第8章-微分方程VIP

,第8章微分方程,二、一阶微分方程,一、微分方程的基本概念,三、二阶微分方程,1.可分离变量微分方程,2.一阶线性微分方程,3.齐次微分方程,1.可降阶的二阶微分方程,2.二阶线性方程解的结构,3.二阶常系数线性齐次方程,4.二阶常系数线性非齐次方程,四、微分方程的应用,常微分方程,偏微分方程(未知函数是多元函数的方程),含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶,(未知函数是一元函数的方程,本章内容),一、微分方程的基本概念,分类,1.微分方程,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为,微分方程的解.,微分方程的解的分类,(1)通解,(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解.,阶微分方程的解中含有个独立的任意常数。,2.微分方程的解,(3)初始条件,用来确定任意常数的条件.,(4)初值问题(柯西问题),求微分方程满足初始条件的解的问题.,转化,分离变量得,如果一个一阶微分方程形如,（1）,将一个变量可分离的方程化为（1）的过程，,称为分离变量.,称为可分离变量的方程,1.可分离变量的方程,二、一阶微分方程,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,y=x及y=C,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,2.齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例2.求微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,的通解。,例3.求微分方程,解:,代入上式并整理后则有,分离变量并两边同时积分有：,通解,的通解。,3.一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称(1)为一阶线性非齐次方程.,(1)解线性齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称(1)为一阶线性齐次方程;,其中P(x),Q(x)是x的已知连续函数;,Q(x)为自由项。,称P(x)为变系数,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,(2)解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1求微分方程,的通解。,解：原式整理为,由公式得通解,例2解方程,若将方程写成,则它既不是线性方程,又不能分离变量.,若将方程写成,以x为未知函数,即,一阶线性非齐次方程.,分析,y为自变量的,此外,y=1也是原方程的解.,解,参数形式的.,解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是,因变量,视方便而定,关系.,关键在于找到两个变量间的,解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是,注,例3：求微分方程,满足,的特解。,函数，方程可写为：,此方程为一阶线性微分方程。,通解：,解：,若将x看成y的,用通解公式有：,特解：,三、二阶微分方程,1.可降阶的二阶微分方程,(2)型的微分方程,(3)型的微分方程,(1)型的微分方程,(1),解法:令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,特点:左端是未知函数y的n阶导数,右端是自变x的一个已知函数,且不含未知函数y及其导数,例1.,解:,型的微分方程,解法：设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,(2),特点：方程不显含y.,例2.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,(3),型的微分方程,解法：令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,特点：方程不显含x.,例3.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,(线性齐次方程解的叠加原理),(1),2.线性齐次微分方程解的结构,(2),是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,推广：,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,则,（线性齐次方程通解的结构）,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,(3),则,是非齐次方程的通解.,(4)若,是非齐次线性微分方程的两个相异特解，则,（线性非齐次方程通解结构）,是对应齐次线性微分方程的解。,(5),分别是方程,的特解,是方程,的特解.(线性非齐次方程之解的叠加原理),常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例1.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1)写出相应的特征方程,(2)求出特征根,3.二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤:,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3求,的通解,解:特征方程为,（共轭复根）,由公式得方程通解,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,4.二阶常系数非齐次线性方程,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例2：,的通解。,解:先求Y，,特征方程为,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,对应齐次方程的通解为：,再求y*,通解为,例3.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,特解为,代入方程比较系数,得,所求通解为,例4.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例5.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例