数值分析4.2 牛顿插值法

Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新计算。,4.3Newton(牛顿)插值,4.3.1均差及其基本性质,定义1称,为f(x)在x0、x1点的一阶均差.一阶均差的均差(差商),称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶均差.,4.3Newton(牛顿)插值,一般地，n-1阶均差的均差,称为f(x)在x0,x1,xn点的n阶均差。,差商的计算步骤与结果可列成均差表，如下,一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶均差，记作fxi。,表1（均差表）,这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节点的排列次序无关，即,fx0,x1,x2,.,xn=fx1,x0,x2,.,xn=fx1,x2,.,xn,x0,性质1均差可以表示为函数值的线性组合，即,称之为均差的对称性（也称为对称性质）。,性质2n次多项式f(x)的k阶差商,当kn时是一个n-k次多项式;当kn时恒等于0.,性质3若f(x)在a,b上存在n阶导数,且节点x0,x1,xna,b,则至少存在一点a,b满足下式,例1f(x)=6x8+7x510,求f1,2,9及f1,2,10.,解f(8)(x)=68!,f1,2,9=-6,f(9)(x)=0,f1,2,10=0.,4.3.2牛顿插值多项式,设x是a，b上一点，由一阶均差定义得,同理，由二阶均差定义,如此继续下去，可得一系列等式,得,得,依次把后式代入前式，最后得,其中,可见,Nn(x)为次数不超过n的多项式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,n)满足插值条件,故其为插值问题的解,Nn(x)称为牛顿插值多项式。,Rn(x)称为牛顿型插值余项。,由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的,即Ln(x)Nn(x),且有如下递推形式,和余项公式,例1已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。,解由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为,注：过前四点的三次牛顿插值多项式,故,可得N3(x)的截断误差,设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长),定义2fi=fi+1-fi和fi=fi-fi-1分别称为函数f(x)在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。,一般地,f(x)在点xi处的m阶向前差分和m阶向后差分分别为,mfi=m-1fi+1-m-1fi和mfi=m-1fi-m-1fi-1,*4.3.3差分与等距节点插值,4.3.3.1差分及其性质,差分有如下基本性质,性质1各阶差分均可用函数值表示.即,且有等式nfi=nfi+n.,性质3均差与差分的关系式为,性质2函数值均可用各阶差分表示.即,且有差分与微商的关系式为,代入牛顿插值公式,可得,称为牛顿向前插值公式，其余项为,插值节点为xi=x0+ih(i=0,1,n),如果要计算x0附近点x处的函数值f(x),可令x=x0+th(0tn),4.3.3.2等距节点差值公式,类似地,若计算xn附近的函数值f(x),可令x=xn+th(-nt0)，可得牛顿向后插值公式,及其余项,例2设y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多项式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.,解相应的函数值及差分表如下