高中数学-选修4-4参数方程讲义

基本梳理1.椭圆的参数方程(1)中心在原点且焦点在x轴上的椭圆=1 (a b 0)的参数方程是_ _ _ _ _ _ _ _。指定参数的取值范围是_ _ _ _ _ _。(2)如果以(h，k)为中心的椭圆的一般方程为=1，其参数方程为_ _ _ _ _ _。2.双曲线的参数方程(1)以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线-=1 (a 0，b 0)的参数方程为_ _ _ _ _ _。参数的值范围被指定为_ _ _ _ _ _。(2)圆心在原点，焦点在y轴-=1 (a 0，b 0)的双曲线的参数方程为_ _ _ _ _ _。3.抛物线参数方程(1)抛物线y2=2px (p 0)的参数方程为_ _ _ _ _ _ _ _，t _ _ _ _ _ _。(2)参数T的几何意义是_ _ _ _ _ _ _。回答1.(1) (是参数)0，2(2)(是参数)2.(1) (是参数)0，2，和分别(2)(是参数)3.(1) (t是参数)(-，)(2)连接抛物线上除顶点和原点以外的任何点的直线斜率的倒数自主锻炼1.已知方程x2 my2=1表示焦点在y轴上的椭圆，然后()上午1b-1 m 1 D.0m 1，并且解是0 m 1。因此，应该选择d。2.假设90 180，由方程x2 y2k OS=1表示的曲线是()A.圆b .椭圆c .双曲线d .抛物线分析当90 180，-1 cos 0时，由方程x2 y2k OS=1表示的曲线是双曲线。因此，应该选择c。回答C3.当直线Y=AX B穿过第一、第二和第四象限时，圆心(为参数)位于哪个象限()A.1 b.2 c.3 d.4分析如果直线y=ax b穿过第一、第二和第四象限，则a 0且中心坐标为(a，b)，因此它位于第二象限。回答乙4.椭圆(是一个参数)。如果0，2，对应于椭圆上的点(- a，0)的为()交流2直流分析 A选自已知的ACOS =-a、 cos =-1和0，2， =。回答答5.二次曲线左焦点的坐标(为参数)为_ _ _ _ _ _。分析原始方程消除了参数，一般方程为=1。它是一个椭圆，焦点在X轴上，A2=25，B2=9，C2=A2-B2=16，C=4，所以左焦点坐标是(-4，0)。6.圆锥曲线的渐近线方程(为参数)为_ _ _ _ _ _，实轴长度为_ _ _ _ _ _。分析原始方程可以简化为-=1，因为秒2-Tan 2=1。它是一个双曲线，焦点在X轴上，8756；A2=16。双曲线的渐近线是Y=X，实轴长度是8。回答 y=x8题型探究问题型椭圆的参数方程及其应用例1众所周知，A和B分别是椭圆的右顶点和上顶点=1。移动点C在椭圆上移动，得到ABC重心G的轨迹方程。分析重心重心G取决于三个顶点的坐标。因此，需要表示移动点C的坐标，并且可以考虑参数方程的形式。分析从问题的含义可以知道A(6，0)和B(0，3)。由于移动点C在椭圆上移动，移动点C的坐标可以设置为(6cos，3sin)，点G的坐标为(x，y)，这可以从三角形重心的坐标公式中获得，即(y-1) 2=1可以通过消除参数获得。评价本课题的解决显示了椭圆参数方程在解决相关问题上的优越性。使用参数方程非常简单，操作也更简单。变体训练椭圆=1中有一个内接矩形。内接矩形的最大面积是多少？分析椭圆的参数方程是(t是参数)。让椭圆在第一象限的任意点M(x，y)被设置。根据椭圆的对称性，我们知道内接矩形的面积是s=4xy=45cost4sint=40sin2t。当t=面积s得到最大值40时，此时，x=5cos=，y=4sin=2，因此，第一象限中矩形的顶点是，此时，内接矩形的面积最大，最大面积是40。2型双曲线的参数方程及其应用示例2找到最小值让我们设置双曲线上升点M(秒，tan )，然后2=sec 2(tan-2)2=(tan 21)(tan 2-4 tan4)=2 tan 2-4 tan5=2(tan-1)2 3。当tan -1=0，即=2时，2取最小值3，其中有=,即从mo到双曲线的最小距离为。评价在解决一些最大值问题时，用参数方程来表示曲线的坐标，将问题转化为三角函数来寻找最大值，可以简化运算过程。变体训练设P是等边双曲线上的一个点，X2-Y2=1，F1和F2是两个焦点，证明：=2。分析如图所示，让双曲线上的动态点为P(x，y)，焦点F1 (-，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为Get () 2=(秒 ) 2 tan 2 (秒-) 2 tan 2=(秒2 2sec 2 tan 2)(秒2-2 sec2 tan 2)=(2 sec 21)2-(2 sec)2=4sec4-4sec2+1=(2sec2-1)2，同样，2=秒2 tan 2=2sec 2-1，这给出=2。三个抛物线的参数方程及其应用例3如图所示，o是直角坐标的原点，a和b是抛物线上两个不同于顶点的移动点y2=2px (p 0 ),当OAOB时，点a和b在什么位置，面积AOB最小？最小值是多少？分析AOB面积用抛物线参数方程的参数表示，然后用平均不等式求出最大值。根据主题，点a和b的坐标分别是(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1t2，和t1t20)，然后=2p，=2p。因为OAOB，所以=0，也就是2pt2pt+2pt12pt2=0 2=0，因此t1 T2=-1。总面积为SAOB=2p2p=2p2=2p2=2p22p2=4p2。当且仅当t=，即t1=1，T2=-1时，等号成立。因此，当点a和b的坐标为(2p，2p)，(2p，-2p)时，AOB的面积最小，最小值为4p2。变体训练给定抛物线y2=2px和两个弦OAOB穿过顶点，得到以OA和OB为直径的两个圆的另一个交点q的轨迹方程。分辨率设置A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，那么以OA为直径的圆的方程是x2 y2-2 ptx-2pt1y=0，以OB为直径的圆的方程式是x2 y2-2 ptx-2pt2y=0。也就是说，t1和t2是等式2px2 2pty-x2-y2=0中的两个。t1t2=.oaob t1 T2=-1，x2+y2-2px=0(x0)，另一个交点q的轨迹是一个以(p，0)为中心，p为半径的圆(不包括(0，0)个点)。四圆锥曲线参数方程的综合应用例4已知双曲线的动态弦BC-=1(a 0，b 0)平行于虚轴，m和n是双曲线的左右顶点。(1)求出直线MB和CN交点P的轨迹方程；(2)如果P(x1，y1)，B(x2，y2)，验证：a是x1，x2的中间项。分析将双曲方程转化为参数方程。(1)采用跨轨道方法解决问题；(2)即x1x2=a2(1)点B(asec ，btan )可以从主题中设置，然后点C(asec ，-btan)，以及m (-a，0)，N(a，0)，直线的方程MB是y=(x-a)，而直线的方程CN是y=(x-a)。通过将上述两个表达式相乘并消除参数，点p的轨迹方程为=1。(2)证明：因为点P在MB和CN上，x1=，和x2=ASEC 是通过从两个线性方程中消除y1得到的，所以有x1x2=A2，也就是说，A是X1和X2之比的中间项。评价利用二次曲线的参数方程求解二次曲线综合问题，应采用不同的方法，如方程的思想、函数的思想、数形结合的思想。变体训练抛物线y2=4x的内接三角形的一个顶点位于原点，其重心是抛物线的焦点。找出内接三角形的周长。分辨率如图所示，y2=4x焦点F(1，0)，设定点a坐标为(4t2，4t)，t为参数，t 0，然后点b坐标为(4t2，-4t)。AF斜率为kAF=，AF:y=(x-1).当OB的中点(2t2，-2t)应该在直线AF上时，-2t=(2t2-1)，t0,-1=(2t2-1)， T2=，t=，A点坐标是，然后=2，=。OAB的周长是2=2。课堂巩固1.椭圆的焦点坐标(为参数)为()A.(0，0)，(0，-8) B.(0，0)，(-8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)分析平方关系用于变换方程=1，C2=16，C=4，中心(4，0)，焦点在x轴上，焦点是(0，0)，(8，0)。除A、B、c外，椭圆的示意图也可以直接画出。因此，应选择D。2.等价于参数方程(t是参数)的一般方程是()A.x2+=1B.x2+=1(0x1)C.x2+=1(0y2)D.x2+=1(0x1，0y2)分辨率 x2=t，=1-t=1-x2，x2=1，t 0，0 1-t 1，结果为0t1，即0x1，0y2。3.由参数方程(T是参数)表示的曲线是()A.双曲线b .双曲线的下分支C.双曲线d圆的上分支分析 y2-x2=4通过将已知x y=2et、y-x=2e-t和y=et e-t 2相乘获得。方程代表双曲线-=1的上分支。4.椭圆的中心坐标(是参数)是_ _ _ _ _ _。分析将椭圆的参数方程转换成一般方程，得到=1，椭圆的中心是(3，-2)。5.如果对应于曲线上不同于原点的两个不同点M1和M2的参数(T是参数)分别是t1和t2，那么弦M1M2所在的直线的斜率是_ _ _ _ _ _。决议让M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)，k=t1+t2.回答 T1 T