拉普拉斯变换PPT课件

第9章拉普拉斯变换、THELAPLACETRANSFORM、4 .双边拉普拉斯变换的性质、本章的基本内容：1 .双边拉普拉斯变换； 2 .双边拉普拉斯变换的收敛域、5 .系统函数、6 .单侧拉普拉斯变换、3 .零极图、9.0引言傅立叶变换是复指数函数的特例和基分解信号。 对于更一般的复指数函数和，也应该能够以此为基础分解信号。 傅立叶分析法在分析信号和LTI系统中有用，是因为相当宽的信号可以表示为复指数信号的线性组合，所以所有复指数函数都是LTI系统的特征函数。 在本章和下一章中，拉普拉斯变换和z变换不仅具有与傅立叶变换相同的重要性质，而且可以解决傅立叶分析法所能解决的信号和系统分析问题，还可以应用于傅立叶分析法所不能应用的诸多方面。 拉普拉斯变换和z变换的分析方法是傅里叶分析法的普及，傅里叶分析就是其特例。 使傅立叶变换更加普及是本章和下一章讨论的中心问题。 9.1加变换、复指数信号均为LTI系统的特征函数。 如果LTI系统的单位冲激响应为真，则来自系统的响应为：其中显然是连续时间傅立叶变换。TheLaplaceTransform，一.双边拉氏转换的定义：称为双边拉氏转换，其中。 如果是：这就是傅立叶变换。 表明连续时间傅立叶变换是双边拉普拉斯变换或轴上的特例。 因此，拉斯变换是傅立叶变换的推进，拉斯变换是傅立叶变换。 如果存在适当的存在，在导入不满足每日派生的条件的信号之后，能够满足此条件。 也就是说，某个信号的傅立叶变换不收敛，不存在其下拉变换。 这表明拉变换比拉变换具有更广泛的适用性。 例1 .的情况下，积分收敛。 当时的傅立叶变换是存在的，显然，有时候，拉斯变换的收敛区域包含在内。 比较和，显然例2 .与例1 .的比较，只是收敛域不同。 由以上例子可知，1，1 .拉变换与傅立叶变换同样存在收敛问题。 不存在任何信号的拉斯变换，并且s平面上的多个像素不会收敛拉斯变换。 2 .收敛光栅变换积分的多个s的集合称为光栅变换的收敛域。 拉斯变换的收敛域ROC(RegionofConvergence )是拉斯变换非常重要的概念。 3 .不同的信号可能具有完全相同的光栅转换表达式，只是收敛区域不同。 5 .如果ROC中包含轴，则为lass转换。 4 .只有与拉斯变换公式对应的收敛域，才能与信号建立一对一的关系。 2 .拉氏变换的ROC和零极图：例3 .拉氏变换的收敛域可知是各自的收敛域的共同部分。 ROC总是以平行于轴的直线为边界，ROC的边界总是与分母的根对应。 有理函数的话，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。 的所有零点和极点都显示在s平面上，构成零点图形。 零极图及其收敛域可表示一个，最大不同于真常系数。 因此，零极图是拉斯变换的图示方法。 9.2标量变换的收敛域可以总结ROC的性质： theregeofconvergenceeforlaplacetransforms，4 .右侧信号的ROC在s平面中位于与轴平行的直线的右侧。 3 .时限信号的ROC是整个s平面。 2.roc内没有任何极点。 1.ROC是与s平面上的轴平行的带状区域。 如果是这样，表示也存在于收敛域内。 右信号的情况下，ROC内有绝对积。 即，5 .左信号的ROC在s平面内位于与轴平行的直线的左侧。 另外，对于左信号的情况，如果在ROC中定义，则表示也处于收敛区域中。 6 .如果存在双边信号的ROC，则必定是s平面中平行于轴的带状区域。零点、命令、例2 .有极，明显有一次零点，零极被抵消，因此s平面整体为无极。 当时，所述ROC有公共部分，当时，所述ROC没有公共部分，表明不存在。 对于有理函数，ROC总是由下极点分隔。 ROC必然满足以下规则：3.双边信号的ROC是任何相邻极之间的带状区域。 2 .左边信号的ROC必定在最左边极点的左边。 1 .右边的信号的ROC必定在最右边的极点的右边。 在这种情况下，示例3 .可以形成左右信令： roc:roc:roc。 左边的红绿灯。 这种情况下是双边信号。 另外，在TheInverseLaplaceTransform，定义：在ROC内可进行：9.3加法逆变换，从而表示：可以将复振幅的复指数信号线性组合分解。 此外，拉氏逆变换的求法：通常存在两种方法来确定有理函数形式的逆变换。 1 .展开为部分表达式。 部分展开法：3 .利用常用信号的变换，利用与拉斯变换的性质，对每个项目进行逆变换。 2 .基于原始ROC确定每个项目的ROC。 极：例2 .1 .求出的全部极。 留数法(有理函数的情况):3 .求出roc右边所有极点的留数之和，附加负号，它们构成反因果的部分。 2 .求出roc左边所有极点的留数之和，它们构成了因果部分。 例如，3 .的极点位于ROC的右边并且在ROC的左边。 的双曲馀弦值。 如果ROC包含轴，则通过代入获得该轴。 以此为基础通过几何学评价方法从零极图求得的特性。 这在对系统的频率特性进行定性分析时是有用的。 基于geometricevaluationofthefouriertransformfromthepole-zero plot，9.4零极图的傅立叶变换几何评价，1 .单零点时：矢量称为零点矢量，其长度表示其振幅。 零点，如有要求，可以做两个向量和。 另外，作为从极、直接极到点的向量(称为极向量)，其长度的倒数表示振幅角的负值。 2 .对于单极：因此：对于有理函数格式，3 .一般情况：所有零点到点向量，所有极点到点向量。 全零点向量的长度积除以全极向量的长度积。 从所有零点向量的振幅角之和中减去所有极向量的振幅角之和。 轴上的点，是傅立叶变换的几何学评价。 通过调查在轴上移动时的所有零、极矢量的长度和振幅角的变化，可得到振幅特性和相位频率特性。 例1 .一次系统：例2 .二次系统：1 .当时，实数极有两个，此时系统处于过衰减状态。 起主要作用。 随之，两极相对移动，接近处理。 2 .当时，两极在某处重叠，成为二极。 系统处于极限衰减状态。 3 .进一步减少时，二次极分裂为共轭复极，随着减少接近轴。 极点运动的轨迹条轨迹是半径的圆周。 此时，由于系统处于阻尼状态，位于第2象限的极性矢量比第3象限的极性矢量短，所以对系统特性的影响大(称作主极性)。 此时，由于该极矢量变短，因此出现峰值。 如果该峰值位于以下位置并且峰值为正，则将主极矢量考虑为加倍，如果所对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以近似将此时的系统带宽决定为约束。 4 .当时，两极分别位于轴上，此时系统处于无衰减状态。 系统的相位特性也可以从零极图中得到。 此时，仅考虑移动点沿着轴移动时的全极矢量与全零矢量的振幅变化，从全零矢量的振幅角之和减去全极矢量的振幅角之和，就能得到系统的相位特性。 例如，全通信系统：零极对称分布的检验系统，(初级全通信系统)总是等于1，因此被称为全通信系统。其相位特性是全通系统的零极分布呈四角对称特征。 全通系统广泛应用于系统的相位均衡。 例4 .最小相位系数：显然这两个系统的振幅特性相同。 然而，与其中零点位于右半平面的系统相比，其中零点位于左半平面的系统具有非常小的相位。 因此，将零极都在左半部分平面上的系统称为最小相位系统。 同时，按照工程应用设计的各种频率选择滤波器，例如Butterworth、Chebyshev、Cauer滤波器都是最小相位系数。 此外，当非最小相位系统需要在工程应用中实现时，通常通过级联最小相位系统和所有通信系统来实现。 本质上系统的特性由系统的零、极点分布决定。 系统优化设计是优化基本为零，极点的位置。 propertiessofthelaplacetransform，9.5拉氏变换的性质，拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。 这里侧重于ROC的讨论。 1 .线性：如果是，则ROC扩大到整个s平面。 如果不与交叉，则表示不存在。 例如，(原因是零极性抵消的现象)；2 .时相移位：3.s域移位： 在此指ROC的边界平移。 例如，显然4 .时域尺度转换器：如果该时域尺度转换器同时收敛，并且如果该信号是时域尺度转换器，则可以看出在s平面上正在执行逆尺度转换。特例、5 .共轭对称性(Conjugation ) :在实信号中，如果有极(或零点)，则必定有极(或零点)。 这表示实信号的拉斯变换出现了复零、极必共轭对。 对于真实信号，可以得出以下重要结论：或者：例如，ROC扩大，包括6 .卷积特性：其中在乘法运算期间消除了零极点。 当被抵消的极点在ROC的边界上时，收敛区域扩大。 另外，7 .时域微分： (differentiationinthetimedomain )、8.S域微分3360 (differentiationinthes-domain )、9 .时域积分3360 (integrateioninthetimedomain ) Proof:展开为Taylor级数：10 .初始值和最终值定理： (the initial-and final-valuetheorers )，对上述方程的两侧进行粗略转换：其馀的极都是因果信号，除非存在不包括奇异函数的单次极，否则因为最终值定理的实部分可以大于0，所以除了一次极之外，所有其他极都在s平面的左半部分的平面上(即，保证终止值)，所以ROC总是包括轴。 表明：当时，极在s平面上的分布与信号终止值的关系，analissingandcharacterizedoftsystemssusingthelaplacetransform，一.系统函数的概念：基于卷积特性的LTI系统的拉式变换分析方法，等等9.7是LTI系统的傅立叶分析，通过拉斯变换进行分析。 系统的频率响应。 这些方法成立的本质原因是所有复指数函数都是LTI系统的特征函数。 在被认为是基分解信号的情况下，如果下一个ROC包括横轴，则对LTI系统的输入信号的响应始终包括轴，换句话说，对应的ROC也能够完整地描述LTI系统。 系统的许多重要特性在其ROC中一定有具体的表现。 当板分解信号时，系统的输出响应可以是： 2.LTI系统在系统函数中：1 .因果：如果是，则系统是因果的。 如果是的话，系统是违反因果关系的。 因此，因果关系是右信号，ROC必定是最右极的右。 因为反因果系统的信号是左边的，所以ROC一定是最左边最左边的左边。 应该强调根据ROC的特征，反而不能判定系统是否存在因果关系。ROC是最右极的右边，不一定是系统的因果关系。 2 .稳定性：只要系统稳定。 所以一定存在。 ROC一定包含轴。 只有在是有理函数时，逆命题才成立。 综合以上两点，因果稳定系统的所有极点都必须位于s平面的左半部分。 ROC是最右边极点的右侧。 的所有极点都位于s平面的左半部分。 虽然ROC是最右边极点的右边，但是非有理函数，系统是非因果函数。 由于ROC包含轴，所以系统是稳定的。 另外，对于系统，虽然ROC仍然是非有理函数并且位于最右侧，但是该系统是因果函数。 结论： LTI系统的系统函数为有理函数，全极位于s平面的左半平面时，系统因果稳定。 2.LTI系统的系统函数为有理函数并且具有系统因果关系时，系统函数的ROC为最右边的右边的系统函数。 如果系统颠倒因果关系，则系统函数的ROC成为最左边的极点的左边。 另外，以LCCDE描述的LTI系统的系统函数或有理函数要求ROC取决于系统的相关特性。 另外，如果LCCDE都具有初始条件集合为0，则ROC始终处于最右边缘的右边缘。 另外，如果LCCDE已知所描述的系统是因果系统，则ROC必须是最右边的右边。 如果知道LCCDE中描述的系统是稳定的，则ROC必须包含轴。 四、系统特性与系统函数的关系：自学。 请注意示例9.25、9.26、9.27和5.Butterworth过滤器： butterworth滤波器的特性通常由频率响应的平方函数给出。 n阶Butterworth低通滤波器具有：(n是滤波器的阶数)，因为Butterworth滤波器的脉冲响应应该是实信号，所以将函数扩展到整个s平面：总共2N极，n阶Butterworth低通滤波器的模平方函数的总2N极是半径极点分布特征：极点分布总是关于原点对称。 的双曲馀弦值。 轴上没有极点。 n为奇数时实轴上有极点，n为偶数时实轴上没有极点。 2N个极以等间隔均匀分布在半径圆周上。 要实现的滤波器应该是因果稳定系统，位于左半平面的n极必定属于该系统。 据此，确定后，还可以集成Butterworth滤波器。 9.8系统函数的代数属性和框图表示，systemfunctionalizarandblockdiagramrepresentations，1