,数学推导,2.典型带电体系的电场线,+,-,3.电场线的性质(由典型E线观察得到)1)电场线起始于正电荷(或无穷远处)，1)终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2)带电体系中正负电荷相等时，正电荷发出的电场线全部集中到负电荷上去。3)两条电场线不会相交；,性质（3）解释：电场单值性；,4)电场线不会形成闭合曲线,性质（2）解释：高斯定理；,性质（4）解释：环路定理,性质（1）解释：库仑力，电场强度、电场线定义,二.电通量(electricflux),通过任意面积元的电通量,如何计算通过任意曲面的电通量？,方法:（1）把曲面进行面元分割（2）视每一面元上的局部电场均匀,电通量：通过任一曲面的电场线条数,积分可得：,通过闭合面的电通量,通量正负值：取决于面元法线方向的选取,如图：,若面元法线方向如红箭头所示,可任意选取法线方向？见下页,闭合曲面面元法线方向规定：由闭合面内指向面外。不同于敞开曲面（可以人为选取敞开面元法向方向）,穿越闭合曲面的总电通量：,三.静电场的高斯定理Gausstheorem,(b)数学表述:,2.高斯定理的证明,说明：由于数学课程（二重积分）进度滞后于电磁学，高斯定理的证明借助电场线图像论证。待学过二重积分后，希望同学结合课件和教材，掌握高斯定理的二重积分证明。,证明：,思路（1）利用库仑定律+电场强度定义+电场线+叠加原理；（2）先证明点电荷的电场遵守高斯定理，然后推广至一般电荷的电场,1）源电荷是点电荷q在该条件下，在电场中取一包围点电荷，以点电荷为球心，半径为r的球面S。,+,球面上的电通量，即穿过球面E线的根数为,+,穿过球面的电通量，即穿出（正电荷时）、穿入（负电荷时）的E线根数,球内的电荷量并且与球面的半径无关,点电荷、曲面为球面时，高斯定理成立,+,闭合曲面S为任意形状,曲面包围点电荷q时,点电荷q发出（或接收）的E线线不中断,闭合曲面S为任意形状且闭合曲面包围点电荷q时,穿越球面和任意曲面的E线条数相等,在球面和任意闭合曲面上电通量相等，且等于q/0,推理,E线穿出闭合曲面,E线穿入闭合曲面,+,闭合曲面S为任意曲面,曲面不包围电荷q时,点电荷q发出（或接收）的E线线不中断,该条件下，闭合曲面S电通量为零,条数相等,电通量为负(q0时),电通量为正（q0时),闭合曲面S为任意形状,曲面不包围点电荷q时,成立,绝对值相等,阶段结论：在闭合曲面、点电荷（组）条件下，高斯定理成立！,2）源电荷是点电荷组,闭合曲面内包围的电量和,数学形式,2）连续电荷分布,连续电荷体积微分带电单元点电荷组（q0,电荷数目）前面已证明电荷连续分布时：高斯定成立！,闭合曲面内包围的电量和-有时电荷量需要积分求得,积分方法证明静电场高斯定理起始页,平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角,一般的定义：,线段元与某点的距离为，则线段元对该点所张的平面角,定义：,同理：,立体角面元dS对某点所张的立体角：锥体的“顶角”,单位：球面度,定义,同理,弧度,计算闭合曲面对面内一点所张的立体角,计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角,球面度,库仑定律+叠加原理,思路：先证明点电荷的电场遵守高斯定理，然后推广至一般电荷分布的场,1)源电荷是点电荷在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示),2.高斯定理的证明,在闭合面S上任取面元,该面元对点电荷所张的立体角,点电荷在面元处的场强为,点电荷在面元处的场强为,在所设的情况下得证（点电荷在曲面内）,2)源电荷q仍是点电荷，位于曲面外取一闭合面不包围点电荷(如图示),两面元处对应的点电荷的电场强度分别为,做小立体角,立体角锥体与闭合曲面的截面为,3)电荷和闭合面均任意根据叠加原理可得,此种情况下仍得证,积分方法证明静电场高斯定理结束页,1.闭合面内、外电荷的贡献,3.高斯定理源于库仑定律，但高于库仑定律当电荷运动时（此时电场也随时间变化，库仑定理不再成立，高斯定律仍然成立4.库仑定理中F1/rn(n2)，高斯定理是否成立？5.高斯定理的微分形式,都有贡献，即E由曲面内外的电荷共同产生,对,对电通量,的贡献有差别：,只有闭合面内的电荷对电通量有贡献,2.高斯定理是静电场性质的基本方程之一,高斯定理讨论,四、由高斯定理分析电场线性质,1.电场线的起点、终点,（a)起点,、夹角为锐角，电通量，由高斯定理：,电场线起点处一定存在正电荷,（b)终点,同样分析：电场线终点处存在负电荷,电荷与电场流、聚之间的关系,(c)高斯定理的形象理解,单一点电荷情形:正电荷：正电荷发出根电场线。负电荷：来自无穷远的根电场线终止于负电荷,由正电荷发出的电场线全部终止于负电荷,终止负电荷的部分电场线来自于无穷远,正负电合同时存在时,由正电荷发出的电场线部分终止于负电荷，其余的电场线终止于无穷远,（b）电场线管的高斯面及通量：高斯面：侧面+两个截面。包围电荷？,2.电场线的疏密与场强,(a)电场线管的概念：由一束电场线围成的管状区域。,（c）结论电场线稀疏处，电场弱；电场线密集处，电场强。,侧面,性质：在侧面上没有电场线穿过,通过高斯面的电通量：,五.应用高斯定理求解电场分布,常见的电荷分布对称性,球对称（均匀带电的）1.球体2.球面(点电荷),柱对称（无限长，电荷分布仅与r有关）柱体、柱面、带电线,面对称（无限大，电荷分布为二维均匀）平板（两面，或体分布）平面（单面）,在电荷分布具有某种对称性，或特殊性的情况下，高斯定理等式右侧中的E在对称面上相等，由此利用高斯定理可以求出E，并且数学上比电场叠加（积分）方法简洁。,例1均匀带电球面，总电量为Q，半径为R，求：电场强度分布。,分析电荷分布的对称性，选取合适的高斯面(闭合面),解:,取过场点P为球面，以o为球心的球面,先从高斯定理等式的左方入手即：先计算高斯面的电通量,R,o,再解高斯定理所规定的方程,求过场点的高斯面内电量代数和,R,o,（1）如何理解球面内的场强为0?,在P点的场强,方向如图,在P点的场强,方向如图,过P点作小圆锥在球面上截出两个电荷元,(2)球面上的电场强度,(b)在带电球面（或任意带电体）中，由电场叠加原理知，EB=(EA+EC)/2仍然成立,(d)用积分法求解球面上的电场强度,对球面积分,分割球面,例2均匀带电球体，,解：与均匀带电球面相同，根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面(闭合面),取过场点P，以O为球心的球面。,总电量为,半径为,求：电场强度分布,先从高斯定理等式的左方入手先计算高斯面的电通量,求过场点的高斯面内的电量代数和,高斯定理,例3均匀带电无限长的直线的电场分布,线密度,电场对称性分析,取合适的高斯面,计算通过闭合高斯面的电通量,利用高斯定理解出,例4均匀带电的无限平面薄板的场强,对称性的分析:E的方向、大小,取合适的高斯面（正柱体）,计算电通量,均匀电场(相同板/面距离),1.对于本题而言，仅靠电场叠加分析，还不能得到电场在全空间均匀的结论，在应用高斯定理时，要求使用对称的上、下面。,2.是否可以通过高斯定理分析，首先得到均匀电场的结论？由此，求E时不再要求对称的上、下底面。,解题中是否要求对称的高斯面？,3.也可以通过电场线管理解均匀电场,高斯定理及应用总结（1）高斯定理是静电场的基本性质之一,由库仑定律推导得到。（2）高斯定理、场强积分都可求解电场，其差别为：a）高斯定理：仅用高斯定理只能求对称（特殊）带电体系的电场分布。更为一般的表述：电通量不为零的面上E相等，且未知E的个数，与可列出的方程数相等。积分方法：可以求任意带电体系的场强分布b）由高斯定理求E简单，积分方法求E复杂。（3）高斯定理与电场叠加原理结合求电场带电体系：由几个对称带电体组成（4）高斯定理求电场的要点：,（a）对称性分析；(b)电场方向分析；(c)高斯面选取；（d）求通量、面内电荷，解方程,（6）高斯定理的局限性：不能完整地地描述电场原因：高斯定理仅包含了库仑定律的部分（即电通量）性质,只能求解特殊带电体系的电场。分析：根据库仑定律得到静电场的其他定理：电场环路定理-两个定理完整描述了静电场。,（5）高斯定理中q、E的理解q为高斯面内的电荷，电场E由高斯面内、外的电荷产生。以无限长带电线为例：如果仅计入高斯面内电荷产生的电场，柱面上的E不处处相等，无法由高斯定律解出E。此时，高斯定理仍然成立！,对称体系体积分知识的简单补充,1.球对称体系积分,2.柱对称体系积分,柱壳体积,球壳体积,4电位及其梯度作业p(66-69)8,15,27,34,(1)该结论是静电场另一基本性质(2)其证明所能依据的已有知识：:(a)库仑定律;(b)电场叠加原理（高斯定理是否可为依据？）(3)证明思路:首先在单个点电荷的电场中求证然后扩展到任意带电体系的电场,4.1静电场力所做的功与路径无关电场环路定理,计算电场力做的功APQ，逐点变化，需要采用微积分方法。,求任一线元上电场力的元功(a）在上的元功：,点电荷电场具有球对称分布特性，F沿径矢方向。,电场力沿路径L做的功,结论：单个点电荷的电场对试探电荷所做的功与路径无关,只与的起、始点有关。,在任意带电体系电场中的做功-将带电体分成多个点电荷元-,点电荷电场：每项都与路径无关,结论：在任意静电场中移动电荷时，电场力所做的功只与试探电荷电量大小，与起、始点位置有关，与路径无关。,点电荷组,连续电荷,（4）功与路径无关另一表达方式：环路定理,(b)闭合环路的线积分有积分方向,（d）,典型静电场中的闭合回路积分有正功、负功部分和等于零,存在？,是静电场的基本方程之一；静电场是保守力场；功与路径无关与；等价微分形式：,静电场中电场线不能闭合,4.1电位差与电位,电位能的变化（可引入电位能？）,及其性质:,：包含了不同空间位置的电差别，定义新物理量：电位(势)差,电位(势)差的文字表述：电位差是在两点间移,如何确定某一点的电位？,若选Q点的电位为参考零点，,则P点的电位由右式得到:,需要电位参考点；,动，电场力所做的功,单位正电荷,不同带电体系，取不同的参考电位零点,电位（势）零点(参考点）的选择,（1）当带电体为有限小时,理论上定义无穷远处,此时，无穷远处的电位也自然为零（后面以点电荷电位为例说明）,也可以取非无穷远电位零点，虽然各点电位值改变，但不影响电场描述（原因？）。,的电位为零，此时，电场中任一点P点的电位,（2）当带电体为无限大时,定义电场中的某点为,（a）一维无穷大：无穷长带电线,（b）二维无穷大：无穷大带电板,电位零点。,沿电场方向的电位变化,电位沿电场线减小，与移动电荷无关,在电场力的推动下，电荷所在位置的电位的变化,电场力做功与电位差：,例1.点电荷场内任意P点的电势公式,球对称标量正负：,由路径积分计算电势,取决于场电荷,此时，无穷远处的电位也自然为零,例2如图：计算均匀带电球面的电位分布。,解：首先计算电场强度分布均匀带电球面电场的分布为,若场点P在球内，即rR时:,电位空间分布,与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同,电位分布图示,等势体,4.3电位叠加原理,Upi为qi单独存在时产生的电位,电位叠加原理文字表述,点电荷组在空间某一点的电位，等于各点电荷单独存在时在该点的电位和。,（2）连续分布带电体系的电位,O,P,带电体在P点产生的总电位,元电荷在P点产生的电位,例1有一电量为Q的带电球面，求球心的电位。,解：在球面上任取一电荷元,电荷元在球心的电位为：,由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电位：,思考,适于圆环、圆弧？适于求任意点的U？,求球心处的U否要求电荷均匀分布？,与路径积分方法得到的结果相同。,计算电势的方法总结场强积分-原则上-可以求解任意带电体系的U分布（数值积分方法）。-本阶段可以解析求解-场强已知，