数学分析第15章复习

1傅里叶级数,一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.,返回,一、三角级数正交函数系,三、收敛定理,二、以为周期的函数的傅里叶级数,一、三角级数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一,种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数,来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,常常是几个简谐振动,它是由三角函数列(也称为三角函数系),所产生的一般形式的三角级数.,容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一,个以为周期的函数.,关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:,则级数可写成,定理15.1若级数,收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,证对任何实数x,由于,根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.,为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函,数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所,现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4),定理15.2若在-,上,且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:,二、以为周期的函数的傅里叶级数,f(关于三角函数系(5)的傅里叶系数,以f的傅里,叶系数为系数的三角级数(9)称为f(关于三角函数,系)的傅里叶级数,记作,这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级,数,由定理15.2知道:若(9)式右边的三角级数在整,个数轴上一致收敛于和函数f,则此三角级数就是,f的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“”可换为,函数f出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到,傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛.,如果收敛,是否收敛于f本身.这就是下一段所要,叙述的内容.,f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的,算术平均值,即,定理15.3(傅里叶级数收敛定理)若以为周期的,三、收敛定理,注傅里叶级数的收敛性质与幂级数相比,对,函数的要求要低得多,所以应用更广.,而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.,概念解释,断点,其导函数在a,b上除了至多有限个点外都存,收敛定理指出,f的傅里叶级数在点x处收敛于在,该点的左、右极限的算术平均值,而当f在点x连续时,则有,于f.,推论若f是以为周期的连续函数,且在,其中c为任何实数.,注2在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常,注1根据收敛定理的假设,f是以为周期的函数,应关系做周期延拓.也就是说函数本身不一定是定,义在整个数轴上的周期函数,但我们认为它是周期,后的函数为,求周期函数傅里叶级数三要点：,开式.,1.要单独求；,2.一般求时分部积分的“反对幂指三”的顺序,3.找出一个周期里所有的连续点，然后指出这些点上,等于相应的傅里叶级数；找出所有不连续点，,用收敛定理给出傅里叶级数在该点的收敛值,3*如果要求级数之和，考虑时级数的取值,解函数f及其周期延拓后的图像如下图所示,显然f是按段光滑的.,故由傅里叶级数收敛定理,它可以展开成傅里叶级,数.由于,当n1时,如图所示,2以2l为周期的函数的展开式,上节讨论了以2为周期,或定义在上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.,返回,一、以2l为周期的函数的傅里叶级数,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,一、以2l为周期的函数的傅里叶级数,设f是以2l为周期的函数,通过变量替换:,上也可积,这时函数的傅里叶级数展开式是:,就可以将f变换成以为周期的关于变量t的函数,与,这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数,(3),式是f的傅里叶级数.,知道,例1将函数,展开成傅里叶级数.,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,的偶函数,因此,f的傅里叶系数(4)是,设f是以2l为周期的偶函数,或是定义在上,于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即,其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数.,所以当f是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦,函数的项,即,同理,若f是以2l为周期的奇函数,或是定义在,上的奇函数,类似可推得,当且f为奇函数时,则它展成的正弦级数为,其中,其中,上(如图15-8(a)或(b).然后求延拓后函数的,傅里叶级数,即得(10)或(12)形式.,数展开成余弦级数或正弦级数?方法如下:首先将,也可以不作延拓直接使用公式(11)或(13),计算出它,的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.,3收敛定理的证明,本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理,为此,先证明两个预备定理.,预备定理1(贝塞尔(B