九连环PPT课件

.,1,九连环(一）,.,2,一、起源与发展,九连环流传千年而不衰，征服了无数中外爱好者，是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠。与七巧板、华容道、鲁班锁并称为我国古代四大智力玩具。九连环在英语里的名称是TheChineseRings，或TheChineseRingsPuzzle。其最早可追溯到先秦时代，在战国策齐策中有这样一则故事：秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：“齐国有不少聪明人，能否解开这玉连环？”这当然是在故意刁难齐国君臣，以显示秦国的强大。王后遍示群臣，竟没有人能解开。最后齐国的王后只好“引椎椎破之”，当然，这种以毁坏性的方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。因关系到两国外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前认输，所以才想出了这么一招。,.,3,在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。很多著名文学作品都提到过九连环，红楼梦中就有林黛玉巧解九连环的记载。在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。后来，数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。,一、起源与发展,.,4,19世纪的格罗斯经过运算，证明解开九连环共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也需68分钟(目前最快纪录可在3分钟左右)。十连环的话，需要682步，20到40分钟才能解开；假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一步不错，一世也解不开它，因为要走57亿步，约需180年才能解开。,一、起源与发展,.,5,1.环与环杆,2.环杆与环杆板,二、结构与特点,.,6,二、结构与特点,.,7,环杆板,环杆,环,手柄,二、结构与特点,2020/6/9,.,8,三、功能与特点,九连环可以从小就培养青少年对数学的兴趣，寓教其中，让学生理解数学多么奥妙，多么有趣。解九连环还有三大功能：1、培养学生打破思维定势，从多角度多渠道去看事物，容易找出新的解决办法。2、培养学生注意力、耐心、和信心。3、培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。,2020/6/9,.,9,连环类玩具有三大特点：一是挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。二是规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。三是趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。,三、功能与特点,.,10,当作门锁法国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼;英国人则最早于18世纪，用于农舍防盗.2.应用于魔术表演魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演，。3.留客古时候商人们都称“九连环”为“留客计”。因为九连环游戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的手段。,九连环的妙用,三、功能与特点,.,11,九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：第n-1个环在架上；第n-1个环前面的环全部不在架上。,四、九连环的基本解法,.,12,一句话概括：后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻的那个环。解法的本质：解n连环，就是先解一个n-2连环，再解最后一个环，再上n-2连环，再解n-1连环。,四、九连环的基本解法,.,13,每一个环的上法：从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入每一个环的下法：从杆的顶端解套并从手柄的中间下放,四、九连环的基本解法,.,14,12环：同上同下（12上12下）,基本练习（一）,第1环：自由上下（1上1下）,2020/6/9,.,15,13环下法：1下3下1上12下,基本练习（二）,2020/6/9,.,16,基本练习（三）,13环上法：12上1下3上12上,2020/6/9,.,17,问题与思考,思考：,12环在上，3能否拿下？,12环在下，3能否上去？,3在什么情况下可以自由上下？,回答：,3的前面有且只有2时，才能自由上下。,结论：,后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻的那个环。,2020/6/9,.,18,14环下法：12下4下12上1下3下1上12下,基本练习（四）,2020/6/9,.,19,14环上法：12上1下3上1上12下4上12上,基本练习（五）,2020/6/9,.,20,归纳与总结,过程总结：,14环下环全部过程：12环下，4环下。12环上，13环下。,14环上环全部过程：13环上，12环下。4环上，12环上。,结论：,4的前面有且只有3时，才能自由上下。,2020/6/9,.,21,15环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下,基本练习（六）,2020/6/9,.,22,15环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上,基本练习（七）,2020/6/9,.,23,归纳与总结,过程总结：,15环下环全部过程：13环下，5环下。13环上，14环下。,15环上环全部过程：14环上，13环下，5环上。13环上。,结论：,5的前面有且只有4时，才能自由上下。,2020/6/9,.,24,比一比赛一赛,一、看谁先完成15环的下环过程二、看谁先完成15环的上环过程,2020/6/9,.,25,挑战,1、3、5在下，2、4在上。,1、3、5在上，2、4在下。,1、2、4在上，3、5在下。,1、2、4在下，3、5在上。,看谁最快能达到以下状态：,.,26,九连环(二）,2020/6/9,.,27,15环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下,复习与巩固（一）,2020/6/9,.,28,15环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上,复习与巩固（二）,2020/6/9,.,29,复习与巩固（三）,过程总结：,15环下环全部过程：13环下，5环下。13环上，14环下。,15环上环全部过程：14环上，13环下，5环上。13环上。,结论：,5的前面有且只有4时，才能自由上下。,2020/6/9,.,30,下1-7环过程：15环下，7环下。15环上，16环下。,基本练习（一）,2020/6/9,.,31,上1-7环过程：16环上，15环下，7环上。15环上。,基本练习（二）,2020/6/9,.,32,归纳与总结,过程总结：,17环下环全部过程：15环下，7环下。15环上，16环下。,17环上环全部过程：16环上，15环下，7环上。15环上。,结论：,7的前面有且只有6时，才能自由上下。,2020/6/9,.,33,比一比赛一赛,一、看谁先完成17环的下环过程二、看谁先完成17环的上环过程,2020/6/9,.,34,问题与思考,思考：,当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？,结论：,奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。例：要下7连环应先下1、3、5环。,思考：,当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？,结论：,偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。例：要下6连环应先下2、4环。,2020/6/9,.,35,比一比赛一赛,一、看谁先完成16环的下环过程二、看谁先完成16环的上环过程,2020/6/9,.,36,挑战,1、3、5、7在下，2、4、6在上。,1、3、5、7在上，2、4、6在下。,1、4、7在下，2、3、5、6在上。,1、4、7在上，2、3、5、6在下。,看谁最快能达到以下状态：,.,37,九连环(三）,2020/6/9,.,38,15环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下,复习与巩固（一）,2020/6/9,.,39,15环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上,复习与巩固（二）,2020/6/9,.,40,复习与巩固（三）,过程总结：,15环下环全部过程：13环下，5环下。13环上，14环下。,15环上环全部过程：14环上，13环下，5环上。13环上。,结论：,5的前面有且只有4时，才能自由上下。,2020/6/9,.,41,下1-7环过程：15环下，7环下。15环上，16环下。,复习与巩固（四）,2020/6/9,.,42,上1-7环过程：16环上，15环下，7环上。15环上。,复习与巩固（五）,2020/6/9,.,43,复习与巩固（六）,过程总结：,17环下环全部过程：15环下，7环下。15环上，16环下。,17环上环全部过程：16环上，15环下，7环上。15环上。,结论：,7的前面有且只有6时，才能自由上下。,2020/6/9,.,44,下1-9环过程：17环下，9环下。17环上，18环下。,基本练习（一）,2020/6/9,.,45,上1-9环过程：18环上，17环下，9环上。17环上。,基本练习（二）,2020/6/9,.,46,归纳与总结,过程总结：,19环下环全部过程：17环下，9环下。17环上，18环下。,19环上环全部过程：18环上，17环下，9环上。17环上。,结论：,9的前面有且只有8时，才能自由上下。,2020/6/9,.,47,比一比赛一赛,一、看谁先完成19环的下环过程二、看谁先完成19环的上环过程,2020/6/9,.,48,问题与思考,思考：,当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？,结论：,奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。例：要下7连环应先下1、3、5、7环。,思考：,当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？,结论：,偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。例：要下6连环应先下2、4、6环。,2020/6/9,.,49,比一比赛一赛,一、看谁先完成18环的下环过程二、看谁先完成18环的上环过程,2020/6/9,.,50,要全解开或全套上，下一步分别是什么？,问题与思考,2020/6/9,.,51,要全解开或全套上，下一步分别是什么？,问题与思考,2020/6/9,.,52,挑战,2、4、6、8在下，1、3、5、7、9在上。,2、4、6、8在上，1、3、5、7、9在下。,1、2、3、4、5在上，6、7、8、9在下。,2、4、5、7、8在下，1、3、6、9在下。,2、4、7在下，1、3、5、6、8、9在上。,看谁最快能达到以下状态：,.,53,解一连环需要1步，解二连环需要2步，由此可知，解三连环需要5步，解四连环需要10步，解五连环需要21步，解六连环需要42步，解七连环需要85步，解八连环需要170步，解九连环需要341步，解十连环需要682步以此类推。,九连环中的数学九连环与N次方,.,54,九连环中的数学九连环与N次方,进一步的研究可以发现，传统的算法是341步，但如果把前两个环同时拆装看做一步，则解下全部九个环需要256步。一个环的拆装需1步，三个环需4步，五个环需16步，7个环需64步，而九连环恰好达到需256步；即每增加两个环步数呈4倍增长。,.,55,我们看看奇数个环时对应的规律：一个环1步20三个环4步22五个环16步24七个环64步26九个环256步28,九连环中的数学九连环与N次方,总结规律：奇数个环时，要想解开必须付出2n-1步,.,56,如果是偶数个环：两个环1步21-1四个环7步23-1六个环31步25-1八个环127步27-1总结规律：偶数个环时，要想解开必须付出2n-1-1,九连环中的数学九连环与N次方,2020/6/9,.,57,用数列研究n个圆环完全解（套）的情况中移动总次数令K(n)表示解下n个圆环所需的移动总次数(在简单解法中，为移动的最少次数）.则K(1)=1，K(2)=1+1=2（先解下2号圆环1次，再解下1号圆环1次）.（注：在简单解法中，1、2号圆环可以同时解下，K(2)=1）按规则：为了解下（套上）第i号圆环，须先解下（套上）前i-2个圆环；为了解下（套上）第i1号圆环，须先解下（套上）前i3个圆环；为了解下（套上）第i2号圆环，须先解下（套上）前i4个圆环为了解下（套上）第3号圆环，须先解下（套上）前第1号圆环；解下（套上）第2号圆环，再解下（套上）第1号圆环（注：在简单解法中，第2、1号圆环可以同时解下.）,九连环中的数学九连环与数列,2020/6/9,.,58,九连环中的数学九连环与数列,用H(n)表示前n-1个圆环已解下后，再解第n号圆环所需的移动次数.则解下n个圆环所需的移动次数K(n)分为三种移动次数：解下前n-2个圆环所需的移动次数K(n-2)；再解下第n号圆环所需的移动次数1；最后解下第n-1号圆环所需的移动次数H(n-1)。即K(n)=K(n-2)+1+H(n-1).,2020/6/9,.,59,在解下圆环的过程中，解下第n号圆环，须套上第n-1号圆环，移动次数等于解下第n-1号圆环的移动数H(n-1)，再移动1次解下第n号圆环，解下第n-1号圆环的移动次数又需H(n-1)，故H(n)=H(n-1)+1+H(n-1)，且H(1)=1数列H(n)+1是首项为2，公比为2的等比数列.所以H(n)+1=2n，可得H(n)=2n-1则解下n个圆环所需的移动数K(n)=K(n-2)+1+H(n-1)=K(n-2)+1+2n-1-1=K(n-2)+2n-1其中K(1)=1，K(2)=2,九连环中的数学九连环与数列,2020/6/9,.,60,当n是偶数时，K(n)=K(n-2)+2n-1=K(n-4)+2n-3+2n-1=K(n-6)+2n-5+2n-3+2n-1=K(2)+23+2n-5+2n-3+2n-1=2+23+2n-5+2n-3+2n-1=,九连环中的数学九连环与数列,2020/6/9,.,61,当n是奇数时，K(n)=K(n-2)+2n-1=K(n-4)+2n-3+2n-1=K(n-6)+2n-5+2n-3+2n-1=K(3)+24+2n-5+2n-3+2n-1=K(1)+22+24+2n-5+2n-3+2n-1=1+22+24+2n-5+2n-3+2n-1=,九连环中的数学九连环与数列,2020/6/9,.